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1、Research Institute of RF & Wireless Techniques 电磁场与电磁波 电磁场与电磁波 Electromagnetic Fields and Waves 第4讲 第4讲 矢量与场论3矢量与场论3 褚庆昕 华南理工大学电子与信息学院 射频与无线技术研究所 TEL: 22236201-601 Email: 旋度旋度 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 第第4讲内容讲内容 矢量场的旋度矢量场的旋度 算子的运算规则算子的运算规则 几个
2、重要的矢量公式几个重要的矢量公式 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 4.1 矢量的环量矢量的环量 环量环量：矢量 沿闭合路径的线积分。：矢量 沿闭合路径的线积分。 cos cc AdlAdl A 与 成右手螺旋关系。与 成右手螺旋关系。 环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡 特性。 环量只能在总量上反映场在某回路上的旋涡 特性。 n dl Research Institute of RF & Wireless Techniques South China Un
3、iversity of Technology 环量面密度：环量面密度： 单位面积内的环量。单位面积内的环量。 0 lim c S Adl S 矢量的环量与产生这种矢量的旋涡源有关：矢量的环量与产生这种矢量的旋涡源有关： 如果某矢量的环量不为零，则认为场中必然 有产生这种场的旋涡源。 如果某矢量的环量不为零，则认为场中必然 有产生这种场的旋涡源。 如果环量为零，则这个场中不可能有旋涡 源。 如果环量为零，则这个场中不可能有旋涡 源。 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technolog
4、y 4.2 旋度旋度 旋度的定义旋度的定义(rotation) 0 lim c S Adl rotAn S 旋度的方向是使得环量密度最大的环线所围 的面积的法向。 旋度的方向是使得环量密度最大的环线所围 的面积的法向。 旋度的模是该点最大的环量密度。旋度的模是该点最大的环量密度。 矢量的旋度仍为矢量。矢量的旋度仍为矢量。 某点某点M处的旋度与该点处的漩涡源有关。处的旋度与该点处的漩涡源有关。 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 以点以点M(x,y,z)为顶点在平
5、行于 为顶点在平 行于yoz平面上，取矩形 面元 平面上，取矩形 面元 设点设点M处的矢量为处的矢量为 旋度在三个坐标系中的计算公式旋度在三个坐标系中的计算公式 直角坐标系直角坐标系 xx Say z xxyyzz Aa Aa Aa A Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 则 沿闭合路径则 沿闭合路径1234的环量为的环量为 12 12 yz c yz z yz y yz y z AdlAa dyAa dz AadyAadz A AyAyz y A AzyAz z
6、 A A y z yz A Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 则的则的x轴方向分量为轴方向分量为rotA 0 lim x y cz x xS x Adl A A rotArotAa Syz 同理同理 0 0 lim lim y z cxz yS y y cx zS z Adl AA rotA Szx Adl A A rotA Sxy Research Institute of RF & Wireless Techniques South China Univer
7、sity of Technology 则在直角坐标系的计算公式为则在直角坐标系的计算公式为 xyz xyz yy xxzz xyz xyzxxyyzz xyz xyz rotAarotAarotAarotA AA AAAA aaa yzzxxy aaaa Aa Aa A xyz aaa A xyz AAA Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 柱坐标系柱坐标系 1 rzrrzz r z rz rotAA aaaa Aa Aa A rrz a aa r rz ArAA
8、 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 球坐标系球坐标系 2 11 sin sinsin sin R rr R R rotAA aaa RRR a Aa Aa A a aa RRR R ARARA Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 【例【例4-1】求 沿着在】求 沿着在xoy平面上 的一个闭合路径 平面上 的一个闭合路径c的线积分。此
9、闭合路径由在的线积分。此闭合路径由在(0,0) 和 之间的一段抛物线和 之间的一段抛物线 y2=x 和两段平行于坐 标轴的直线段组成。再计算 的旋度。 和两段平行于坐 标轴的直线段组成。再计算 的旋度。 222 xyz Aa xa ya z A (2,2) 解：回路在平面解：回路在平面xoy上，有上，有 0, xy dzdla dxa dy 则则 222 22 xyzxy Adl a xa ya za dxa dy x dxy dy Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technolo
10、gy 2222 22 AB cOA O B Adlx dxy dyx dxy dy x dxy dy 在路径在路径OA上，有上，有y=0, dy=0, x:02 在路径在路径AB上，有上，有x=2, dx=0, y:0 在路径在路径BO上，有上，有x:20, y: 0 则则 2 2 22 22 00 00 22 22 0 c Adlx dxy dy x dxy dy Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 则则 222 0 xyz aaa rotAA xyz xyz
11、Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 2 0 xyz z aaa xy rotAAa xyz xy xy xyxy 【例【例4-2】已知 ，求点】已知 ，求点(1,0,0)处的旋度 及该点沿 的环量面密度。 处的旋度 及该点沿 的环量面密度。 xy a xa y A xy yz laa 解：旋度解：旋度 所以在点所以在点(1,0,0) (1,0,0) z rotAAa Research Institute of RF & Wireless Techniques So
12、uth China University of Technology 方向上的单位矢量为方向上的单位矢量为l 2 yz l aa a 沿 方向的环量面密度为沿 方向的环量面密度为l 1 2 l Aa Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 矢量场的旋度和散度的意义矢量场的旋度和散度的意义 矢量场的旋度是矢量函数；矢量场的散度是标 量函数。 矢量场的旋度是矢量函数；矢量场的散度是标 量函数。 旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。旋度表示场中各点的场量与旋涡源的关系。
13、散度表示场中各点的场量与通量源的关系。散度表示场中各点的场量与通量源的关系。 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称 该场为 矢量场所在空间里的场量的旋度处处等于零，称 该场为无旋场无旋场(或保守场或保守场)。 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称 该场为 矢量场所在空间里的场量的散度处处等于零，称 该场为无散场无散场(或管形场或管形场)。 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 旋度表示是 的各个分量沿着与它们相垂直 的方向上的变化规律。 旋度表示是 的各
14、个分量沿着与它们相垂直 的方向上的变化规律。 A xyz xyz aaa rotAA xyz AAA 散度表示是 的场分量沿各自方向上的变化规 律。 散度表示是 的场分量沿各自方向上的变化规 律。 A y xz A AA divAA xyz Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 旋度的两个重要性质旋度的两个重要性质 性质性质1：旋度的散度恒等于：旋度的散度恒等于0。 根据这个性质，对于一个散度恒为根据这个性质，对于一个散度恒为0的矢 量 ，可以将其表示为矢量 的旋度
15、。 的矢 量 ，可以将其表示为矢量 的旋度。 0div rotAA 0BBA B A Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 在直角坐标中证明在直角坐标中证明 0 xyz yy xxzz xyz yy xxzz div rotAA aaa xyz AA AAAA aaa yzzxxy AA AAAA xyzyzxzxy Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Te
16、chnology 性质性质2：标量的梯度的旋度恒等于：标量的梯度的旋度恒等于0。 0rot graduu 0 xyzxyz xy z u uuu aaaaaa xyzxyz uuuu aa yzzyzxxz uu a xyyx 在直角坐标中证明在直角坐标中证明 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 4.3 算子的运算规则算子的运算规则 在直角坐标系下在直角坐标系下 梯度梯度 散度散度 旋度旋度 xyz aaa xyz xyz uuu uaaa xyz y xz A
17、AA A xyz xyz xyz aaa A xyz AAA Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 可以看出，算子具有矢量与微分算子的双重 特性，这是构成算子运算规则的基础。 可以看出，算子具有矢量与微分算子的双重 特性，这是构成算子运算规则的基础。 为了便于计算，定义为了便于计算，定义 显然显然 () () xxyyzzxyz xyz Aa Aa Aa Aaaa xyz AAA xyz AA Research Institute of RF & Wireless
18、Techniques South China University of Technology 下面通过例题说明算子的运算规则。下面通过例题说明算子的运算规则。 【例【例4-3】证明】证明()uvu vv u 证明：应用乘积函数的微分运算规则证明：应用乘积函数的微分运算规则 应用矢量恒等式： （应用矢量恒等式： （k为常数）为常数） 有有 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正 确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明 了算子与坐标无关。 可以应用算子直角坐标公式，验证上式的正 确性。但应用运算规则更为简单，而且也说明 了算子与坐标无关。 ()()() cc uvu vuv 运算规则运算规则1
19、：运算中，先把有下标：运算中，先把有下标c的量看成常 数，待运算结束后，再去除下标 的量看成常 数，待运算结束后，再去除下标c。 ()kuk u ()uvu vv u Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 【例【例4-4】证明】证明()()()A BBAAB 证明：应用乘积函数的微分运算规则证明：应用乘积函数的微分运算规则 应用矢量恒等式：应用矢量恒等式： 于是于是 ()()() cc A BABA B 运算规则运算规则2：运算中，常数矢量要始终在算子 的左侧，函数
20、矢量要始终在算子的右侧。 ：运算中，常数矢量要始终在算子 的左侧，函数矢量要始终在算子的右侧。 )()()AB CBCACA B （ ()() ccc ABBAAB ()() cc A BBA 去掉下标去掉下标c后得证。后得证。 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 4.4 几个重要的矢量公式几个重要的矢量公式 2 2 ()0()0 () ( )( ) ()() uA uu f uf uu AAA uAAuuA uAuAuA 式中： 式中： 2为为Laplacian
21、算子，在直角坐标系下算子，在直角坐标系下 222 2 222 xyz Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 2 ()()AAA 【例【例4-5】证明】证明 () yy xxzz xyz xyz yy xxzz A AA AAAA aaa yzzxxy aaa xyz AA AAAA yzzxxy Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 22
22、 2222 22 22 2222 2222 22 yy yyxz xyz xz xxzz xxyy z AA AAAA x yx zx zz y xz aaa AA AAAA x yy zxy yz aAAaAA xy a 2 2 () z AA z AA Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 第四讲总结第四讲总结 矢量场的旋度 环量，环量面密度，旋度 矢量场的旋度 环量，环量面密度，旋度 算子算子 Research Institute of RF & Wireless Techniques South China University of Technology 第四讲作业第四讲作业 4.1 采用直角坐标系下算子的公式证明：采用直角坐标系下算子的公式证明： 4.2 根据算子的运算规则，证明：根据算子的运算规则，证明： () () uCu C uCu CC 为常数矢量 () () uAuAuA uAuAuA