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1、11 同 态 与 不 变 子 群 一、同态基本定理一、同态基本定理 定理定理 1 设设 G 是一个群是一个群, NG, 则则 : a aN (aG) 是是 G 到到 G/N 的同态满射的同态满射(称称 为为自然同态自然同态). 因此因此 G G/N. 定义定义 1 设设 是群是群 G 到到的同态满射的同态满射, 的单位元的单位元在在 之下之下GGe 的所有逆像作成的的所有逆像作成的 G 的子集叫做同态满射的子集叫做同态满射 的的核核, 记为记为 Ker . Ker = aG | (a) =. e 推论推论 若若 N 是群是群 G 的不变子群的不变子群, 为为 G 到商群到商群 G/N 的自然同
2、态的自然同态, 则则 N = Ker . 定理定理 2(群同态基本定理群同态基本定理) 设设 是群是群 G 到群到群的同态满射的同态满射, N = G Ker , 则则 NG, 且且 G/N. G 令令 .:( ),aNaaaG 则则 是是 G/N 与与间的一个同构映射间的一个同构映射.G aN = bNb-1aN (b-1a) = (b)-1 (a) = (a) = (b) ee ( ( aN ) = ( bN ) 例例 1 设设 G, 分别是阶为分别是阶为 m, n 的有限群的有限群, 且且 G , 证明证明 n|m .GG 二、子群的同态像二、子群的同态像 定义定义 2 设设 是集合是集
3、合 A 到到的一个满射的一个满射.A 如果如果 SA, 则称则称 ( ) ( )|SaaS 为为 S 在在 之下的之下的像像. 如果如果, 则称则称SA 1( ) | ( )SaAaS 为为在在 之下的之下的逆像逆像(原像原像).S Ker = aG | (a) = = -1() ee 定理定理 4 设群设群 G 与与同态同态, 那么在同态满射那么在同态满射 之下之下,G (i) G 的的子群子群 H 的的像像是是的的子群子群;()HH G (ii) G 的的不变子群不变子群 N 的的像像是是的的不变子群不变子群.()NN G 定理定理 5 设群设群 G 与与同态同态, 那么在同态满射那么在同
4、态满射 之下之下,G (i) 的子群的子群的逆像的逆像 G .GH 1( )HH (ii) 的不变子群的不变子群的逆像的逆像G .GN 1( )NN 三、同构定理介绍三、同构定理介绍 定理定理 6 (第一同构定理第一同构定理) 设群设群 G, , 则则 NG,NG 1( )NN G, 且且 /.G NG N 证证 记记 令令( ),.aa aG :,.aaNaG 则则是是 G 到到的一个满射的一个满射, 且且 /G N () ()()()( ) ( )abab Nab NaNb Nab 故是故是 G 到到的同态满射的同态满射./G N ( )aKeraeNaNeN .aNaN .KerN 根据同态基本定理根据同态基本定理, 命题得证命题得证 . 定理定理 7(第二同构定理第二同构定理) 设设 HG，KG, 则则 HKH, 且且 HK / KH / HK. 推论推论 设设 H, K 是是 G 的两个不变子群的两个不变子群, 且且 KH, 则则 H/KG/K, 且且 G/H(G/K) / ( H/K).