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1、,习题课,第十部分 曲线、曲面积分,一. 重点和难点：了解多元函数积分学的整体思想。 1. 第型 、第型曲线积分的定义、性质、各自不同的计算方法和 两型曲线积分互相转换的关系式。 2. 第型 、第型曲面积分的定义、性质、各自不同的计算方法和 两型曲面积分之间互相转换的关系式。 3. 格林公式的条件、结论和应用 。 4. 平面曲线积分的四个等价命题，它们等价的条件，以及应用。 5. 高斯公式的含义和用法. 6. 曲面积分与曲面无关的条件. 7. 斯托克斯(Stokes)公式的含义和用法. *8. 空间曲线积分的四个等价命题. 9. 了解散度，会计算散度. 10. 了解旋度，会计算旋度.,第十部分
2、 曲线、曲面积分,曲线积分和曲面积分在实际中的应用：求曲线、曲面的质量、 重心和转动惯量；解决变力作功问题；解决矢量场沿有向闭曲线的环 量以及通过曲面的通量计算问题。 填空(4个). 二. 下列计算对吗？ (5题) 三. 判别积分的类型并计算. (4题) 四. 课堂练习. 1. 单项选择题(3题) 2. 计算题(3题),习题课,11.,（按积分区域分类）,定积分,二重积分,三重积分,D,曲线积分,曲面积分,一型：对弧长,二型：对坐标,一型：对面积,二型：对坐标,Stokes 公式,高斯公式,格林公式,一.多元函数积分学概况,推 广,推 广,推 广,推 广,第一型 (对弧长),第二型 (对坐标)
3、,两型之间 的关系,标准形式,物理意义,计算方法,相似处,不同处,曲线积分,1.都是化曲线积分为 定积分计算。 2.都要把曲线表示式 代入被积函数。,积分下限 上限,L方向：从AB,积分下限为起点A的 t 值,上限为终点 B的 t 值,此处下限是 , 上限是.,.,1. 第型、第型曲线积分的比较,.,第一型 (对面积),第二型 (对坐标),两型之间 的关系,标准形式,物理意义,计算方法,曲面积分, 指空间曲面,为有向曲面,.,.,.,2. 第型、第型曲面积分的比较,解决,平面的曲线积分与二重积分的联系,3. 格林公式,L,D,D,L,l,(逆),(顺),则有,其中 L 是 D 的整个正向边界曲
4、线.,若：,特殊情况(D是复连通的)下，格林公式成为：,注：,(逆),(逆),问题。,4. 平面曲线积分的四个等价命题,.,若其中一个成立，另外三个也成立。,等价的意义是：,5. 高斯公式,曲面积分与三重积分的联系,则有,其中 是 的整个边界曲面的外侧.,若：,.,.,.,解决,问题.,6.曲面积分与曲面无关的条件.,.,7. Stokes 公式,曲线积分与曲面积分的联系,则有,若：,解决,问题.,.,.,*8 空间曲线积分的四个等价命题.,.,9. 散度,.,.,例：,解：,.,10. 旋度,.,.,例：,解：,由轮序对称性，,11.曲线积分和曲面积分的应用: 填空.,.,.,.,.,二 下
5、列计算对吗？,解：,a,D,L,.,.,以上解法对吗？,.,二2,解：,a,.,.,以上解法对吗？,Dxy,1,2,.,.,二3,解：,a,.,以上解法对吗？,Dxy,1,2,.,.,二4,解：,a,.,以上解法对吗？,Dxy,1,2,.,.,取上侧；,取下侧.,二5,解：,a,.,以上解法对吗？,.,.,三 判别积分的类型并计算（4个）,3.,四 课堂练习. 1. 单项选择题,B,C,B,2. 计算题,谢 谢 使 用,返回首页,习题课,.,A(1,0),B(0,1),C(1,2),解,类型：,I 型曲线积分,三1.,其中，,.,.,.,1,4,A(1,1),B(2,4),C (1,4),解,
6、类型：,II 型曲线积分,三2.,方法 I：,直接计算.,1,.,.,也可以用下面的方法：,1,4,A(1,1),B(2,4),C(1,4),D,解,类型：,II 型曲线积分,贴补，用格林公式.,1,.,先 x,.,.,三2.,方法 II：,4,解,类型：,I 型曲面积分,三3.,Dxy,用平面极坐标,.,.,.,解,类型：,II 型曲面积分,三4.,由第一卦限和第二卦限中的锥面1和2构成.,其上侧在yOz平面的投影为负；,其上侧在yOz平面的投影为正.,h,h,z = y,Dyz,Dyz 图形？,.,1,2,.,.,.,也可以用下面的方法：,o,x,y,z,解,类型：,II 型曲面积分,需贴补侧面 （右侧）和半圆顶面 半圆（下侧）.,h,h,Dxy 图形？,.,三4.,方法 II:,贴补，用高斯公式.,.,半圆,2. (1),解,方法：,2,1,L,用格林公式,.,.,0 t 2,C,.,.,2. (2),解,方法：,贴补，用高斯公式.,R,S,V,.,.,Dxy,解,.,.,.,.,.,.,