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1、指定-有限零点带内回波损耗交叉耦合滤波器的综合滤波器阶数用广义切比雪夫函数综合网络传输零点双端口网络参数S21(s)和 S11(s)的表达式及其相互转换从网络特征函数导出短路导纳参数y21(s)和 y22(s)的表达式交叉耦合网络模型从短路导纳参数阻抗矩阵提取耦合矩阵等效双端口网络模型S21，S11 响应曲线包含源-负载耦合的耦合矩阵综合幺正性N 阶耦合矩阵相关 Matlab 程序N+2 阶耦合矩阵跨耦合引入有限零点的原理耦合矩阵的线性变换Amari 的多项式递归方法Amari复零点的改多善项群式时递延归的方原法理双端口网络参数及其相互转换=-端口电压电流(V1 V2 I1 I2) 入射/反射
2、波电压(a1 b1 a2 b2) 散射矩阵参数(S11 S21) Ref. Jia-Sheng Hong “Microstrip Filters for RF Microwave Applications” 2.1&2.2-参考网络理论，在保证功率不变的前提下对各个端口电压电流归一化。vn = Vn /Z0nin = I n Z0n其中 Z0n 表示从端口 n 向外看的特性阻抗。图中 anv= a+ bbn 分别表示入射波和反射波电压的归一化值 vn+ vn- 有 nnn 即 in= an - bn双端口网络散射矩阵如下定义：-短路导纳参数(y) 开路网络参数(z) 输入阻抗(Z) 反射系数(
3、S11)Ref.黄席椿 高顺泉 滤波器综合设计原理 3.4&6.4-用短路导纳参数 y11 y12 y 21 y22 表示双端口网络的基本方程 V1=y 22I1 -y12I2y= y y22- y y21 I1 = y11V1 + y12V2yy1112=其中-yy11I2 = y 21V1 + y 22V2V =21I +I= y11 y 22 - y122 2y1y2用开路网络参数表示V1 = z11 I1 + z12 I2y22y- y- y21=z11 =z 22=11z12 = z21 =12=yyyyV2 = z 21 I1 + z22 I2将V2= -I 2 Z02 代入基本方
4、程，可得 I2=y21I1再代入得：y+ Z02y111z11+ Z02z11 1+ Z02V1V = y22I=输入阻抗Z( s) = y221z22 + Z02111I1z22 + Z02网络无耗，输入功率 P1 等于负载功率 P2 ，若在实频率下输入阻抗 Z11 ( jw) = R + jX ，有2V2 RV2 RP2 = P1 =I1R =0=0Z 01 + Z11( Z01+ R )2 + X 2V2Pmax=04Z01根据反射系数定义S112= 1 -P= 1-4 Z R=( Z 01 - R )2 + X 2=Z - Z ( jw)2向量角度理解Pmax( Z01 + R)2 +
5、 X 2( Z01 + R)2 + X 2Z01+ Z11( jw)2010111进行解析开拓 - Z11 ( -s)S11 ( s ) S11 ( - s ) =Z01 - Z11 ( s ) Z 01 Z01 + Z11 ( s ) Z 01 + Z11 ( -s)于是S11 ( s) =Z01 - Z11 ( s)=Z11 ( s ) =1 - S11 ( s)Z01Z01+ Z ( s)1 + S( s)1111交叉耦合网络模型Ref.Jia-Sheng Hong “Microstrip Filters for RF Microwave Applications” chapter 8=
6、根据 Kirchhoff 电压定律，各谐振回路电压之和为 0，列出电路环路方程组：Lij= Lji，表征谐振器 i 与谐振器 j 之间的互感系数，这里假设为电感耦合(电耦合)，因此互耦合引起的电压降带负号。将方程组用矩阵形式表示：即 Zi = e ，其中Z为 nn 阻抗矩阵。这里我们可首先考虑同步调谐滤波器，即各谐振器具有同一谐振频率 w0 ，那么滤波器的中心频率也为 w0 = 1/LC ，其中且下面对阻抗矩阵进行归一化。定义相对带宽 Z 为归一化阻抗矩阵，满足s定义外部品质因数 Qe 满足 定义耦合系数对于窄带滤波器有归一化阻抗矩阵可改写为：以上滤波器电路模型可看作双端口网络根据“双端口网络
7、参数及其相互转换”一节的讨论，有由Zi = e，得散射矩阵有如下表示方法上述分析方法对非异步调谐亦适用。所谓异步调谐，意思是各谐振器的谐振频率可以不等于滤波器中心频率w0 ，这等于增加了优化的输入变量(即自耦合系数)，能更充分地挖掘滤波器的潜力。这时归一化阻抗矩阵表示为：用广义切比雪夫函数综合网络传输零点=Ref.Richard J. Cameron“General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions”-满足广义切比雪夫特性的网络参数(S11,S21,Cn)相互关系-定义网络传输函数 S 21(
8、 s) ，反射系数 S 11(s) ，特征函数 C N (s) ，三者满足：CN ( w ) =S11( w )-S 21( w )-双端口无损网络能量守恒-由看出，3 种网络参数都可以表示成 2 个多项式的比值。其中 特征函数应具有 N 阶切比雪夫特性： w = 1 时 CN = 1， w 1 时 CN 1令 其中(归一化的传输零点)不难看出， CN ( w ) 符合切比雪夫多项式特性。下面求 EN ( w ) FN (w ) PN ( w ) 这 3 个多项式的系数，对应传输函数和反射系数的零极点由看出 E ( s ) E ( - s ) = F ( s ) F ( - s ) + P (
9、 s ) P ( -s)e 2-传输零点(n) S11,S21,Cn 表达式-首先求 FN ( w ) 和 PN (w ) 的表达式，即将 CN (w ) 分解成两分式比值。其中其中显然， CN ( w ) 的分母由传输零点 wn 组成，下面将 CN (w ) 的分子单独提出来分析其中用迭代的方法分析 GN ( w )得到迭代关系：总共进行 N-1 次迭代（包括所有无限零点），最终同理，分析 会发现所以，至此，各项系数已确定，根据 E ( s ) E ( - s ) = F ( s ) F ( - s ) +P ( s ) P ( -s)e 2可得到 E( s) 表达式，最终得到：从网络特征函
10、数导出短路导纳参数Ref.Richard J. Cameron“General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions”=由“双端口网络参数及其相互转换”的结论：z111+ Z021 - S11 ( s)y22Z11 ( s ) =Z01Z11 ( s) =1+ S ( s)z22+ Z0211将 Z01 归一化为 1，并将上面求得的 S11 ( s) 的解析式代入其中 m、n 分别为偶、奇次多项式求偶、奇次多项式：ei 和 fi 分别是 E(s)和 F(s)的实系数，因此 m1 的奇次项系数为 0
11、，n1 的偶次项系数为 0 在偶阶情况下，n1 阶数小于 m1，将 n1 提出=由于 y21 和 y22 的分母相同， y21 分子和 S 21 ( s) 有相同的传输零点，得： 同理，在奇阶情况下从短路导纳参数提取耦合矩阵Ref.Richard J. Cameron“General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions”=将 N 阶交叉耦合滤波器器视为一个二端口网络（上上图），并对源阻抗和负载进行归一化（上图），得到系统导纳矩阵：“交叉耦合网络模型”一节中讨论过 N 阶谐振网络的环路方程组计算该
12、双端口网络的短路导纳参数由于 M 是实对称矩阵，有以下结论：1. M 的特征值均为实数，2. 对应于两个不同的特征值的两个特征向量是正交的存在 NN 阶正交矩阵 T，满足- M = T L T t 其中 L = diag l1 , l2 , l3 , , lN ，li 是-M 的特征值，且 T T t = I 代入上式：等式右边可化为即将前面求得的 y21 ( s) 和 y22 ( s) 的表达式代入，即可求出 T 的第一行和最后一行其中，分别是和各个特征根的留数。还可求出 L = diag l1 , l2 , l3 , lN 构造一组满秩基 rank(T)=N T1kT2 kT1, N -1
13、T1N *T = *TNkTN , N -1TNkTNN 保持 T 的首尾行不变！对这组基进行正交变换，就能得到一组标准正交基，即正交矩阵 T。最后由- M = T L T t 求出耦合矩阵。以上求解的是源阻抗和负载归一化后的耦合矩阵，去归一化的方法为：散射矩阵的幺正性=-分析双端口无耗互易网络散射矩阵的幺正性 S11,S21 相位之间的关系 Ref. 吴万春 梁昌洪 微波网络及其应用 第一章-在微波传输线中，横向电场和磁场是决定功率沿轴向传输的量，通常用他们来定义线上的电压和电流，即传输线上的电压与其横向电场成比例，电流与其横向磁场成比例，可以把横向电场和磁场写为E = V ( z )e (
14、u , v) ttH t = I ( z ) ht ( u , v)式中 et ( u , v) 和 ht ( u , v) 是代表电场和磁场横截面分布的矢量，V ( z ) 和 I ( z ) 是标量，代表横向电场和磁场沿轴向传输情况，按照波印廷定理1Re s*1*s et ht i z dsP =Et H t i z ds =22Re V ( z ) I( z )1Re VIs et ht i z ds = 1P =归一化，令则传输功率是* 2对于多模传输线P =1Re Vn ( z ) I n* ( z)2n以上推论为下面做准备。研究单端口网络负载特性时，我们用一个封闭曲面 S 把负载包
15、围起来。封闭曲面内无源，麦克斯韦方程组为 E = - jwm H H = J + jwe E = d E + jwe En由 s E H * ds = s Et H t* i z ds = -Vi Ii* 其中 s 是输入端口面积i=1且 s E H * ds = v ( E H * )dv = - v (H * E - E H * )将麦氏方程组代入= - jw v m H 2 dv - v e E 2 dv - v d E 2 dv第一项是平均磁场能量WH ，第二项是平均电场能量WE ，最后一项是消耗功率 P ，得出：nVi I i* = jw ( 4WH - 4WE ) + 2Pi =1
16、对于无耗双端口网络i + v = jw (4WH - 4WE )v = a + b = ( I + s)a而 代入上式 i = a - b = ( I - s )ai + v = a + ( I + s + )( I - s )a = a + ( I - s + s )a + a + ( s + - s )a = jw ( 4WH - 4WE ) 式中 ( I - s + s ) 是实数矩阵，故 a + ( I - s + s )a 是实数，要使上式成立，必须s + s = I 称为无耗对称性（幺正性）即 s *s* ss10 11*21* 1112= s12s22 s 21s22 01由此可
17、得无耗双端口网络方程组 s11 2 + s21 2 = 1 s12 2 + s22 2 = 1 s11* s12 + s 21* s22 = 1 s12* s11 + s 21 s22* = 1对于互易网络 s12 = s21 后两式合并s2+s2 = 11121s122+s222= 1s *s+ s * s22= 1112121令 s21=s21e jfs =se jq1s22=s22e jq21111代入上面第 3 个式子，得e j (f -q1 ) + e j(q 2 -f ) = 0等价于 ( f - q1 ) = p + (q 2 - f )即 f -1(q1 + q2 ) =p(
18、2 k 1)22包含源-负载的交叉耦合滤波器=- (N+2)阶耦合矩阵 S 参数 设计指标 S21,S11 表达式 短路导纳参数 (N+2)阶耦合矩阵Ref. Richard J. Cameron“Advanced Coupling Matrix Synthesis Techniques for Microwave Filters”-在这种结构中，源和负载跟 N 个谐振器之间都能产生耦合，最多能产生 N 个有限传输零点，其(N+2)(N+2)阶耦合矩阵如下回路方程组写成矩阵方程E = Z I = ( sU 0 + jM + R ) I其中，U0 是将 N+2 阶单位矩阵中的第一个元素和最后一个
19、元素设为 0，其余元素不变；M 是 N+2 阶耦合矩阵， R 是 N+2 阶方阵，除左上角和右下角元素分别为 R1,R2 外，其余元素为 0。由“交叉耦合网络模型”的结论：-1S 21 = -2 j R1 R2 ZN1-1S11 = 1 + 2 jR1 Z11这里-类似“用广义切比雪夫函数综合网络传输零点”的讨论，求出 F(s), P(s), E(s)的表达式。由于引入源-负载耦合后，可以实现 S21 有限零点个数 nfz=N，分两种情况来考虑： nfz N同前 nfz =N对波纹系数作出修正（原因不详）其中，-然后考虑 S 参数矩阵的幺正性，即满足 f - 12 (q1 + q2 ) = p
20、2 ( 2 k 1) ，其中 3 个符号分别代表 S21, S11, S22 的相角。由于 S21, S11, S22 的分母相同，仅考虑它们的分子：S11, S22 分子多项式都有 N 个纯虚数零点，两者相位之和 (q1 + q 2 ) = 2N p2 = Np 。S21 分子多项式的有限零点要么在复平面的虚轴上，要么关于虚轴对称分布，那么总有f = nfz p2 。代入幺正性的表达式，得出：( N - nfz ) = 2 k 1说明滤波器阶数与有限零点个数的差必须为奇数。p如果不满足这个条件，就给上面求出的 S21 多项式的分子乘以虚数 i，使其相位增加 2-接着，按“从网络特征函数导出短
21、路导纳参数”，求出短路导纳系数显示表达：y ( s) 由分母 y d ( s) 和分子 y n (s) 构成，进而写成特征根 lk 和留数 rk 的表达式。当 nfz N 时，提取项 K0 = 0当 nfz =N 时， y 21 ( s) 分子分母的阶数相等，同为 N 阶，需提出一个常数项 K0 以降低分子阶数，方可得到其留数。提取 K0 的方法：当 nfz =N 时，对带内波纹进行修正，引入 e R ，使得 y d (s) 最高项系数为 (1 +1/ e R ) ，将其归一化，系数归入 K0 ，得到：于是， ，其分子为 N-1 阶，可求出留数。-包含源-负载耦合的 N 腔交叉耦合结构，可以看
22、作源、负载分别和每个谐振器耦合形成的耦合单元的并联(图 a)，第 k 个耦合单元的等效电路如图 b。耦合单元的转移A矩阵为：转换为导纳Y矩阵整个网络的短路导纳矩阵为各单元的导纳矩阵之和，并与之前求出的Y矩阵对比可以看出：至此，综合得到 fully canonical transversal network 形式的耦合矩阵(下图)，对应上面的”n腔源-负载交叉耦合结构”图，包含 N 个谐振腔的自耦合，源、负载与各个谐振腔的耦合，源-负载之间的直接耦合。类似“从短路导纳参数提取耦合矩阵”的讨论，有：经过线性变换，可以构造各种形式的耦合结构。相关 Matlab 程序=Ref.Richard J. Cameron“General Coupling Matrix Synthesis Methods for Chebyshev Filtering Functions” “Advanced Coupling Matrix Synthesis Techniques for Microwave Filters” Smain Amari“Synthesis of Cross-Coupled Resonator Filters Using an Analytical Gradient-Based Optimization Technique”- (NN)耦合矩阵-