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1、第三章作业题 答案作业：%3.2设是序列的离散时间傅里叶变换，利用离散时间傅里叶变换的定义及性质，求下列各序列的离散时间傅里叶变换。（4）解：利用DFT的定义进行求解。（这是一种错误的解法，正确的如下所示。）（注意，此处n为奇数的项为零。）%3.3试求以下各序列的离散时间傅里叶变换。解：利用DTFT的定义和性质进行求解。%3.4设是一有限长序列，已知它的离散时间傅里叶变换为。不具体计算，试直接确定下列表达式的值。（3）解：不计算，解法如下：令n=0，则：因此,%3.11证明:（1）若序列是实偶函数，则其离散时间傅里叶变换是的实偶函数。（2）若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是
2、的奇函数。解：此题求解需要利用DTFT的性质和首先，（1）当为实偶序列时：根据DTFT的性质，可知：因此：因此，为的偶函数。此外，DTFT性质，因此，为实函数。综上，为的实偶函数。（2）利用同样的性质可以证明若序列是实奇函数，则其离散时间傅里叶变换是纯虚数，且是的奇函数。%3.16若序列是因果序列，已知其离散时间傅里叶变换的实部为求序列及其离散时间傅里叶变换。解：此处的条件为：是因果序列。因此此题的求解必然使用因果序列的对称性。注意：此处并没有提及为实序列，因此，此题需加如条件为实序列。注意，在常见序列DTFT中，。根据位移特性，。因此，因此可得：%3.17若序列是实因果序列，已知其离散时间傅
3、里叶变换的虚部为求序列及其离散时间傅里叶变换。解：%3.21 试计算下列各序列的z变换和相应的收敛域，并画出各自相应的零极点分布图。（5）解：其中，零点为；极点为：，。以，为例，则，。%3.22 试计算下列各序列的Z变换及其收敛域。（7）解：此处注意： 左边序列。Z变换的性质：因此：%3.28 已知序列的Z变换为：（1） 试确定所有可能的收敛域；（2） 求（1）中所有不同收敛域时所对应的序列。解：（1）极点有两个：，因此收敛域有三种可能：，（2）%3.43 设两个线性时不变系统的差分方程和初始条件分别为：（1）（2）若输入序列，分别求两个系统的全响应。解：即本章3.5.4的内容。全响应有稳态相
4、应和暂态相应构成。由上式可知，求解的单边Z变换，则：因此，对于有：（1），在此情况下，有：令，则由于输入，因此。（2）输入，因此。%3.44讨论一个具有下列系统函数的线性时不变因果系统（1） 令系统因果稳定的a值范围是多少？（2） 如果0a1画出的零极点分布图，并标出收敛域；（3） 在z平面上用图解法证明系统是一个全通系统，及系统的频率响应为以常数。解：（1），其中，极点为，零点为。因果系统其系统函数的极点分布在某个圆内，收敛域是这个圆的外部。稳定系统的系统函数的收敛域包含单位圆，而收敛域中没有极点。因果稳定系统的系统函数的所有极点一定分布在单位圆内。因此，的范围为：。（2）以为例，则零极点分布为：（3）公用，且，因此。%3.45若序列是因果序列，其离散时间傅里叶变换的实部为求序列及其离散时间傅里叶变换。解： T实部对应的偶对称序列对上式求解的反变换，即，由于为因果序列，因此为双边序列，收敛域取。通过留数法求解，则：，在c内有极点a，则：，则：，在c内有极点a、0。又有，因此：同时，得到