《广工-2017-2018-1-线性代数-真题2答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《广工-2017-2018-1-线性代数-真题2答案.pdf（5页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 5 页，第 1 页 广东工业大学试卷参考答案及评分标准广东工业大学试卷参考答案及评分标准( ( A )A ) 课程名称课程名称： 线性代数 考试时间：考试时间：*年年*月月*日日 ( (第第*周周 星期星期*)*) 一、一、填空题（每小题填空题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 11(2 ) 3 AI； 20； 316； 4 10 11 10 xc ； 564 二、单项选择题（每小题二、单项选择题（每小题 4 分，共分，共 20 分）分） 1D； 2C； 3B； 4A； 5B 三、 （共三、 （共 12 分）分） 解：(1) 构造分块矩阵 12
2、2312 2321 ( 2) ( 3)(1) 0111411132 21013 21013 1113201114 1113211132 03271 01114 0111403271 1113210046 0111401114 0011013001101 r rr rr AB 32(1) 3 10046 01099 . 0011013 r 于是 46 99 1013 X 即为所求 6 分 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 5 页，第 2 页 (2) 21 31 41 ( 1) ( 1) ( 1) 11 111 111 111 1 0100 1. 0010 0001 r r r abcdab
3、cbcd abcdabcbcd abcdabcbcd abcdabcbcd abcbcd abc 6 分 四、四、 （共共 12 分分）解法 1：对增广矩阵进行行初等变换 12111211 2323 011 12000(1)(3)(3) r Ab 3 分 当3且1时，( )3r Ar A b，方程组有唯一解5 分 当1时，( )r Ar Ab，方程组无解 7 分 当3时，( )3r Ar A b，方程组有无穷多解 9 分 12111073 0131 0131 , 00000000 rr Ab 方程组的通解为 73 31 10 xc ，其中c为任意常数 12 分 解法 2：设线性方程组的系数行列
4、式 121 232(1)(3) 32 A 3 分 当3且1时，( )3r Ar A b，方程组有唯一解5 分 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 5 页，第 3 页 当1时， 1211 0111 0004 r Ab ，( )r Ar Ab，方程组无解 7 分 当3时， 12111073 0131 0131 00000000 rr Ab ，( )3r Ar A b， 方程组有无穷多解 9 分 方程组的通解为 73 31 10 xc ，其中c为任意常数 12 分 五五、 （、 （12 分）分）解：(1) 构造矩阵 123 111 (,)123 13 A t ，则5At 3 分 当5t 时，0A
5、 ， 123 (,)3R ， 123 , 线性相关 6 分 (2) 当当5t 时， 232112 31 ( 2)( 1)( 1) ( 1) 111111111101 123012012012 135024000000 rrr r AB 3 分 因为A和B行等价，所以 12 , 构成一个最大线性无关组， 312 2 6 分 六六、 （共（共 12 分）分） 解：(1) 因为 101 010(1)(2) 101 AI ， 所以特征值为 1 0， 2 1， 3 2 因为矩阵A具有 3 个不同的特征值，所以矩阵A可以对角化4 分 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 5 页，第 4 页 (2) 当0
6、时，解方程组(0)0AI x ，得 1 1 0 1 p 2 分 当1时，解方程组(1)0AI x ，得 2 0 1 0 p 4 分 当2时，解方程组(2)0AI x ，得 3 1 0 1 p 6 分 令 123 101 (,)010 101 Pp pp ， 000 010 002 ，则 1 P AP 成立 8 分 七、七、 （共（共 12 分）分） 证明：(1) 设 112233 0kkk，因为 123 , 是一组两两正交的非零向 量，所以 11122331111221331 111 2 11 00, ,00 , kkkkkk k k 且 2 1 0，于是 1 0k 同理可得 23 0kk 综
7、上所述， 123 , 线性无关 6 分 (2) 解法 1：设 1122 0kk因为 1123 ， 2123 2，所以 11232123 ()(2)0kk， 即 121122123 ()()(2)0kkkkkk 3 分 因为 123 , 线性无关，所以 121212 20kkkkkk解得 12 0kk，从 而 1 、 2 线性无关 6 分 广东工业大学试卷参考答案及评分标准，共 5 页，第 5 页 解法 2：考虑齐次线性方程组0Bx根据题意可得， 12123 11 ,11 12 ， 简记为BAC， 所以0BxACx， 即yCx是 0Ay 的解向量 因为 123 , 线性无关，所以0Ay 只有零解，即0yCx3 分 又因为C的两个列向量不成比例，( )2r C ， 所以0Cx也只有零解， 即0 x 于是 1 、 2 线性无关 6 分