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1、第五讲 正态分布、常用统计分布和极限定理,第一节 正态分布,一、中心极限定理 对于任何变量，不管其分布如何，如果 把它们几个加在一起，当n 大于一定数之 后，那么其和的分布必然接近正态分 布。,二、正态分布（常态分布、高斯分布）, ,1、分布密度曲线 特征： 1）曲线是单峰，有一个最高点 2）曲线在高峰处有一个对称轴。在轴的左右两边是对 称的。（对称轴x=） 3）曲线无论是向左或向右延伸，都会愈来愈接近横 轴，但不会和横轴相交，以横轴为渐进线。 2、正态分布的众值、中位值和均值三者是重叠的。, x ,3、正态分布的概率密度,2,2 2,1 2 , x , e,（和为两个变量）, 一定： 增大，
2、图形右移；减小，图形左,不变， 值改变： 越小，图形越尖瘦。,4、两个参数 不 对曲线形态的影响, ,2 移。但形状不变。 2,的影响,增大，图形右移；减小，图形左移。但形 状不变。,的影响,越小，图形越尖瘦,E x xdx （数学期望）,D ,5、 不的含义, , ,x 2 xdx （标准差）,三、正态曲线下的面积,我们把正太曲线看做是一种极限的直方 图。它的组距甚小，以至中心值顶点的 连线已是一条平滑的曲线。而正太曲线 下的面积，实际就是由这无数个小直方 形拼接而成的。,每小块面积=长宽= xi xi P xi ,xi ,面积的概率分析, , 2 ,xi 2, xi ,因此任意两点 x1
3、x2 曲线下的概率，就是把从x1到x2点 所有这些小块面积加起来： x 2 i x1 当 xi 0 ，任意两点之间的概率为 x2 x1,取值区间的概率值,任意两点x1,x2间的概率为：, ,x2 x1,正态分布的几个典型取值区间的概率值： ， 之间：0.6827 2， 2 之间：0.9545 3， 3 之间：0.9973 （为组距）, z, z , x ,e,x ,第二节 标准正态分布, , , x z,一、标准分Z值：Z x 2 概率密度： 1 2 2 当 0 ， 1 时 ,e,2,2,2,1 2 ,因此，标准正态分布可以看作一般正态分布的一个特例。 当 0 ， 1 时，记做 N 0,1 一
4、般正态分布记做 N , 2 ， 标准分以均值基点，以标准差为度量,例,某地家庭平均娱乐费支出为120元，标准差 为5元，如果某家庭的娱乐费支出为130 元，标准分为多少？, ,二、正态分布 N , 2 和标准正态分布 N 0,1面积乊间的对应关系,二者分布图的区别只在于对称轴不同，前者 以为轴，后者以0为轴。 几个典型取值区间 P1 z 1 0.6827 P 2 z 2 0.9546 P 3 z 3 0.9973,例：, ,例1：相同而不同。学习成绩：甲位于一班， 乙位于二班。一班平均成绩80分，二班平均成绩 60分，甲成绩80分，乙成绩80分。相同，为 10，比较二者在班上的成绩。 例二：
5、相同而不同：如果 1 2 60 1 10 ， 2 20 ，比较甲、乙的成绩。,z ,t d,第三节 标准正态分布表的使用, ,一、查表方法： 附表4，1、3、5、7列z的不同取值，2、4、 6、8列给出的是对应式的,面积,z , e,t,2 2,1 2,图示,例：, ,1、已知 服从标准正态分布 N 0,1 ，求,1）P 1.3,2）P 1.3 3）P1.3 2.3,2、 满足N 0,1 ，P 0.05 ，求 值。 3、 满足 N 50,52 ，求 P 61, 2,将其称为自由度为K的X2分布，记做X2(k),第四节 常用统计分布 一、X2分布（卡方分布） 1、设随机变量 1，2， k 相互独
6、立，且都服 从N(0,1)，其平方和：x 2 12 22 k2 的分布密度为：,2,2, k 2 0,k , x k 21 e k,1 k 2,x,当 x 0 当 x 0,卡方分布图,分布图形：偏左侧分布，随自由度的增加，图 形渐趋对称。,x, i ,1 k,量：,仍然服从自由度为k的 X2 的平方分布。,卡方分布性质 性质1 如果随机变量 1 ， 2 ， k 相互独立， 2,i 1,2,2,2,性质2：,从自由度为K1与K2的X2 分布，则其和 服从自由度为K1 + K2的X2分布。,如果随机变量 和 独立，并且分别服,例题, ,已知：k=10，a=0.05，求X2 0.05( 10)=?
7、已知：k=9，a=0.025，求满足 p(X2 X2 1-a )=a中的X2 1-a, ,1,k ,k 1,2 2,z ,k ,二、t分布（学生分布）,的分布密度为：,称之为：自由度为k的t分布,1、设随机变量 与 独立，且 服从标准正态 分布， 服从自由度为K的X2的分布，则随机变, k,量 t , , k 1 2 k 2 , t z ,t分布图, ,2、性质：t分布的分布曲线是关于z=0对称 的，当k= 时，t分布将趋于标准正态分布 （当k30时，分布曲线就差不多相同 了）。正态分布是其极限分布。 3、查表，对不同自由度k及不同的数,（0 1)给出满足等式 t 的t值,例题,已知：k=10
8、，a=0.05，求 t0.05(10)=,则随机变量 F k 的分布密度为：, k1 k 2 , k1 k 2 k1 k 2,2 2 ,z,k1z k 2 z,k 2,三：F分布, ,，k1为第一自由度（分子）， k2为第二,自由度（分母）。,1、设随机变量 与 独立，且都服从X2分 布，自由度分别为k1及k2。 k1 2,F z ,k,1, 2,k1 1 2,2 k1 k 2 2 2 , , 0,当 Z 0 当 z 0,F k1 , k2 , dxxFFp F, ,2、F分布的性质：为非对称分布。 3、查附表，对不同自由度（ k1 ，k2 ）及 不同的数（0 1)，给出了满足等式 F 的F值
9、,另一性质,已知：a=0.05，求：F0.95(10 15),1 F k2 , k1 ,F1 k1 , k2 ,第五节 大数定理不中心极限定理, ,1、大数定理：研究在什么条件下，随机 事件可以转化为不可能事件或必然事 件，即阐明大量随机现象平均结果稳定 性的一系列定理。 2、中心极限定理：研究在什么条件下， 随机变量之和的分布可以近似为正态分 布，称中心极限定理。,一、切贝谢夫丌等式：,定义：如果随机变量 ，有数学期望 E 和 D 方差，则不论 的分布如何，对于任何数 ， 都可以断言， 和 E 的绝对离差大于等于 的 概率，不超过 D 2 ，即,D 2,P E ,D 2,或 P E 1 ,l
10、im,p, p 1,二、贝努里大数定理,1、定义：设m是n次独立观察中事件A出现的 次数，而p是事件A在每次观察中出现的概率。 那么，对于任何一个正数 ，有, , , m n,n,2、含义：在相同条件下进行多次观察时，随 机事件的频率 m n 有接近其概率的趋势。 意义：为用抽样成数来估计总体成数p奠定了 理论基础。,p 1,有： lim ,n,三、切贝谢夫大数定理, , 3、实际:意义可以用抽样的均值 做为总体均 n,1、定义：设随机变量 1 ， 2 是相互独立服 从 同 一 分 布 ， 并 且 有 数 学 期 望 E i 及 方 差 Di 2 ，那么对于任何一个正数 ， n n 为 1 ，
11、 2 n个随即变量的平均值 2、含义：当实验次数n足够大时，n个随机变 量的平均值 n 与单个随机变量的数学期望 的 差可以任意的小，这个事实以接近于1的很大 概率来说是正确的，即 n 趋近于数学期望 ,量，不管其分布如何，只要 D ,lim P n x 2,t, e d,四、中心极限定理, ,1、表述方式： 设 1 ， 2， k 为独立同分布的随机变 2 i i 存在，则对x有,x ,t,n,2 2, n 1,2、中心极限定理的意义, ,1）对随机变量 的原有分布不做要求， 因此，从理论上说明了正态分布的重要 性 2）它为样本容量的确定和大样本(n大于 等于50)情况下的统计推论提供了理论依 据。 3）在社会调查中使用价值广。 4）在抽样调查中有着重要意义。,