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1、 2011届本科毕业论文(设计)题目：使用罗比达法则的解法探讨 学 院：数学科学学院专业班级：数学07实验班学生姓名：阿布都克尤木.阿布都热衣木指导教师：哈米旦.库尔班答辩日期：2011年5月12日新疆师范大学教务处 目 录引言41使用罗比达法则的推广42罗比达法则的解题技巧42.1罗比达法则的一般解题技巧42.2罗比达法则在特殊问题上的应用5总结8参考文献8致谢9使用罗比达法则的解法探讨摘要：用导数为工具解不定式的方法称为罗比达法则。罗比达法则是求极限的一种适用方法，在解决某些求极限问题时，可以加快解题的速度。关键词：罗比达法则；解题方法Using the method of law rob
2、bie discussed Abstract：As a good rule in seeking limit, L Hospitals rule can speed up the solution of a question.Key words：L Hospitals rule; solution使用罗比达法则的解法探讨引言罗比达法则：用导数为工具解不定式的方法称为罗比达法则。定理 ：如果函数，满足如下条件 （1）=0 ；（2）在点a的去心邻域内两者都可导且 ；（3）=A，则 ： =A注意 若定理中换成，只要相应地修正条件（2）中的领域，也可以得到同样的结论。此定理称为罗比达法则，是处理“0/
3、0”或“/”型极限的重要方法。有了以上的知识基础，在一般符合罗比达条件的极限问题解决起来会很方便。2 罗比达法则的解题技巧2.1 罗比达法则的一般解题技巧利用罗比达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一 。一，在解题中应注意：（1）在着手求极限以前，首先要检查是否满足“0/0”或“/”型，否则滥用罗比达法则会出错。当存在时（不包括 情形），就不能用罗比达法则，这时称罗比达法则失效，应从另外途径求极限，比如利用泰勒公式求解。（2）罗比达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。（3）罗比达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用罗比达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将
4、非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价无穷小替换等等。（4）有其它的极限类型，如“， /，0，1，”，都可以变化为“0/0”或“/”型，只要熟悉这两种类型的解法，就一劳永逸了。例1 求解分析：这是一道“0/0”型的题目，可以分子分母约去零因子（x1），化简求解，用罗比达法则这样求解：解：原式 求导运算将表达式化得很简单，解题越变越容易。定理 2 若函数和满足 ：（1）= ；（2）在的某右领域内两者都可导，且；（3）=A (A 可为实数，也可为，)，则 =A 。例2 求分析：这是一道“/”型的问题，等价代换的方法都用不了，这时考虑使用罗比达法则。解：原式 = = = =3对于一般的
5、极限题目，熟练掌握这些技巧，往往都能解决，但也要避免一些常犯的错误。例3 求解错解：原式=不存在（非）这并不表明结果就是极限不存在，当遇到这样的情况时，说明罗比达法则失效了。正解：原式=x sin=10=0注 1 若不存在，并不能说明不存在注 2 不能对任何比式极限都按罗比达法则求解。首先必须注意它是不是不定式极限，其次是否满足罗比达法则的其他条件。下面这个简单的极限 =1虽然是型，但若不顾条件随便使用罗比达法则： =就会因右式的极限不存在而推出原极限不存在的错误结论 。2.2 罗比达法则在特殊问题上的应用（1）如一些形如导数概念的问题，用罗比达法则很容易求解。例4 若f (x)在 x = a
6、 可导，求分析：像这样的形如导数的概念定义的问题，一般按照定义就可以求解。解：原式= = - = - = = 若是用罗比达法则，可以比较一下原式是“0/0”型+是不是方便很多呢？当然这题还可以用泰勒展式来处理，也可以比较一下=+=+代入原式=对比一下这三种方法，罗比达法则是最容易和行之有效的方法了。例5 若f (x)在 a 处二阶连续可导，求：解：此极限也形如导数的定义，但若是用上题的第一种方法，则行不通，用罗比达法则解之：原式=当然，这题还可以用泰勒展式来处理=+=-+代入原式得= 泰勒展式固然解题时很受用，但笔者认为罗比达法则还是更好一点。说明：以上2个问题虽然都可以用罗比达法则和泰勒展式
7、来解决，但泰勒展式的方法不太容易想到，而“0/0”的极限问题更容易联想到罗比达法则，过程也相当简单，容易计算。 （2）若分子分母含变限积分的问题，一般用罗比达法则。例6 分析：当极限运算中含有变限积分时，第一想法就是罗比达法则，在运算之前简单的判断一下它是否符合罗比达法则的条件（是“0/0”或“/”就可以了，其它条件的判断就看运用方法之后的结果）。解：原式 = = 注：此题中运用了变限积分的求导原理，即=f=f*-f*例7 求分析：此问题和例6非常相似，都具备了“0/0 ”和变限积分，用罗比达法则处理之。解：原式=2=2；总结： (1) 存在极限为非零的因子,可根据积的极限运算法则先求其极限.
8、(2) 凡乘积或商的非零无穷小因式, 可先用简单形式的等价无穷小替换.罗比达法则是一种极其重要的处理极限的方法，本文提供这些例子可为某些问题提供思路。参考文献：1韩松高等数学习题集M北京：科学技术文献出版社，19992王汉蓉微积分M武汉：华中科技大学出版社，2003 致谢大学四年很快就要结束了，在这宝贵的四年学习过程中，我认识了数学系的各级领导、老师和我亲爱的同学们，得到了他们热心的帮助和关心，使我能够顺利的完成学业，同时我的道德修养在身边优秀的老师和同学的感染下得到了很大的提高，在此向他们表示我最衷心的感谢！感谢我的指导老师，感谢对我毕业论文的细心指导，哈米旦老师严谨细致、认真负责的工作态度是我学习的典范，这对我以后走上工作岗位有很大的帮助.同时我要感谢我大学四年认识的所有好朋友，有了他们的陪伴、支持、鼓励，我的大学生活才有意义，从他们身上我学到了很多我没有的品质，我将永远珍惜这难得的友谊.到论文的顺利完成，有很多的可敬的老师、同学、朋友给了我真挚的帮助，在这里请接受我诚挚的谢意！再次对肖开提老师表示最诚挚的谢意和祝福！