积分表积分公式推导(打印版1).pdf

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1、高等数学高等数学高等数学高等数学 积积积积 分分分分 表表表表 公公公公 式式式式 推推推推 导导导导 目目目目录录录录 （一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19） 1 1 （二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018） 5 5 （三）含有（三）含有（三）含有（三）含有 22 ax的积分的积分的积分的积分（1921） 9 9 （四）含有（四）含有（四）含有（四）含有 ) 0( 2 +abax 的积分的积分的积分的积分（2228） 1111 （五）含有（五）含有（五）含有（五）含有) 0( 2 +acbxax的积分的积分

2、的积分的积分（2930） 1414 （六）含有（六）含有（六）含有（六）含有)0( 22 +aax的积分的积分的积分的积分（3144） 1515 （七）含有（七）含有（七）含有（七）含有)0( 22 aax的积分的积分的积分的积分（4558） 2424 （八）含有（八）含有（八）含有（八）含有)0( 22 axa的积分的积分的积分的积分（5972） 3737 （九）含有（九）含有（九）含有（九）含有)0( 2 +acbxa的积分的积分的积分的积分（7378） 4848 （十）含有（十）含有（十）含有（十）含有或或或或)(xbax的积分的积分的积分的积分（7982） 5151 （十一）含有三角函

3、数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（十一）含有三角函数的积分（83112） 5555 （十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中（十二）含有反三角函数的积分（其中0a) ) ) )（113121） 6868 （十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（十三）含有指数函数的积分（122131） 7373 （十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（十四）含有对数函数的积分（132136） 7878 （十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲

4、函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（十五）含有双曲函数的积分（137141） 8080 （十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（十六）定积分（142147） 8181 附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式附录：常数和基本初等函数导数公式 8585 说明说明说明说明 8686 团队人员团队人员团队人员团队人员 8787 bx ax - 1 - （一）含有（一）含有（一）含有（一）含有bax+的积分的积分的积分的积分（19） Cbaxln abax dx baxt C t ln a dt tabax dx dt a dx,adxdt

5、ttb ax a b xx bax )x(f Cbaxln abax dx . += + += += = + =+ + = += + 1 1 11 1 )0( | 1 1 1 代入上式得：将 ，则令 的定义域为被积函数证明： Cbax a dxbaxbaxt C t a dtt a dxbax dt a dx,adxdttbax Cbax a dxbax. + + =+= + + = =+ =+ + + =+ + + + 1 1 1 )( ) 1( 1 )( ) 1( 1 1 )( 1 , 1)( )( ) 1( 1 )( 2 代入上式得：将 则令证明： () () () () ()C bax

6、 lnbbax a dx bax x baxt C t lnbt a C t ln a b a t dt t b a dt a dt t b 1 a dt a t bt a dx bax x dt a dx ,bt a x,t tbax a b x|x bax x )x(f C bax lnbbax a dx bax x . 2 2 22 22 2 2 += + += += += = = = + =+ + = += + 1 1 11 11 1 11 )0( 1 3 代入上式得：将 则令 的定义域为被积函数证明： - 2 - Cbaxlnbbaxbbax a dx bax x Cbaxln a

7、b baxd baxa b dx bax b a Cbaxln a b x a b baxd baxa b dx a b axd bax bbax a b dx bax abx a Cbax a dxbax a dx bax b a dx bax abx a dxbax a dx bax babxbax a dx bax x Cbaxlnbbaxbbax a dx bax x + += + +=+ + = + += + + = + + = + +=+ + + += + + = + + += + )( 2)( 2 11 )( 11 22 )( 122 )( 221 )( 2 1 )( 1 121

8、 )( 1 )2)(1 )( 2)( 2 11 . 4 22 3 2 3 3 2 3 22 2 2 3 2 3 3 2 3 32 1 2 32 2 222 22 2 2 22 3 2 由以上各式整理得： 证明： C x bax ln b C bax x ln b Cbaxln b xln b )bax(d baxb dx xb dx baxb a dx xb dx )bax(b a bxbaxx dx b a b Ab BAa bxaxbax bax B xbaxx a b x|x baxx )x(f C x bax ln bbaxx dx . + + = + + = += + + = + =

9、 + = + = = = =+ +=+= + += + + = + + = + 1 1 1 1 1111 111 1 )( B 1 A 1 0 AB)(AB)A(1 , A )( 1 )( 1 1 )( 5 于是 有 则设 的定义域为被积函数证明： blogblog aa = 1 提示： - 3 - C x bax ln b a bx Cbaxln b a bx xln b a baxd baxb a dx xb dx xb a dx baxb a dx xb dx xb a baxx dx b a C b b a Bb aBAb CAa baBAbxax Cxbaxbaxx bax C x

10、B xbaxx a b xx baxx xf C x bax ln b a bxbaxx dx + + += += + + += + += + = = = = =+ =+ =+ += + += + + = + + += + 1 1 )( 1111 1111 )( 1 B A 1 0 0 1B)( C)(A )B()( A1 , A )( 1 | )( 1 )( 1 )( . 6 2 22 222 2 2 222 2 2 2 2 2 22 2 22 于是 有 即 则设 的定义域为被积函数证明： C bax b baxln a C baxa b baxln a baxd baxa b baxd b

11、axa dx baxa b dx baxa dx bax x a b B a BAb Aa xBAbax baxx bax B bax A bax x a b x|x bax x )x(f C bax b baxln a dx bax x . + + += + + += + + + + = + + = + = = =+ = =+ += + + + = + + = + + += + 1 )( 1 )( )( 1 )( 11 )( 1 11 )( 1 A 0 1 )(A B)A( , )( )( )( 1 )( 7 2 22 222 22 22 2 22 于是 有 即 则设 的定义域为被积函数证明

12、： - 4 - () C bax b b ax lnbbax a dx bax x baxt C t b t lnbt a C t ln a b t ata b dt ta b dt a dt ta b dt ta bttb dx bax x ta bttb ta tb bax x dt a dx ,bt a x,t tbax a b x|x bax x )x(f C bax b b ax lnbbax a dx bax x . + + += + += += += += + = + + = = + =+ + = + + += + 2 32 2 2 3 333 2 3323 2 23 22 2

13、2 22 22 22 2 2 2 2 2 2 32 2 2 1 )( )2( 1 21 12112 )( 2)( )( 11 )0( )( 2 1 )( 8 代入上式得：将 则令 的定义域为被积函数证明： C| x bax |ln bbaxb C bax b b|axln b |x|ln b dx baxb a dx baxb a dx xbbaxx dx b a D b a B b A 1Ab 0DBbAab2 0BaAa AbDBbAab2xBaAax DxBbxBaxAabx2AbxAa DxbaxBxbaxA1 bax D bax B x A baxx a b x|x baxx )x(

14、f C| x bax |ln bbaxbbaxx dx . 2 2 2 22 2222 2 2 + + + = + + += + + = + = = = = =+ =+ += += += + + + += + + = + + + = + 2 22 222 2 2 2 2 22 1 )( 1 1111 )( 1111 )( 1 )()( )()( )()( 1 )( 1 1 )( 1 )( 9 于是 有 则 设： 的定义域为证明：被积函数 - 5 - （二）含有（二）含有（二）含有（二）含有bax+的积分的积分的积分的积分（1018） Cbax a Cbax a baxdbax a dxbax

15、Cbax a dxbax += + + =+=+ +=+ + 3 1 2 1 2 1 3 )( 3 2 )( 2 1 1 11 )()( 1 )( 3 2 .10 证明： Cbaxbax a Cbaxbbax a dxbaxxbaxt Cbt a t Ct a b t a dt a b dt a dtbtt a dt a t t a bt dxbaxx t a bt baxxdt a t dx a bt xttbax Cbaxbax a dxbaxx += +=+= += += = =+ =+= =+ +=+ 3 2 3 2 2 2 3 3 2 5 2 3 2 5 2 24 2 2 22 3

16、2 )()23( 15 2 )(5)( 3 15 2 )53( 15 2 3 2 5 2 3 2 5 2 )( 22 , 2 , , )0( )()23( 15 2 .11 代入上式得：将 则令证明： Cbaxbabxxa a baxbbabxbxabax a dxbaxx baxt Cbtbt a t Ct a b t a b t a Ct a b t a b t a dtt a b dtt a b dtt a dtbttbtt a dxbaxx a bttbt t a bt baxx dt a t dx a bt xttbax Cbaxbabxxa a dxbaxx += +=+ += +

17、= += + + + + + = = +=+ + = =+ = =+ +=+ + 3222 3 22223 3 2 224 3 3 5 3 3 3 2 7 3 14 3 21 3 2 16 3 4 3 2 3 2 6 3 325 3 2 2 325 2 22 2 2 3222 3 2 )()81215( 105 2 )(4235301515 )( 105 2 )423515( 105 2 5 4 3 2 7 2 41 14 21 12 61 12 422 )2( 2 2)( , 2 , , )0( )()81215( 105 2 .12 代入上式得：将 则令证明： - 6 - Cbaxbax

18、a Cbax a b baxbax a dx bax x baxt Ct a b t a Ct a b t a bdt a dtt a dt a t at bt dx bax x dt a t dx a bt xttbax Cbaxbax a dx bax x += += + += += + + = = = + = =+ += + + )()2( 3 2 )( 2 )()( 3 2 2 3 2 2 21 12 22 2 , 2 , , )0( )()2( 3 2 .13 2 22 2 3 2 2 12 2 2 2 2 2 2 2 代入上式得：将 则令证明： Cbaxbabxxa a Cbaxb

19、axbbabxbxabax a dx bax x baxt Cbtbt a t Ct b tbt a dtt a b dtb a dtt a dtbtbt a dt a t ta bt dx bax x dt a t dx a bt xttbax Cbaxbabxxa a dx bax x += += + += += += += += = + = =+ += + )()843( 15 2 )()(1015)2(3)( 15 2 )10153( 15 2 ) 3 2 5 1 ( 2 422 )2( 2 21 )( , 2 , , )0( )()843( 15 2 .14 222 3 2222 3

20、 2 224 3 325 3 2 3 2 3 4 3 224 3 2 22 2 222 3 2 代入上式得：将 则令证明： - 7 - + + + + + = + + + = + += + = + = = = + = =+ + + + = + )0( 2 )0( 1 2 , 1 2 t 2 )( 1 2 2 0 . 2 1 1 )( 1 2 2 0b . 1 2 21 , 2 , , )0( )0( 2 )0( 1 .15 22 2 22 2 2 2 2 bC b bax arctan b bC bbax bbax ln b baxx dx C b bax arctan bbaxx dx ba

21、xt C b arctan b dt bt dt bt b C bbax bbax ln bbaxx dx baxt C bt bt ln b dt bt dt bt dt bt dt a t t a btbaxx dx dt a t dx a bt xttbax bC b bax arctan b bC bbax bbax ln b baxx dx 得：综合讨论 代入上式得：将 ，时当 代入上式得：将 ，时当 则令证明： C ax ax ln aax dx + + = 2 1 21 22 ：公式 C a x arctan aax dx += + 1 19 22 ：公式 - 8 - + + =

22、 + + + + = + + + = + + + = + + = + + + = + = = = =+ += + + + = + + + = + baxx dx b a bx bax dx baxxb a bx bax dx baxxb a dxbax a xbbx bax dx baxxb a baxd xbbx bax dx baxxb a x dbax b dx baxxb a dx x bax b dx baxx b a baxx dx b b a Bb BaA baxx x baxB baxxbaxx baxx dx b a bx bax baxx dx 2 1 2 1 )( 2 1

23、11 111 1 11 11 1 B A 1 0 )B( A1 , A1 2 .16 2 1 2 2 2 2 2 于是 有 则设证明： 2 2 1 2 )(2 2 1 22 1 22 1 , 1 22 1 22 2 2 2 2 , , )0( 2 .17 2 2 2 2 22 222 2 2 2 2 + += + + += + += += += + += += + = = = + = =+ + += + baxx dx bbax dx bax a bbax bbaxdx x bax baxt dx t a bt bt dt bt btdx x bax dt bt Rb dt bt bt dt

24、bt bdtdt bt bbt dt bt t dt a t bt at dx x bax dt a t dx a bt xttbax baxx dx bbaxdx x bax 代入上式得：将 不能明确积分符号可正可负取值为 则令证明： - 9 - （三）含有（三）含有（三）含有（三）含有 22 ax的积分的积分的积分的积分（1921） 2 2 )( 1 1 1 2 .18 2 1 2 2 + + + = + + = + + = += + + + + = + baxx dxa x bax dx a bax xx bax baxd xx bax x dbaxdx x bax baxx dxa x

25、 bax dx x bax 证明： C a x arctan aax dx a x arctant a x arctan ttanta x Ct a dt a t dtseca tsecaax dx tsecattana dx ax t dtsecatantaddx t tantax C a x arctan aax dx 2 22 222 2 += + = = += = = + = + = + =+abax 的积分的积分的积分的积分（2228） )0( 2 1 )0( 1 2 , 1 2 1 1 2 1 )( 11 1 )( 11 )( 11 0 . 2 1 C 1 )( 11 1 )( 1

26、111 0b . 1 )( )0( 2 1 )0( 1 .22 2 22 2 22 2 2 22 2 22 2 2 2 + = + + + = + + = = + = = + + = + bC bxa bxa ln ab bCx b a arctan ab bax dx C bxa bxa ln ab C a b x a b x ln a a b dx a b x abax dx a a b x a a b x bax b Cx b a arctan ab x b a arctan b a a dx a b x abax dx a a b x a a b x bax 0a bC bxa bxa

27、 ln ab bCx b a arctan ab bax dx 得：综合讨论 ，时当 ，时当 证明： Cb axln a baxd baxa dx bax dx bax x aCbaxln a dx bax x 2 2 += + + = + = + += + 2 1 )( 1 2 1 1 2 1 )0( 2 1 .23 2 2 2 22 2 证明： - 12 - + = + = + = + = + + = + bax dx a b a x dx baxa b dx ba b dx baxba b dx bbax ax a b dx bax x a bax dx a b a x dx bax x

28、 2 2 2 2 2 2 2 22 2 11 ) 11 ( 1 )0( .24 证明： C 2 1 2 1 2 1 )( 1 2 11 2 1 1 2 1 2 1 )( 1 2 1 )( 1 1 )()(1 )( 1 )( 1 2 1 )()( )( C 2 1 )( .25 2 2 22 22 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 + + = += + + = + = + = + = = = =+ +=+= + += + + = + = + + + = + bax x ln b Cbax ln b xln b baxd baxb dx xb dx baxb a dx xb dx ba

29、xb a bxbaxx dx b a B b A Ab 0BAa AbBAax BxbaxA bax B x A baxx dx baxx dx baxx x baxx dx 0a bax x ln bbaxx dx 2 2 22 222 222 2 22 2 于是 有 则 设： 证明： - 13 - + = + = + = + = = = =+ +=+= + += + + = + bax dx b a bx dx baxb a dx xb dx baxb a bxbaxx dx b a B b A Ab 0BAa AbBAax BxbaxA bax B x A baxx a bax dx b

30、 a bxbaxx dx 2 2 22 222 222 22 1 111 )( 1 )( 1 1 )()(1 )( 1 0)( 1 )( .26 2 22 2 2 于是 有 则 设：证明： C bxx bax ln b a Cbax ln b a bx xln b a dx baxb a dx xb dx xb a baxx dx b a C b a A b B Bb BaAb CAa BbxBaAbxCAa CxbaxBbaxAx bax C x B x A baxx dx baxx dx baxx x baxx dx 0aC bxx bax ln b a baxx dx 22 2 22 2

31、22 2 22 2 + + = += + += + = = = = =+ =+ += += + += + + = + = + + + = + 22 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 4 2 223 2 2 2 4 42 44 2 4 43 22 2 23 2 1 2 22 1 2 1 2 1 2 11 2 )( 1 1 0 0 )()( )()(1 )( 1 )( 1 2 1 )()( )( 2 1 2)( .27 于是 有 则 设： 证明： - 14 - （五）含有（五）含有（五）含有（五）含有) 0( 2 +acbxax的积分的积分的积分的积分（2930） + + + + + =

32、+ + = + = + + + + + + + = + bax dx bbaxb x dx baxbbbaxabx bbax dx baxbbabxbaxax dx baxbb dx xabbaxax dx baxbabxbaxax b B b A Ab BaAa Abx)BaAa(BaxbaxA bax B ax A baxax dx axbaxbaxax ax d baxbaxaxbax d axbax dx 0a bax dx bbaxb x bax dx . 22 22 2 22 222 222 22 222 22 2222 222 上式于是 有 ，则设： 证明： - 15 - （六）

33、含有（六）含有（六）含有（六）含有)0( 22 +aax的积分的积分的积分的积分（3144） + += + + + = + + + + = + + = + + += + cbxax dx a b cbxaxln a dx cbxaxa b cbxaxd cbxaxa dx cbxax b a dx cbxax bax a dx cbxax bbax a dx cbxax x a cbxax dx a b cbxaxln a dx cbxax x 2 2 2 2 2 22 22 2 2 2 2 2 1 1 2 )( 1 2 1 2 12 2 1 2 2 1 )0( 2 2 1 .30 证明： C)( , 1 |AB| , |AC| BRt 1 , 0 1 , 22 | , ) ) 22 ( 1 )0( C)( 31 22 22 22 3 22 2 22 2 22 2 22 22 22 2 22 22 22 22 22 1 22 += + + += += + + = += + = + = += += = = + =+= =+=+=+= + axxln ax dx 0 xax C xax ln Clna xax ln C a xax ln C tant sect ln ax dx a x tant a ax cost sect axx,a|BC| ,tABC C tant s