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1、第 24 卷第 3 期济宁师范专科学校学报2003 年 6 月11Journal of Jining Teachers College1Vol 24 No 3J un 2003文章编号 :1004 - 1877 (2003) 03 - 0005 - 02谈齐次线性方程组的基础解系的求法孙学农(东营职业学院 ,山东东营 257091)摘要:本文首先陈述求齐次线性方程组的基础解系的简化解法 ,进一步利用矩阵的初等变换给出了一种很有使用价值的简便方法。关键词:基础解系;初等变换;线性无关;向量中图分类号:O241. 6文献标识码:A考虑齐次线性方程组a11 x1 + a12 x2 + + a1nxn
2、 = 0a21 x1 + a22 x2 + + a2nxn = 0(1)am1 x1 + am2 x2 + + amnxn = 0定义设 a1 ,a2 , ,as 是方程组(1) 的解向量 ,并且 :(1) a1 ,a2 , ,as 线性无关 :(2) 方程组(1) 的任一解向量 a 都可由向量组 a1 ,a2 , ,as 线性表出 , 则称 a1 ,a2 , ,as 是线性方程组(1) 的一个基础解系。定理 若齐次线性方程组(1) 中的系数矩阵的秩 r n (r 0) ,那么方程组(1) 有基础解系 ,且基础解系所含解向量的个数等于 n - r 。算法先将系数矩阵 A 进行初等行变换 ,化成
3、阶梯阵 U =0,显然 AX = 0 当且仅当 UX = 0. 然后将矩阵进行列变换 ,变成3C113础解系。C22w3T =0Crr00注意此时自变量 x1 ,x2 , ,xn 的次序有可能发生变化 ,我们把改变顺序的向量组成新向量 Y,因此 AX = 0 当且仅当TY= 0 。设 Y= (y1,y2 , ,yr ,yr + 1 , ,yn ) ,取(yr + 1 , yn ) 分别为(1 ,0 ,0 , ,0) , (0 ,1 ,0 , ,0) , (0 ,0 ,1 , ,0) , (0 ,0 ,0 , ,1) ,分别代入 TY= 0 可得 n - r 组(y1 ,y2 , ,yr) ,将
4、每组(y1 ,y2 , ,yr) 与其对应的组(yr + 1 , ,yn ) 合起来 ,可得 TY = 0的一个基础解系 Y1 , Y2, , Yn - r ,将 Y1 , Y2 , , Yn - r中分量的顺序调整到 X 的顺序 ,分别得到 a1 ,a2 , ,an - r ,即为 AX = 0的基例 求齐次线性方程组x1 - x2 + 5x3 - x4 = 0x1 + x2 - 2x3 + 3x4 = 03x1 - x2 + 8x3 + x4 = 0x1 + 3x2 - 9x3 + 7x4 = 0的一个基础解系。收稿日期:2003 - 03 - 03作者简介:孙学农(1971 - ) ,男
5、 ,山东省东营市人 ,山东东营职业学院讲师 1 51- 15- 11- 15- 111- 2302- 74解 A =- 1810000313- 970000取 x3 ,x4 为自由未知量 ,得方程组为x1 - x2 = - 5x3 + x42x2 = 7x3 - 4x4令 x3 = 1 ,x4 = 0 ,得 x1 = - 3/ 2 ,x2 = 7/ 2x3 = 0 ,x4 = 1 ,得 x1 = - 1 ,x2 = - 2则 a1 = ( - 3/ 2 ,7/ 2 ,1 ,0) ,a2 = ( - 1 , - 2 ,0 ,1) 为所求的一个基础解系。下面我们来导出一个求基础解系的简便方法。为变
6、换上的方便 ,不妨把线性方程组写成矩阵方程 X1 nAn m = 01 m ,因 n m 矩阵 A 必有 n 阶和 m 阶可逆阵 P 和Ir0Ir0Q1DrQ ,使 PAQ =0,其中 r = 秩 A ,Ir 为阶单位矩阵 ,故 PA =0=,这里 Dr 为满秩矩阵。而 n 阶可逆矩阵 P000的后 n - r 行必线性无关 ,且为0 ,In - r P ,这里 In - r为 n - r 阶单位矩阵。因0 ,In - r PA = 0 ,In - r Dr= 0 。此示 , P 的后 n0- r 行就是(1) 的解向量 ,从而 P 的后 n - r 行就是(1) 的一个基础解系。从而我们得到
7、一个求(1) 的一个基础解系的简便方法是:An m ,In Dr,P,0其中 ,Dr 为一行满秩矩阵 ,r = 秩(A) , P 为 n 阶可逆阵 ,则 P 的后 n - r 行即为(1) 的一个基础解系。下面我们用此方法来解上述例题1131100011311000- 11- 13010002241100解 :8- 9001 0- 7- 7- 14- 50105 - 20- 131700010448100111311000022411000000- 3710220000- 1- 201于是 ,a1 = ( -3/ 2 ,7/ 2 ,1 ,0)a2 = ( - 1 , - 2 ,0 ,1) 为所求的一个基础解系。因可逆矩阵可表示成一系列初等矩阵的乘积 ,由初等矩阵与初等变换的关系及本文的定理即得上述齐次线性方程组的基础解系的一种简便求法。参考文献: 1 北京大学数学系. 高等代数M . 高等教育出版社 ,1988. 2 刘树利等编. 计算机数学基础M . 高等教育出版社 ,2000.(责任编辑庞新琴) 6