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1、维普资讯 http:/Vo125(2005)数 学 杂 志NO5JofMath(PRC)股票收益的分形特征的实证分析彭 静 ，刘剑锋。，王晓天(1武汉科技大学理学院，湖北武汉 430081)(2武汉大学数学与统计学院，湖北武汉 430072)(3中国地质大学数学与物理学院，湖北武汉 430074)(4天津大学管理学院，天津 300072)摘要：本文以具体股价指数为例研究股票市场的分形特征，结果发现股票的收益具有长期记忆性、收益分布具有尖峰、细尾等特点，这对预测及管理证券的风险是有极重要的意义的关键词：分形；长期记忆；L6vy稳定分布；风险的度量MR(2000)主题分类号：91B84中图分类号：
2、029；F224文献标识码：A文章编号：02557797(2005)050579041 引言近年来，分形几何已经广泛地应用于数学金融、网络交通分析、地球物理学、流体力学、生物学等领域，特别是股票收益率分布的统计自相似性及长期记忆性，更是激起了人们应用分形研究金融时间序列及进行金融市场管理与预测的浓厚兴趣早在 2O世纪 6O年代 ，分形的创始人 Mandelbrot就发现棉花的股票价格收益率分布具有统计 白相似性，并且可用特征指数为 (O，2)的 L6vy稳定分布加以描述但此时收益方差不存在，这一直使 经济学家感到困惑应用经典的 RS分析，Mandelbrot及 Greenz妇等人发现股票收益序
3、列 自相关具有长期记忆性1991年 Lo提出修正的 RS分析，并将其用于美 国股票收益序列，发现证券的长期记忆性并不显著，因而得出在大多数场合金融市场并不存在长期记忆性。在 1999年，Willinger纠等人发现修正的 RS分析低估了金融时间序列存在长期记忆性的可能，因而用修正的 RS分析进行判断并不可靠1994年 ，Peter。系统的研究了美国证券市场，发现证券收益具有长期记忆性，并提出用分形市场分析代替有效市场假设1995年，Mantegna与StanleyL4发现 S&P500(标准普尔 500家)指数收益率的分布在中间部分与 L6vy稳定分布相吻和，但在尾部完全不同，主要表现为尾部指
4、数 a2为此他们提出用截尾的(trunated) L6vy稳定分布来描述这一现象，现在国外有大量这方面的研究工作 (参见GopikrishnanL5)在国内戴国强L6、郑维英L7、樊智 、林勇Lg等用经典 RS分析发现市深股市指数收益在不同的时间标度下具有长期记忆性陈梦根1叩基于修正的 RS分析得 出许多股票指数不存在长期记忆性本文以上证指数、深证成指、成分 A指、成分 B指为例，基于经典 RS分析得出股票收益具有长期记忆性 ，因而该股票价格并不满足有效市场假设，由估计我们得出股票收益的尾部指数 a 2，这 显然超出了 L6vy稳 定分布的范围，与收稿日期：20040504接收日期：20041
5、101作者简介：彭 静 (1978一)，女，湖北襄樊，硕士，主要从事分形几何研究维普资讯 http:/580数学杂志MantegnaE 等人结果一致2 RS分析RS分析是由著名的英国水文学家 Hurst在 1951年研究尼罗河水位涨落问题时提出的，他发现大多数自然现象，包括水位、温度、降雨、太阳黑子等不服从 Brown运动及 Gauss 分布的特征，而是一种随机游走Hurst给出关系：RS ( ) ， 一。其中，RS分析为重标极差，f为常数， 为观察次数，H 是 Hurst指数nS分析的计算具体步骤如下：(1)把一列时间序列 X()，一1，2，N分成 A组，每组 个数据，各组按顺序分别取为 ，
6、 ， ，每一组中的数据分别记为X ()，七一1，2， ， ；一1，2， ，A)；(2)计算1每组数的平均值：X 一一1x ；(3)计算极差：R =max(X缸一x )一min(X缸一xJd)；，f一1(4)计算样本方差：S 一 (x 一Xk)；(5)计算重标极差：(Rs) 一4n =1A一去( )；(6)由此，得log(RS)=logf+HlogN3 L6vy稳定分布与截尾 L6vy稳定分布Mandelbrot(1964)提出棉花的股票价格的收益率是服从一族 L6vy稳定分布，其分布在均值处有尖峰，也有胖尾，在这类分布中方差是无限的，一般来说，很难写出分布的显式分布函数，但可以给出特征函数定义
7、 1 随机变量 X是稳定的(Stable)，当且仅当它的特征函数形如：lexp- I I-iifl(tan-K sign)+雌 口1E(P扭)一l) 。exp- 7I I1+ ( )signin I I+a=1记为 XS。(7，卢， )其 中，a(0o表示左偏，po表示右偏； 是位置参数(和均值对应 )；7是标度参数(广义的标准差)值得 注意的是，a2时，稳定分布有限绝对值矩，但没有有限 2阶矩；当 a一2，卢一0，y一1， ：1时分布为标准正态分布因为 L6vy稳定分布 的胖尾衰退的比指数分布衰退的慢，又有无穷大的方差，然而实际情况要求系统有有穷性为了实现这种事实，Mantegna与 Sta
8、nley介绍 了截尾 L6vy稳定 过程的概念定 义 2 随机过程 X()，一1，2，)是对称 a稳定 L6vy过程如果满足：(1)X(0)一o，as(2)X()有独立增量(3)X()一X(s)S (It-sI，0，0)，口(0，2)事实上，对称口_稳定 Lavy过程有 自相似性，因为 X( )一X(cs) ( It 言，0，0)ieX(ct)一 X(cs)一 i(X()一X(s)其分布的数学表达式为：)一ooexp(一 rq口)c。s(qx)dq其 中，a是稳定指数(00)，风险最低时 y一1定义 3 随机过程是截尾 L6vy稳定过程，当且仅 当分布函数为：维普资讯 http:/No5彭 静
9、等 股票收益的分形特征的实证分析58lf0 z ZT(z)一 【cL(z) 一zzz其中，c是正规化常数，z是所截的长度0 z 一VaRT) 1 a其 中X 表示资产在第起的收益；a表示置信度；VaR 表示时刻a水平下的 VaR，VaR的取值为正，即取损失的绝对值需要说明的是 a与分布的尾部指数有一定 的关系，由此我们可以判断风险高低，若发现细尾，如果用正态分布进行风险估计，此时会高估风险；反之，若发现胖尾，则低估风险例如，对某项 1O亿元的资产组合，根据 95 的置信度，求得 VaR为 600万元则由上述定义可得，该资产组合在下一交易日内损失 600万元的概率为 5 ，这样的事件在平均 2O
10、 个交易日才可能出现一次或者说我们有 95 的把握判断该资产组合在下一个交易日内的损失在 600万元以下5 实证分析我们选取上证指数、深证成指、成分 A指、成分 B指 自开盘之 let起到 2003年 4月 4日的数据为研究对象设 X()为该股票的开盘价，则股票以天为单位的收益率为r()一lnX(t)一lnX(一1)，其中一1，2，尾部指数是用来刻画极端事件发生的概率的，相对高的尾部指数和相对低的极端事件相对应，在这里我们用 Hill估计首先 ，根据样本r-，r2，r 定义顺序统计量为r五 ，r ”，r ，r五r r 选取最大的 M，尾部指数可估计为IHil=；Mlnr丁一+,-Inr肿一这里
11、的样本即为股票的收益率，根据Lux(2000)的建议 M 的值选取不超过 5 T实际数据计算结果如以下两表：表 1 四种股票日数据统计表6 对实证结果的分析由上表我们知rl的Hurst指数H丢，因而该股票收益具有长期记忆性及非线性特征，在传统的有效市场假设下，经无风险利率贴现是一个鞅过程，因而市场不具有长期记忆效应，Hurst指数H丢与分形市场假设是一致的，而且我们知道在不同的标度下的H值并不同，因而就该股票而言并不具有标度不变性，其经济含义短期(以日为标度)与中期(以周维普资讯 http:/582数学杂志为标度)面临的风险并不相同，应采用不同的交易策略中国证券市场是一个新兴的市场，投资1者还
12、没有达到弱有效市场的理性条件H寺说明市场中存在着正反馈交易者(噪声交易者)厶及“羊群效益”，其特点为投资者对价格反应过度，盲目跟风，追涨杀跌，导致市场的异常波动，同时庄家利用散户对价格反应过度的特点，人为地制造虚假信息 (如银广厦事件)使其沦为庄1家套利的工具H去意味着昨天的价格会影响今天的价格，股票具有一定的可预测性厶同时我们也得到收益率分布显著异于 L芭vy稳定分布当分布 为 Lvy稳定分布时已有了一套较为成熟的计算风险的方法当分布的特征是尖峰胖尾(a2)且 z充分大时 ，P( z) cz(其中 C为常数)需要建立新的估计风险的算法，这是我们需进一步要做的工作，但是我们知道当 a(O，1)
13、时收益的一阶矩不存在，此时证券组合的风险不能分散，若增加证券必然会升高风险；当 a(1，2)时收益的二阶矩不存在，证券组合的风险能分散，若增加证券可以降低证券组合的风险；当 a2时 ，收益的二阶矩存在，即方差有界，并且导致收益突增的小概率事件相对来说并不重要，此时证券组合的风险为最低但在粗尾场合 (a2)，这类事件极其重要，是不可忽略的例如，如果正式的收益率是 Cauchy分布生成 的(Oa1)，如果用正态分布计算所得的 VaR会 大大低估实际的 VaR，给投资者 一种虚假的安全感本文以具体的股价指数为例研究市场的分形特征，结果发现股票收益具有长期记忆性，收益分布具有尖峰、细尾等特点，这对预测
14、及管理证券风险有极其重要的理论与现实意义参考文献：E1 GreenM，T，FielitzBDLongterm DependenceinCommonStockReturnsJFinancialEcon，1977，4：33934923 WillihgerW，Taqqu MS，VTeverovskyStock MarketPrices and Long-rangeDependenceJFinance Stochast，1991，3：1133 PetersEEFractalMarketAnalysisMJohnWiley& Sons，Lnc，199441 MantegnaR，StanleyESeali
15、ngBehaviorintheDaynamicsofanEconomicIndexJNature，1995，37651 GopikrishnanPeta1ScalingoftheDistributionsofFluctuationsofFinanceMarketIndicesJPhysRev E，l999，6063 戴国强，吴林祥金融市场微观结构理论M上海：上海财经大学出版社，199973 郑维敏正反馈 M北京：清华大学出版社，199883 樊 智，张世英金融市场的效率与分形市场理论 J系统工程理论与实践，2003，3：131991 林 勇，郭林军有效市场假设与分形市场假设J预测，2002，2
16、1(2)：34381O陈梦根中国股市长期记忆效应的实证研究J经济研究，2003，3：7078EM PIRICAL ANALYSIS OF FRACTAL CHARACTERITICIN SToCK RETURNPENG Jing(彭 静)“。，LIU Jianfeng(刘剑锋 )。，WANG Xiao-tian(王晓天)(1Collegeof Science，Wuhan University of Sci& Technology；Wuhan 430081，China)(2Schoolof Mathand Statistics，Wuhan University，Wuhan 430072，Chin
17、a)(3Schoolof Mathand Physics，China University of Geosciences，Wuhan 430074，China)(4Schoolof Management，TianjinUniversity，Tianjin 300072，China)Abstract：In this paper，we analyzethe fractalcharactetistic ofstock marketby using the specificstock priceIt is found that stock return possesses long memory and the distribution of return emboding the characteristic ofpeaky and thin tailItis importantfor the stock risk of predictand manage in economicsKey words：fractal；long memory；Lfivy stable distribution；value atrisk2000 MR SubjectClassification：91B84