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1、2006年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（理工农医类）数学试卷(理工农医类)注意事项：1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题纸上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。2. 每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。3. 考试结束后，监考人员将本试题卷和答题卡一并收回。一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 函数的定义域是 A B C D 2. 若数列满足: , 且对任意正整数都有, 则 A B C
2、 D 3. 过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有 A4条 B6条 C8条 D12条4. “”是“函数在区间上为增函数”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件5. 已知 且关于的方程有实根, 则与的夹角的取值范围是 A B C D 6. 某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个, 则该外商不同的投资方案有A 16种 B36种 C42种 D60种 7. 过双曲线的左顶点作斜率为1的直线, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 且, 则双曲线的离心率是A B C D8. 设函数, 集合, 若, 则实数
3、的取值范围是 A B C D 9. 棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正四面体的截面)的面积是 A B C D 10. 若圆上至少有三个不同的点到直线的距离为,则直线的倾斜角的取值范围是A B C D 注意事项：请用0.5毫米黑色的签字笔直接答在答题卡上。答在试题卷上无效。二、填空题：本大题共5小题，每小题4分(第15小题每空2分)，共20分. 把答案填在答题卡中对应题号后的横线上。11. 若的展开式中的系数是, 则实数的值是_.12. 已知 则的最小值是_.13. 曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形的面积是 _.14.
4、若是偶函数, 则有序实数对可以 是_.(注: 写出你认为正确的一组数字即可)15. 如图2, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区域内 (不含边界)运动, 且,则的取值范围是_; 当时, 的取值范围是_. 三、解答题：本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16. （本小题满分12分）如图3, 是直角斜边上一点, . ()证明: ; ()若,求的值. 17. （本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤矿进行安全检查(简称安检), 若安检不合格, 则必须整改. 若整改后经复查仍不合格, 则强制关闭. 设每家煤矿安检是否合格是相互独立的, 且每家煤矿整改前合格
5、的概率是, 整改后安检合格的概率是, 计算(结果精确到);() 恰好有两家煤矿必须整改的概率; () 平均有多少家煤矿必须整改;() 至少关闭一家煤矿的概率 . 18. （本小题满分14分）如图4, 已知两个正四棱锥的高分别为1和2, () 证明: ; () 求异面直线所成的角;() 求点到平面的距离.19（本小题满分14分） 已知函数, 数列满足: , 证明 () ; () .20（本小题满分14分） 对1个单位质量的含污物体进行清洗, 清洗前其清洁度(含污物体的清洁度定义为: 为, 要求清洗完后的清洁度为. 有两种方案可供选择, 方案甲: 一次清洗; 方案乙: 分两次清洗. 该物体初次清洗
6、后受残留水等因素影响, 其质量变为. 设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是, 用单位质量的水第二次清洗后的清洁度是, 其中是该物体初次清洗后的清洁度. ()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量, 并比较哪一种方案用水量较少; ()若采用方案乙, 当为某固定值时, 如何安排初次与第二次清洗的用水量, 使总用水量最小? 并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响. 21（本小题满分14分） 已知椭圆, 抛物线, 且的公共弦 过椭圆的右焦点 . () 当, 求的值, 并判断抛物线的焦点是否在直线上; () 是否存在的值, 使抛物线的焦点恰在直线上? 若存在, 求出符合条件的的值; 若不存在, 请说明理
7、由 . 答案： DADAB DACCB1. 2. 5 3. 4. 15. ，1函数的定义域是，解得x4，选D.2数列满足: , 且对任意正整数都有，数列是首项为，公比为的等比数列。，选A.3如图，过平行六面体任意两条棱的中点作直线, 其中与平面平行的直线共有12条，选D.4若“”，则函数=在区间上为增函数；而若在区间上为增函数，则0a1，所以“”是“函数在区间上为增函数”的充分不必要条件，选A.5 且关于的方程有实根，则，设向量的夹角为，cos=，选B.6某外商计划在4个候选城市投资3个不同的项目, 且在同一个城市投资的项目不超过2个，则有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此
8、时有种方案，二是在三个城市各投资1个项目，有种方案，共计有60种方案，选D.7过双曲线的左顶点(1，0)作斜率为1的直线：y=x1, 若与双曲线的两条渐近线分别相交于点, 联立方程组代入消元得， ，x1+x2=2x1x2，又,则B为AC中点，2x1=1+x2，代入解得， b2=9，双曲线的离心率e=，选A.8设函数, 集合，若a1时，M=x| 1xa；若a1时M=x| ax0， a1时，P=R，a1时，P=； 已知,所以选C.9棱长为2的正四面体ABCD 的四个顶点都在同一个球面上, 若过该球球心的一个截面如图为ABF，则图中AB=2，E为AB中点，则EFDC，在DCE中，DE=EC=，DC=
9、2，EF=，三角形ABF的面积是，选C.10圆整理为，圆心坐标为(2，2)，半径为3，要求圆上至少有三个不同的点到直线的距离为，则圆心到直线的距离应小于等于， ， ， ， ，直线的倾斜角的取值范围是，选B.二填空题：11 125 13 14 15，11的展开式中的系数=x3， 则实数的值是2.12已知，如图画出可行域，得交点A(1，2)，B(3，4)，则的最小值是5.13曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是.14ab0，是偶函数，只要a+b=0即可，可以取a=1，b=1.15如图, , 点在由射线, 线段及的延长线围成的区
10、域内 (不含边界)运动, 且，由向量加法的平行四边形法则，OP为平行四边形的对角线，该四边形应是以OB和OA的反向延长线为两邻边， 的取值范围是(，0)； 当时，要使P点落在指定区域内，即P点应落在DE上，CD=OB，CE=OB， 的取值范围是(，).三、解答题：本大题共6个小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.（本小题满分12分）BDCA图3如图3,D是直角ABC斜边BC上一点,AB=AD,记CAD=,ABC=.(1)证明 ;（2）若AC=DC,求的值.解：(1)如图3， 即（2）在中，由正弦定理得由(1)得，即17.（本小题满分12分）某安全生产监督部门对5家小型煤
11、矿进行安全检查(简称安检).若安检不合格,则必须进行整改.若整改后经复查仍不合格,则强行关闭.设每家煤矿安检是否合格是相互独立的,且每家煤矿整改前安检合格的概率是0.5, 整改后安检合格的概率是0.8,计算(结果精确到0.01):()恰好有两家煤矿必须整改的概率;()平均有多少家煤矿必须整改;()至少关闭一家煤矿的概率. 解：（）每家煤矿必须整改的概率是10.5，且每家煤矿是否整改是相互独立的. 所以恰好有两家煤矿必须整改的概率是.（）由题设，必须整改的煤矿数服从二项分布B(5,0.5).从而的数学期望是 E，即平均有2.50家煤矿必须整改.()某煤矿被关闭，即该煤矿第一次安检不合格，整改后经
12、复查仍不合格，所以该煤矿被关闭的概率是，从而该煤矿不被关闭的概率是0.9.由题意，每家煤矿是否被关闭是相互独立的，所以至少关闭一家煤矿的概率是18. （本小题满分14分）如图4,已知两个正四棱锥P-ABCD与Q-ABCD的高分别为1和2,AB=4. ()证明PQ平面ABCD; ()求异面直线AQ与PB所成的角;()求点P到平面QAD的距离.QPADCB图112 4 444QBCPADzyxO解法一：（）连结AC、BD，设.由PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以PO平面ABCD，QO平面ABCD.从而P、O、Q三点在一条直线上，所以PQ平面ABCD. （II）由题设知，ABCD是正方形，所以
13、由（I），平面，故可以分别以直线CA、DB、QP为轴，轴，轴建立空间直角坐标系（如上图），由题设条件，相关各点的坐标分别是，所以,于是从而异面直线AQ与PB所成的角是.()由（），点D的坐标是（0，0），设是平面QAD的一个法向量，由 得.取x=1，得.所以点P到平面QAD的距离.解法二：（）取AD的中点M，连结PM，QM.因为PABCD与QABCD都是正四棱锥，所以ADPM，ADQM. 从而AD平面PQM.又平面PQM，所以PQAD.同理PQAB，所以PQ平面ABCD.（）连结AC、BD设，由PQ平面ABCD及正四棱锥的性质可知O在PQ上，从而P、A、Q、C四点共面.取OC的中点N，连结PN
14、QBCPADOM因为，所以，从而AQP.BP（或其补角）是异面直线AQ与PB所成的角.连接BN，因为所以从而异面直线AQ与PB所成的角是()由（）知，AD平面PM，所以平面PM平面QAD. 过作于，则平面QAD，所以的长为点P到平面QAD的距离连结OM，则.所以，又，于是.即点P到平面QAD的距离是.19. （本小题满分14分）已知函数,数列满足:证明: （I）;（II）.证明: （I）先用数学归纳法证明，1,2,3, (i).当n=1时,由已知显然结论成立. (ii).假设当n=k时结论成立,即.因为0x0成立.于是故20. （本小题满分14分）对1个单位质量的含污物体进行清洗,清洗前其清洁
15、度(含污物体的清洁度定义为:)为0.8,要求洗完后的清洁度是0.99.有两种方案可供选择,方案甲:一次清洗;方案乙:两次清洗.该物体初次清洗后受残留水等因素影响,其质量变为(1a3).设用单位质量的水初次清洗后的清洁度是(),用质量的水第二次清洗后的清洁度是,其中是该物体初次清洗后的清洁度.()分别求出方案甲以及时方案乙的用水量,并比较哪一种方案用水量较少;()若采用方案乙,当为某定值时,如何安排初次与第二次清洗的用水量,使总用水量最少?并讨论取不同数值时对最少总用水量多少的影响.解：()设方案甲与方案乙的用水量分别为x与z,由题设有=0.99,解得x=19. 由得方案乙初次用水量为3, 第二
16、次用水量y满足方程: 解得y=4,故z=4+3.即两种方案的用水量分别为19与4+3. 因为当,故方案乙的用水量较少.（II）设初次与第二次清洗的用水量分别为与，类似（I）得，（*）于是+ 当为定值时, 当且仅当时等号成立.此时 将代入（*）式得 故时总用水量最少, 此时第一次与第二次用水量分别为 , 最少总用水量是. 当,故T()是增函数(也可以用二次函数的单调性判断).这说明,随着的值的最少总用水量, 最少总用水量最少总用水量.21. （本小题满分14分）已知椭圆C1:,抛物线C2:,且C1、C2的公共弦AB过椭圆C1的右焦点.()当AB轴时,求、的值，并判断抛物线C2的焦点是否在直线AB
17、上；()是否存在、的值，使抛物线C2的焦点恰在直线AB上？若存在，求出符合条件的、的值；若不存在，请说明理由.解：（）当ABx轴时，点A、B关于x轴对称，所以m0，直线AB的方程为： x =1，从而点A的坐标为（1，）或（1，）. 因为点A在抛物线上.所以，即.此时C2的焦点坐标为（，0），该焦点不在直线AB上.（II）解法一： 假设存在、的值使的焦点恰在直线AB上，由（I）知直线AB的斜率存在，故可设直线AB的方程为AyBOx由消去得设A、B的坐标分别为（x1,y1）, （x2,y2）, 则x1,x2是方程的两根，x1x2.由消去y得. 因为C2的焦点在直线上，所以，即.代入有.即. 由于x1,x2也是方程的两根，所以x1x2.从而. 解得又AB过C1、C2的焦点，所以，则 由、式得，即解得于是因为C2的焦点在直线上，所以.或由上知，满足条件的、存在，且或，解法二：设A、B的坐标分别为，因为AB既过C1的右焦点，又过C2的焦点，所以.即. 由（）知，于是直线AB的斜率， 且直线AB的方程是,所以. 又因为，所以. 将、代入得因为，所以将、代入得由、得即解得将代入得或由上知，满足条件的、存在，且或，