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1、第一讲 导热的基本理论Basic Theory Of Heat Conduction,导热的波动性(wave) 及傅立叶导热定律的修正(modification) 各向异性介质中的导热(anisotropic medium ) 热传导过程的能量平衡及其表现形式 导热微分方程在正交坐标系(ORTHOGONAL CURVILINEAR COORDINATE SYSTEM)表述,高等传热学,机械波的形成Form of the mechanical wave,物体的振动(vibration)要与周围物质发生相互作用，从而导致能量向四周传播 机械波正是这样一个机械振动的传播过程 机械波的形成需要两个条件
2、：波源(source)及传播振动的物质(media) 波源是引起波动的初始振动物体 传播振动的物质一般为弹性介质(elastic media),高等传热学,波的特征wave property,传播介质中的质点(particle)并未随机械波的传播而迁移(move) 水波荡漾时水的质点正是在重力和水的张力作用下上下振动，从而带动周边的质点一起上下振动，此质点与周边质点的振动有一个相位差(phase difference)，这种波称为横波(transverse wave) 声波(sound wave )的实质与水波(water wave )完全一致，只是水波能看到，声波看不到,高等传热学,热的波动
3、性wave of the heat,导热的微观机理根据物质形态的不同而有差别 热传导过程的实现由两种相互独立的机制完成（1）利用晶格(crystal lattice)波的振动和声子(phonon)的运动；（2）自由电子(free electron) 的平移移动 在导热时的能量传递是微观粒子的波动或运动导致 导热时热量的传播速度不会以无限大的速度(infinite speed) 进行,高等传热学,经典傅立叶导热定律的适用条件applicable condition of the Fouriers low,经典的傅立叶导热定律针对稳态(steady state)观察所得，没有考虑热的波动性 在稳态
4、导热情况下，热量传递速度可以看成无限大,方程说明什么？各变量是何含义？ 在直角坐标系中，上式如何描述？,高等传热学,经典傅立叶导热定律所得出热量传递速度无限大的证明(prove),针对初始温度为0的无限大一维物体，突然有单位体积 (unit volume) 发热量(heat generation rate)为Q(x,)的内热源(inner heat source)开始发热，按照经典的傅立叶导热定律，其定解(unique solution)问题可以用以下表达：,式中：,按格林函数(Green function)法求解可得温度分布 (temperature distribution)：,其中，,它
5、代表在时间0这一瞬时(moment)，作用在无限大物体内x=处的热源所引起的温度分布。 显然，当时间时，若内热源为放热源，则整个无限大区域内的温度总是升高；反之则温度降低。 任何一点的温度都要受到瞬时热源的影响 这意味着热量传递速度无限大,质点温度发生变化，则意味着内能发生变化 按热力学第一定律，必有热量进出该质点 结果表明瞬时热源的作用迅速传遍整个区域，不论空间介质种类如何（热量传播速度无限大） 温度出现不均匀的的原因是由于各点吸收的份额不同 热传导微分方程是傅立叶导热定律结合能量守恒原理而得 能量守恒定律只涉及能量在数值上的关系，与能量传递过程中具体行为无任何联系 故可认定上述结论是傅立叶
6、导热定律所导致,高等传热学,稳态情况下热量传播速度无限大的理解,高等传热学,热量实际的传播速度的确定,对于一个处于稳定状态的热传导系统，当系统内部（interior）或边界（boundary）出现一个热扰动时，原来的稳定状态便被破坏(destroy) 通过一段时间的热量传递，系统将达到一个新的稳定状态 有热扰动(heat disturbance)引起的瞬态温度分布必将滞后于热扰动 温度场的重新建立滞后于热扰动的时间称为松弛时间（或驰豫时间）relaxation time,以c代表热量传递速度，0代表驰豫时间，则在温度场重新建立期间，热扰动传播的距离为c 0，从热扩散率角度来看，热扰动传播距离可
7、以表示为a/c，从而：,则热量传播速度为,这说明热量传播速度随物体热扩散率增大而增大，随松弛时间增大而减小。松弛时间大致为分子二次碰撞间的时间间隔。氮：109s，铝：1011s,高等传热学,由于滞后于热扰动温度场重新建立所需要的热量,单位时间内某地的热量变化,松弛时间某地的热量变化,变形：,高等传热学,修正的傅立叶导热定律modified Fouriers low,与一般的傅立叶导热定律有何区别 更多内容可参阅“热传导、质扩散与动量传递中的瞬态冲击效应”一书，作者：姜任秋,或：,高等传热学,各向异性介质中的导热heat conduction in the anisotropic medium,
8、何为各向异性？,i= 1,2,3,下标 i,j 分别是何含义?,其中: 矢量Vector,矩阵 Matrix, 矢量,可以通过坐标变换(coordinate system transformation )，在一个确定的坐标系（1，2， 3）下，,坐标轴(coordinate axis) O1，O2，O3称为导热系数主轴(principal axis)，1，2，3成为主导热系数。,高等传热学,热传导过程的能量平衡及其表现形式energy balance for heat conduction and its mathematical form,导热积分方程 integral equation 导
9、热微分方程 differential equation 导热变分方程 variation equation,导热方程式是以数学形式体现的在热传导过程中、特定考虑区域内的能量守恒规律，即简化的热力学thermodynamics 第一定律。 它揭示了温度场在时空领域内的内在联系。,高等传热学,导热积分方程及其推导heat conduction integral equation and its deduction,假设模型：Assumption 物体存在内热源，其热源强度为qV，所考虑控制容积为V，边界面积为A。取微元体容积为dV，其边界面积为dA。,V,A,dv dA,导入的净热流量 + 内热源
10、发热量 = 内能增加量,按热平衡有：（针对控制容积control volume）,导入的净热流量 net heat flow rate,内热源发热量 heat generation,内能增加量 intrinsic energy increasing,将各项表达式代入热平衡式：,上式称为导热方程的积分形式 integral form（注意：各向同性，异性均适用）,高等传热学,导热积分方程 heat conduction integral equation,代入上式，则有：,这就是导热积分方程（integral equation），它针对物体内任意区域。,将内能与温度的关系e = ct和傅里叶定律
11、,高等传热学,导热微分方程及其推导,曾经的推导方式是怎样？,在具体坐标系下，对微元体(different element) 应用能量平衡原理,基于导热积分方程，利用散度定理(divergence theorem) 推导,按散度定理，将对面积的积分(surface integral)改为对体积的积分 (volume integral),则积分形式成为：,或：,上式为导热能量方程的微分形式 differential form,去掉积分符号,高等传热学,导热微分方程 heat conduction differential equation,即,（注意：只适用于各向同性材料）,上式进一步将内能用温度
12、表示，热量用温度梯度表示，则：,各种常物性(constant property)材料的导热微分方程,稳态导热+无内热源：,无内热源项： （抛物线型偏微分方程）,考虑热传播速度的有限性 对于无源项情况， （双曲线型 hyperbola 偏微分方程） 是对抛物线型parabolic偏微分方程的一种修正,高等传热学,导热微分方程在正交坐标系(orthogonal curvilinear coordinates)中表述,梯度 (gradient) 一般表达式在附录(Appendix) 3 中式（9）,按温度变量(variable)有：,Hi称为拉梅(Lame)系数（或度规系数）,（a),根据附录3式（
13、10），得热流密度(heat flux)的散度：,其中，H H1H2H3,由（a) 、（b)两式及傅立叶导热定律，可得:,（b),将此表达式代入导热微分方程，则：,高等传热学,齐次（Homogeneous）问题与非齐次问题,只有当微分方程与边界条件均为齐次的情况下，才能将此问题视为其次 如果微分方程、或边界条件或两者都是非齐次的话，则要求解的问题称为非齐次问题,高等传热学,下面问题属那类问题？,在区域 R, 0,t = f (r) 在区域R, 0,在边界面 Si, 0,高等传热学,下面问题属那类问题？,在区域 R, 0,t = f (r) 在区域R, 0,在边界面 Si, 0,高等传热学,第一讲总结conclusion,导热热量传递的波动性 傅立叶导热定律的一般表达 傅立叶导热定律的修正 各向异性物质中的傅立叶导热定律及导热系数 导热方程 正交坐标中导热微分方程的表达,高等传热学,习题 Homework,一个很长的半圆形厚壁管（r1rr2,0），内、外半径圆柱面绝热，即=0及=处边界分别维持t1和t2。 试确定管壁内的温度分布及通过的热流量表达式 一大平板， 内热源qv不变时，试讨论两侧边界条件变化对温度分布的结果有何影响？内热源不同会对两侧边界条件同为第三类时的温度分布有何影响？,