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1、第三章习题 31 、设 A,B 是相互独立且同服从 N (0,s 2 ) 的随机变量，求随机过程的 X t = A t + B, t 均值函数、自相关函数、协方差函数。答：均值函数： mX t = E (X t ) = E (At + B ) = tE (A ) + E (B) = 0自相关函数：t2 ) ()()R( 12 )= E(Xt11+ BAt2t , tX= E At+ B )( 12 )() 1 2A2 +( 1+ t2 )1 2()+ E(+ t= E t ttAB + B 2 = t tEA 2B 2tEABA, B 相互独立， E (AB ) = E (A ) E (B)
2、= 0又 E (A2 ) = E (B2 ) = s 2 ， R ( t1 , t 2 ) = ( t1t 2 +1)s 2协方差函数：c X (t1 , t 2 ) = R ( t1 ,t 2 )- E (X t1 )E (Xt2 )E (Xt ) = 0 ， c X (t1 , t 2 ) = R ( t1 , t 2 ) = ( t1t 2 +1)s 22、设随机过程X t , t T的均值函数为 mxt ，协方差函数为 c X (t1 , t2 ) 。记随机过程 Yt = X t + j (t ), t T ，其中，j (t )是普通函数。（1）求Yt 的均值函数和协方差函数；（2）如
3、果j ( t ) = -mXt，证明 RY (t1 , t 2 ) = cY (t1 , t 2 ) = c X (t1 ,t2 )答：（1）mYt= E (X t + j ( t ) = E (X t )+ j ( t ) = m X t+j (t )RY(t1 , t 2) = E ( X t+ j ( t1 )(X t2+ j ( t 2 )= E X tX t2+ X t j ( t 2)+ X tj ( t1 )+j ( t1 )j (t2)1112= RX (t1 , t 2 )+ j ( t 2 )m X t1 + j ( t1 )m X t 2 +j ( t1 )j (t2 )
4、cY (t1 , t 2 ) = RY (t1 , t 2 )- E ( Yt1 )E (Yt 2 ) = RY (t1 ,t 2 )- m X t1 + j ( t1 ) m X t2 +j (t2 )（2）j ( t ) = - m X t j ( t1 ) = - m X t1 ,j ( t2 ) = -mXt2RY (t1 , t 2 ) = R X (t1 , t 2 )+ j ( t 2 )m X t1 + j ( t1 )m X t 2 +j ( t1 )j (t2 )= RX (t1 , t 2 )- m X t1 mX t 2 = c X (t1 , t2 )cY (t1 ,
5、 t 2 ) = RY (t1 , t 2 )- m X t1 + j ( t1 ) m X t 2 +j (t2 )= RX (t1 , t 2 )- m X t1 mX t 2 = c X (t1 , t2 ) RY (t1 , t 2 ) = cY (t1 , t 2 ) = c X (t1 ,t2 )1, X t x，证明：3、已知随机过程X t , t T，对任意实数 x 定义随机过程Yt = x0, X tYt 的均值函数和自相关函数分别是 X t 的一维和二维分布函数。证明：1 ()设随机过程tx; t，二维分布函数为X, t T 的一维分布函数为 FF2 (x1 , x2 ;
6、t1 , t2 ) ，固定 t 时，Yt 是服从 0-1 分布的随机变量，其分布律为Yt01PkP X t xP X t x于是Yt 的均值函数为mY = E ( Yt ) = 0 P X t x+ 1 P X t x = P X t x = F1 (x; t )t又随机变量Yt和Yt的联合分布律为12Yt2Yt0110P X t1 x, X t 2 xP X t1 x, X t 2 x1P X t1 x, X t 2 xP X t1 x, X t 2 xRY (t1 , t 2 ) = E (Yt1 Yt 2 ) = 0 0 P X t1 x , X t 2 x+ 0 1 P X t1 x
7、, X t 2 x+1 0 P X t1 x , X t 2 x+ 1 1 P X t1 x , X t 2 x= P X t1 x , X t 2 x= F2 (x1 , x2 ; t1 , t2 )4、设X t , t a是齐次独立增量过程，且 X a = 0 ，方差函数为s X2 t ，记随机过程Yt = kX t + c, k , c是常数,k 0 。（1）证明Yt 是齐次独立增量随机过程；（2）求Yt 的方差函数与协方差函数。答：（1）证明：Yt = kX t + c, k , c是常数,k 0Yt +t - Yt = ( kX t +t + c ) - ( kX t + c ) =
8、 k (X t +t - Xt ) X t , t a是齐次独立增量过程， 增量X t +t - Xt 的概率分布只依赖于t 而与 t 无关 增量Yt +t -Yt 的概率分布也只依赖于t 而与 t 无关 Yt 是齐次独立增量随机过程。（2）由题意知： X t 的方差函数为s X2 t ，即 D (Xt ) = s X2tD ( Yt ) = D (kX t + c ) = k 2 D (X t ) = k 2s X2t则Yt 的方差函数为 k 2s X2t 。cY (t1 , t 2 ) = cov (Yt1 , Yt 2 ) = cov (kX t1 + c, kX t 2 + c ) =
9、 k 2 cov (X t1 , X t 2 ) = k 2 c X (t1 ,t2 )X t 是齐次独立增量过程，当 X a = 0 时有 c X (t1 , t 2 ) = DX (min (t1 ,t2 ) = s X2 min ( t1 ,t2 ) cY (t1 , t 2 ) = k 2 c X (t1 ,t 2 ) = k 2s X2 min ( t1 ,t2 )则Yt 的协方差函数为 k 2s X2 min ( t1 ,t2 ) 。5、（1）设通过某路口的车辆数符合强度为 l 的泊松过程，已知 1 分钟内无车辆通过的概率为 0.2，试求 2 分钟内有多于 1 辆车通过的概率。（2
10、）设乘客到达某汽车站的乘客数为一泊松过程，平均每 10 分钟到达 5 位乘客，试求在 20 分钟内到达汽车站至少有 10 位乘客的概率。答：（1） P (N t = k ) = (lkt!)k e-ltP (N1 = 0 ) = e-l = 0.2 l = ln 5P (N 2 1) = 1 - P (N 2 1) = 1 - P (N 2 = 0 ) - P (N2 =1)= 1 - e -2 l - 2le-2l = 0.96 - 0.08 ln 5 = 0.83（2）E (N t ) = lt ，由题设知，平均每 10 分钟到达 5 位乘客。 l = 5 ， P (N t 10 ) =
11、1 - P (N t 9 ) = 1 - 9 10k e-10 = 0.5420510k =0 k !+(0.5 20)k e-0.520或 P (N20 10 ) = = 0.54205k !k =106、设U 是随机变量，随机过程 X t = U , - t 。（1） X t 是严平稳随机过程吗？为什么？（2）如果 E (U ) = m , Var (U ) = s 2 ，证明： X t 的自相关函数是常数。答：（1）X t 是严平稳随机过程。mx (t ) = E (U ) = E (X t ) = E (X )(常数)Rx (t , t + t ) = E (X t X t +t )
12、= E (X 2 ) = D (X )+ ( E (X )2 = s 2 + m2 = Rx (t )所以该随机过程是严平稳随机过程。（2）根据自相关函数的定义，设 r (t ) 为平稳过程 X t 的自相关函数，由（1）得出自相关函数是s 2 + m2 ，是一常数。7、设随机过程 X t = U cos t + V sin t , - t ，其中，U 与V 相互独立，且都服从 N (0,1)。（1） X t 是平稳过程吗？为什么？（2） X t 是严平稳过程吗？为什么？答：（1）是平稳过程。E (X t )=E (U cos t + V sin t ) = E (U cos t )+ E (
13、V sin t ) = cos tE (U )+ sin tE (V )因为U 与V 相互独立且都服从 N (0,1)，所以 E (U )和 E (V ) 确定，则 E (Xt ) 确定，所以 X t 是一个平稳过程。（2）是严平稳过程。X t的均值 = E (X t ) = cos tE (U )+ sin tE (V )Rx (t , s ) = E (X t X s ) = 1 cos (t - s ) = cos (t - s)因为 X t 是正态过程，所以 X t 是严平稳过程。n, n) 是相互独立的随机变量，8、设随机过程 Yn = X j , Y0 = 0 ，其中 X j (
14、j =1,j =1(j)(j= 0) n且 PX= 1 = p, PX= 1 - p ，求 Y , n =1, 2,的均值函数和协方差函数。答：nnnE (Yn ) = E X j = E(X j ) = np ，Var (Yn ) = Var (X j )j =1j =1j =1E (X j ) = p, E (X 2j) = p ，Var (Yn ) = n( p - p2 )( m n ) m( m ) n( n )( m n)- mnp2Cov Y ,Y= E Y- E Y Y- E Y = E Y Y当 m n 时， Cov ( Ym , Yn ) = np (1- p) 综上所述，
15、 Cov ( Ym , Yn ) = p (1 - p ) min m, n所以均值函数为 np ，协方差函数为 ip (1- p)9、设随机过程 X t 的协方差函数 c X (t1 , t2 ) ，方差函数s X2 t 。试证：c X (t1 , t 2 ) s X t1 s X t2 , c X (t1 , t2 ) 12 (s 2Xt1 +s 2Xt2 )证明：c X (t1 , t 2 ) = Cov (X t1 , X t 2 ) = E ( X t1 - E (X t1 )(X t 2 - E (Xt2 )由柯西-许瓦兹不等式知，( c X (t1 , t 2 )2 = E (
16、X t1 - E (X t1 )(X t 2 - E (X t2 )2 E (X t1- E (X t1 )2(X t 2- E (X t 2 )222E s t1 st2c X (t1 , t2 ) s X t s Xt121(s 2Xt1+ s 2Xt2 )- s X t1 s X t2 =1(s 2Xt1- 2s X t1 s X t 2+ s 2Xt2 )=1(s X t1 - s Xt2 )2 02221(s 2Xt1+ s 2Xt2 ) s X t1 s X t 2C X (t1 , t2 )210、设随机过程 X t 和Yt 的协方差函数 c XY (t1 , t2 )，试证：
17、c XY (t1 , t2 ) s X t1 sYt2证明：由柯西-许瓦兹不等式知 E (X t1 , X t 2 )2 E (X t21 )E (X t22 )要证CXYt , t2 ) ss即证 Ct , t2 s s2( 1X t1Yt2XY ( 12 )(X t1Yt2) Ct , t2= cov(Xt1,Y)2XY ( 12 )t2= E ( X t1 - E (X t1 )(Yt 2 - E (Yt2 )2 E X t1 - E (X t1 ) 2 E Yt 2 - E (Yt2 )2= s 2 s 2X t1Yt211、设随机过程 X t = X + Yt + Zt 2 ，其中
18、X , Y , Z 是相互独立的随机变量，且具有均值为 0，方差为 1，求随机过程 X t 的协方差函数。答：E ( X )=E (Y )=E (Z )=0，且D (X )=D ( Y )=D (Z )=1 E (X 2 )=E (Y 2 )=E (Z 2 )=1c X (t1 , t 2 ) = cov (X t1 , X t 2 ) = E ( X t1 - E (X t1 )(X t 2 - E (X t2 ) = E (X t1 X t 2 ) = E (X 2 + t1t 2Y 2 + t12 t 22 Z 2 ) = 1 + t1t 2 + t12 t2212、设随机过程 X t
19、= A sin (wt + Q) ，其中 A,w 为常数， Q 是在 (-p , p ) 上的均匀分布的随机变量，令Yt = Xt2，求 RY (t , t +t ) 和 RXY (t , t +t )答：1, -p Q 0, Y 0 ，求随机过程 X t 的一维概率密度函数及 E (Xt ) ， RX (t1 , t2 )。答：f (x ) = f ( y )y (x )ln x 1= f -t txE ( X t ) = E (e - Yt ) = 0 f ( y )e - yt dyR X (t1 , t 2 ) = E (X t1 X t 2 ) = E (e - Yt1 e - Yt
20、2 ) = 0 f ( y )e - y ( t1 +t2 )dy14、设 f (t ) 是一个周期为 T 的周期函数，随机变量 Y 在 (0,T ) 上均匀分布，令X= ft - Y，求证随机过程 X满足下等式 EXXt +t )=1Tf t)f(t +t dt0t()t(tT()证明：T 1t -Y =u1T1TE ( X t) = 0f (t - Y )dY t -T f (u )d(-u )=0f (t )dtTTTE ( X tX t +t ) = 0T1f (t - Y ) f (t + t - Y )dY =10T f (t ) f (t +t )dtTT15、设N t , t 0为具有参数 l 的齐次 Poisson 过程，求 Poisson 过程的特征函数。答：jNt (u ) = E (e- lt (lt )keiuNt ) = eiukk =0k != e - l t (lteiuk )k= e - l te l teiu = elt ( eiu -1)k !k =0