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1、矩阵的秩及其求法 1. 利用定义求矩阵的秩利用定义求矩阵的秩 利用定义求矩阵的秩就是利用矩阵的子式或行列式是 否为零来确定矩阵的秩. ).( )( 1 ArAa aAaA ijij ijijnnij ，求若 的代数余子式，为为非零矩阵，设例 ；，所以至少有一个元素因为解00 ij aA 行展开，有按第将 |iA , 0| 1 2 1 n j ij n j ijij aAaA .)( nAr故 .* *求逆有关中用，这时题目常常与若在；另一个是 ）展开；一是行列式按行（列方用到注：我们一般在两个地 AA A ij 2 ( )=2 ().Anr An,r A*例设为阶方阵且求 阶子式全为零，的所有
2、知：由解 1 2)( nAnAr . 0*)(0* ArA，从而故 .3)( 111 111 111 111 3aAr a a a a A，求，若设例 3 3 0 ijijij AaO,aA, A_. 1 *T ijij aAAA . ，即，所以因为解0|3)( AAr . 0) 1)(3( 111 111 111 111 | 3 aa a a a a A ；，时，当1)( 1111 1111 1111 1111 1 ArA a ，时，当 3111 1311 1131 1113 3 A a ， 阶子式的由于016 311 131 113 3 A. 33)(aAr，故 n abbb babb A
3、 bbba 一般地，若 则有： ()? n r A . 0| 4 AB nmmnBnmA 求证 ，矩阵，且为矩阵，为设例 ()( )r ABr An证 因为， 2. 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩利用矩阵的初等变换求矩阵的秩 利用矩阵的初等变换求矩阵的秩，就是利用初等变换将 A 化为阶梯形矩阵，然后由阶梯形矩阵的秩确定 A 的秩. 这是一类非常基本的题目，必须做到会做且做对. 有时我们也利用矩阵的秩来求矩阵的行列式，见例4. ABmmn .而为阶方阵，且， AB故为降秩方阵， |0 .AB 从而 102 5 4 3 ( )2 020 () 103 Ar AB.r AB . 例设为阶矩阵且，求 B 因为解 13 rr , 500 020 201 为满秩阵，即所以 3)( BBr . 2)()( ArABr从而 关于矩阵秩的公式关于矩阵秩的公式