高等代数-9第九章 欧几里得空间.ppt

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1、2 标准正交基,3 同构,4,1 定义与基本性质,6 对称矩阵的标准形,8 酉空间介绍,7 向量到子空间的距离最小二乘法,5,第九章 欧几里得空间(P359),具体的例子:,长度,1 定义与基本性质,夹角,在解析几何中,内积,并且内积,当且仅当 时,1 定义与基本性质,是 上的二元实函数且满足 :,一. 欧几里得空间的定义,二. 欧几里得空间中向量的长度,三. 欧几里得空间中向量的夹角,四. n维欧几里得空间中内积的矩阵表示,1 定义与基本性质,了解欧几里得空间的定义, 熟练掌握内积的定义与运算性质,了解长度的定义, 掌握柯西布涅柯夫斯基 不等式、三角不等式,了解夹角、正交、距离的定义, 掌握

2、勾股定理,了解欧几里得空间的内积的矩阵表示, 掌握度量矩阵,当且仅当 时,一. 欧几里得空间的定义,（对称性）,（非负性）,则称 为 和 的内积,称这种定义了内积的,实数域 R上的线性空间V为欧几里得空间.,（线性性）,1 定义与基本性质(P359),1. 定义 设V是实数域 R上的线性空间,在V上定义二元实函数 , 满足性质:,(1)V为实数域 R上的线性空间;,(2)V既有向量的线性运算,还有内积运算;,(3),注1 欧几里得空间 V是特殊的线性空间.,注2 欧几里得空间,Euclidean Space, 简称欧氏空间.,欧几里得(Euclid,约公元前330 年前275年),古希腊数学家

3、,是几 何学的奠基人,被称为“几何之父”. 他最著名的著作是几何原本.,1 定义与基本性质,例1 设A是一个n阶正定矩阵，在线性空间,上,对任意向量,定义,(2)当 A=E 时写出内积的具体表达式.,(1)证明在这定义下 构成一个欧氏空间.,称A =E 时定义的内积,为普通内积或按通常定义的内积.,1 定义与基本性质,注1 同一线性空间V 上可以定义多个内积.,线性空间V 在不同的内积定义下构成不同的欧氏空间.,注2 线性性,这两条等价于,因此欧氏空间V的定义是和线性空间V以及V的,内积的定义紧密联系的.,因此欧氏空间也称为内积空间(Inner product space).,1 定义与基本性

4、质,例2 为闭区间 上所有实连续函数所构,成的线性空间,对于函数,证明 对于( f , g)构成一个欧氏空间.,证明,对称性,定义,1 定义与基本性质(P360),线性性,非负性,且,1 定义与基本性质,推广:,2. 内积的运算性质,设V为欧氏空间,1 定义与基本性质,欧氏空间V中,使得 有意义.,称为向量 的长度.,特别地, 当 时, 称 为单位向量.,二. 欧氏空间中向量的长度,1. 向量的长度的定义,1 定义与基本性质(P360),为单位向量.,称 为向量 的单位化向量.,1 定义与基本性质(P361),例3 在欧氏空间,上,定义两种内积:,已知,1 定义与基本性质,分别计算 和 的单位

5、化向量.,3. 柯西布涅柯夫斯基不等式,对欧氏空间V中任意两个向量 ,有,且等号成立当且仅当 线性相关.,或,1 定义与基本性质(P361),证明 当 时,故结论成立.,当 时,构造函数,f (x)为开口向上且与x轴最多只有一个交点的抛物线.,则判别式,即,结论成立.,令,1 定义与基本性质(P361),由内积的非负性,若 线性相关,不妨设,易计算,或者 ,故 线性相关.,若,由前面的证明过程知,或者 f (x)与x轴有一个交点,且当,所以,此时 线性相关.,1 定义与基本性质(P362),下证 当且仅当 线性相关.,例4 写出下列欧氏空间中的柯西布涅柯夫斯基不等式.,(1) 在 上,解,(2

6、) 在 上,解,以上两不等式就是著名的柯西施瓦茨不等式.,1 定义与基本性质,3. 三角不等式,对欧氏空间中的任意两个向量 有,证明,两边开方，,1 定义与基本性质(P362),设V为欧氏空间, 为V中任意两非零向量,称,三. 欧氏空间中向量的夹角,1.向量的夹角定义,为 的夹角.,注1,2.向量的正交,设 为欧氏空间中两个向量,若,则称 与 正交或互相垂直, 记作,1 定义与基本性质(P362),注2 内积的几何意义,注,(1) 零向量与任意向量正交,即 .,(2) 若 则,(3) 若 非零, 则,(4) 勾股定理,证明,1 定义与基本性质(P363),设,此时,证明 若,则,若,(5) 勾

7、股定理的推广,则称 两两正交.,1 定义与基本性质(P363),例3 已知,在普通的内积定义下, 求,解,又,通常称 为与的距离，记作,1 定义与基本性质,对V中任意两个向量,令,四. n 维欧氏空间中内积的矩阵表示,1 定义与基本性质(P363),定义 矩阵,称为基 的度量矩阵.,则,1 定义与基本性质(P363),所以度量矩阵A是实对称矩阵.,由内积的非负性,注1,有,所以度量矩阵A是正定矩阵.,在基 下,向量的内积由度量矩阵A完全确定.,因为,注2,注3,由,1 定义与基本性质(P364),即设 为V的两组基,设它们的度量矩阵分别为A、B ，即,注4 对同一内积而言,不同基的度量矩阵是合

8、同的.,且,则,即C为过渡矩阵.,1 定义与基本性质(P363),于是,则,其中,又 为 的 (i , j)元素,1 定义与基本性质,练习1 在,1 定义与基本性质,上,对任意,定义,证明在这定义下 构成一个欧氏空间.,练习2 设V为欧氏空间,证明:,设为欧氏空间，非零向量,定义,如果它们两两正交，则称之为正交向量组.,注 若 则 是正交向量组.,一. 正交向量组,此时,2 标准正交基,证明 设非零向量 两两正交.,令,则,由 知,故线性无关.,结论 正交向量组必是线性无关向量组.,2 标准正交基,注2 n维欧氏空间中正交向量组所含向量个数,注1 欧氏空间中线性无关向量组未必是正交向量组,但不

9、是正交向量组.,2 标准正交基,n维欧氏空间中，由n 个向量构成的,正交向量组称为正交基；,由单位向量构成的正交基称为标准正交基.,注(1),由正交基的每个向量单位化,可得到一组标 准正交基.,二. 标准正交基,1 定义,2 标准正交基,(2) n 维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基,(3) n维欧氏空间V中的一组基 为标准正交基,当且仅当其度量矩阵,(4) n维欧氏空间V中标准正交基的作用:,设 为V的一组标准正交基，则,2 标准正交基,(i)设,则,(ii) 设,(iii),有,2 标准正交基,定理1 n维欧氏空间中任一个正交向量组都能,扩充成一组正交基.,证明 设 欧氏空间中的正交向量

10、组，,2. 标准正交基的构造 施密特(Schmidt)正交化过程,则一定存在某 不能由 线性表示，,若,令,待定,2 标准正交基,要使,即,此时 为正交向量组,得,若m+1=n, 结论成立 .,则重复以上步骤，直到找到,若,为正交基.,2 标准正交基,注 定理的证明实际给出一个具体求标准正交基的方法.,(1)正交化 从任意非零向量出发扩充成正交基,(2)单位化 把 单位化.,例1 在 中，已知 将 扩充成 中的一组正交基.,解 显然取,则,再令,由,取基础解系,则 为正交基.,2 标准正交基,都可找到一组标准正交基 使,定理2 对于n维欧氏空间中任一组基,注 由,则过渡矩阵是上三角矩阵(即 )

11、,则若,2 标准正交基,Schmidt正交化过程:,2 标准正交基,此时,2 标准正交基,例1 求与,等价的标准正交向量组.,解 先正交化 令,2 标准正交基,再单位化,即为所求,2 标准正交基,求 的一组标准正交基,解 令,先正交化,例2 在 中 为一组基定义内积为,2 标准正交基,2 标准正交基,再单位化,2 标准正交基,于是得 的标准正交基,2 标准正交基,设 与 是 维欧氏空间V中的,两组标准正交基，它们之间过渡矩阵是,即,3. 标准正交基之间的基变换,由于是标准正交基，所以,则度量矩阵,2 标准正交基,同理度量矩阵,故,即,则,2 标准正交基,则称A为正交矩阵.,(2)由标准正交基到

12、标准正交基的过渡矩阵是正交矩阵.,1.定义,2.简单性质,三. 正交矩阵,(1)A为正交矩阵,则,(3)设 是标准正交基,A为正交矩阵,若,则 也是标准正交基.,2 标准正交基,(4) 为正交矩阵,即A的列向量组是欧氏空间 的标准正交基.,则,(5) 为正交矩阵,即A的行向量组是欧氏空间 的标准正交基.,则,2 标准正交基,(6)若 为正交矩阵，则,也为正交矩阵.,(7)若 为正交矩阵，则,也为正交矩阵.,2 标准正交基,3 欧氏空间的同构,一. 同构的定义,实数域R上欧氏空间V与V称为同构的，,如果由V到V 有一个双射，满足,这样的映射称为欧氏空间V到V的同构映射.,1、若是欧氏空间V到V的

13、同构映射，,则也是线性空间V到V同构映射.,2、如果是有限维欧氏空间V到V的同构映射,则,3、任一维欧氏空间V必与 同构.,二.同构的基本性质,证明,设 为n维欧氏空间V的一组标准正交基,在这组基下，V中每个向量可表成,3 欧氏空间的同构,建立映射,易证是V到 的 对应且满足(1)、(2).,故为由V到 的同构映射，从而V与 同构.,又,记,且 的内积为普通内积，,则,3 欧氏空间的同构,传递性：,反身性：,对称性：,4、同构作为欧氏空间之间的关系具有：,3 欧氏空间的同构,即,欧氏空间V的线性变换A 若保持内积不变,则称A为正交变换.,一.定义,二.定理,设A是欧氏空间V的一个线性变换,则下

14、列四条等价,(2) A 保持向量长度不变,即,(1)A 是正交变换;,(3) 是V的标准正交基，,也是V的标准正交基;,(4)A 在任意标准正交基下的矩阵为正交矩阵.,4 正交变换,从而,若A是正交变换，则,若 A 保持向量长度不变,即,4 正交变换,若 是V的标准正交基,则,故 也是V的标准正交基.,4 正交变换,为正交变换.,都是V的标准正交基.,若 和,4 正交变换,都是V的标准正交基,若 和,之间的过渡矩阵,若A是正交矩阵,则 就是标准正交基.,则A可以看成两组标准正交基,故A是正交矩阵.,4 正交变换,(2)正交变换的逆变换是正交变换；,(3)正交变换的乘积还是正交变换,（由同构的对

15、称性）,（由同构的传递性）,注,(1) 正交矩阵是可逆的,所以正交变换可逆.,4 正交变换,(4)设n维欧氏空间V中的线性变换A在标准正交基,(1)如果 则称A为第一类的（旋转）.,(2)如果 则称A为第二类的,下的矩阵是正交矩阵A，则,例 在欧氏空间中任取一组标准正交基,定义:,则A为第二类的正交变换，也称之为镜面反射,4 正交变换,1.定义,(1) 与 是欧氏空间V中的两个子空间,若,则称子空间 与 为正交的，记作,恒有,一. 正交子空间,注,(1) 当且仅当 中每个向量都与 正交,(2)若 ,则,5 子空间,则称向量与子空间 正交，记作,(2) 对给定向量 如果对 恒有,注 (1)零向量

16、正交于任何子空间.,(2)当 且 时，必有,5 子空间,证明 设子空间 两两正交，,两两正交的子空间的和必是直和,要证明 是直和,中零向量分解式唯一,只须证：,设,由内积的非负性，,2.定理,5 子空间,1.定义,若欧氏空间V的子空间 满足,则称 为 的正交补.,n维欧氏空间V的每个子空间 都有唯一正交补.,证明 若 ，V就是 的唯一正交补,若 ， 也是有限维欧氏空间.,取 的一组正交基,二. 子空间的正交补,2.定理,5 子空间,将其可扩充成V的一组正交基,记子空间,显然,又对,即 为 的正交补.,5 子空间,再证唯一性.,设 是 的正交补，则,由此可得,对 由上式知,即有,又,从而有,即有

17、,同理可证,唯一性得证.,5 子空间,子空间W的正交补记为满足,显然,注,推论,证明 记,从而,又,所以,故,故,5 子空间,则,设 是n为欧氏空间的两个子空间.,3.正交补的性质,(2) 若,则,5 子空间,称 为在子空间W上的内射影.,三. 内射影,设W是欧氏空间V的子空间，若,对 有唯一的使,称 为在子空间 上的内射影.,1.定义,5 子空间,2. 内射影的求法,设,取W的一组标准正交基,将其扩充为V的一组标准正交基,有,则,为 在W上的内射影.,为 在 上的内射影.,5 子空间,设矩阵,一. 矩阵的共轭运算,6 实对称矩阵的标准形,则 A的共轭运算为,其中,为 的共轭复数.,运算律:

18、设,则,二. 实对称矩阵的一些性质,1.引理1 设A是实对称矩阵，则A的特征值皆为实数,证明 设 是A的任意一个特征值，则有非零向量,满足,且,则,为实数.,6 实对称矩阵的标准形,2. 实对称矩阵A 所对应的线性变换-对称变换,在欧氏空间 中，定义线性变换，,则A在标准正交基 下的矩阵为A.,即,其中,6 实对称矩阵的标准形,引理2 设A是实对称矩阵，在 n 维欧氏空间 上,线性变换：,则对任意有,或,证明,6 实对称矩阵的标准形,注1 此性质把实对称矩阵的特性反映到线性变换上.,定义 在欧氏空间V中，若线性变换,称A为V上的对称变换.,注3 对称变换在标准正交基下的矩阵为对称矩阵.,注2,

19、6 实对称矩阵的标准形,引理3 设A是对称变换，W是A的不变子空间，,证明,故 也为A的不变子空间,则 也是A的不变子空间,因为,而,6 实对称矩阵的标准形,引理4 实对称矩阵属于不同特征值的特征向量必正交.,分别是属于 的特征向量,则,证明 设A为实n阶对称矩阵，A为相应的对称变换，,是A的两个不同特征值 ，,正交.,6 实对称矩阵的标准形,1.定理7 对 总存在正交矩阵T，使,三. 实对称矩阵的对角化,证明 设A为 上对称变换A在标准正交基下的矩阵,由实对称矩阵和对称变换对应的关系，只需证,A有n个特征向量组成 的标准正交基即可,即任意实对称矩阵既合同又相似于对角矩阵.,6 实对称矩阵的标

20、准形,当n=1时，结论是显然的,对 的维数n用归纳法,设其对应有一单位特征向量 ，即,对 其上的对称变换A有实特征值,假设n-1时结论成立，,设子空间,显然W是A的不变子空间，,则 也是A的不变 子空间，且,6 实对称矩阵的标准形,且对有,所以 是 上的对称变换,由归纳假设知 有n1 个特征向量,构成 的一组标准正交基,从而就是 的一组标准正交基，,又都是 的特征向量,即结论成立,6 实对称矩阵的标准形,2. 具体步骤,设,(i) 求出A的所有不同的特征值：,其重数 必满足 ;,(ii) 对每个 ，解齐次线性方程组,求出它的一个基础解系：,它是A的属于特征值 的特征子空间 的一组基,正交基,把

21、它们按 正交化过程化成 的一组标准,6 实对称矩阵的标准形,(iii) 因为 互不相同，,且,就是V的一组标准正交基,所以,则T是正交矩阵，且,矩阵T 的第1，2，n列，,使 为对角矩阵,6 实对称矩阵的标准形,例1 设,求一正交矩阵T使 成对角矩阵,解 先求A的特征值,A的特征值为 （三重）,6 实对称矩阵的标准形,当 时，求解方程组,得其基础解,把它正交化，得,6 实对称矩阵的标准形,再单位化，得,这是特征值 的三个标准正交特征向量组，,6 实对称矩阵的标准形,当 时，解方程组,得其基础解,再单位化得,这样 构成 的一组标准正交基，它们,都是A的特征向量，且,6 实对称矩阵的标准形,为正交

22、矩阵，,使得,6 实对称矩阵的标准形,注,成立的正交矩阵不是唯一的,(2)对于实对称矩阵A，使,而且对于正交矩阵T,还可进一步要求,(1) 除主对角线上元素的排列的次序外，,与实对称矩阵A正交相似的对角矩阵是唯一确定的,若,6 实对称矩阵的标准形,取正交矩阵,则 是正交矩阵且,同时有,6 实对称矩阵的标准形,(3)因为正交相似的矩阵也是互相合同的，所以可,用实对称矩阵的特征值的性质刻画其有定性：,设 为实对称矩阵A的所有特征值,(i) A为正定的,(ii) A为半正定的,(iii) A为负定的,(iv) A为半正定的,6 实对称矩阵的标准形,例1 若 A 是正定矩阵，则,也是正定矩阵.,证明

23、若 A正定，则A实对称且A的n个特征值全大于0，,记为,且,也是正定矩阵.,6 实对称矩阵的标准形,例3 设 A 是n阶实对称矩阵，证明当实数t充分大之后，tE+A是正定矩阵，其中E是n阶单位矩阵.,练习 若 A 是n阶实对称矩阵，证明存在一个非零实数s使得E+sA是正定矩阵，其中E是n阶单位矩阵.,证明 若 A正定，则A实对称且A的n个特征值全大于0，,记为,显然当 时所有特征值全大于0.,tE+A的所有特征值为,则tE+A也为实对称矩阵且,故 tE+A 是正定矩阵,6 实对称矩阵的标准形,四.正交变换法化实二次型为标准形,1.定理8 对任意的实二次型,一定存在正交变换x=Ty，T为正交矩阵

24、，使得,其中 为A的所有特征值.,6 实对称矩阵的标准形,例4 已知实二次型,试用正交变换x=Ty将其化成标准形.,解 f 所对应的矩阵为,A的特征值为 （三重）,6 实对称矩阵的标准形,当 时,求解方程组,得其基础解,把它正交化，得,6 实对称矩阵的标准形,再单位化，得,6 实对称矩阵的标准形,当 时，解方程组,得其基础解,再单位化得,6 实对称矩阵的标准形,为正交矩阵，使得,令 x=Ty,得f 的标准形为,6 实对称矩阵的标准形,在直角坐标系下，二次曲面的一般方程是,（1）,（2）,则（1）式可以写成,令,2.应用,6 实对称矩阵的标准形,对（2）中的 有正交矩阵C（且 ）,确定的坐标变换

25、公式,曲面（1）的方程化成,这样由（2）知道经过由 的坐标轴旋转，,或,6 实对称矩阵的标准形,其中,这时，再按 是否为零，作适当的坐标轴的,平移或旋转可以将曲面的方程化成标准方程,如当全不为零时，作平移,6 实对称矩阵的标准形,曲面方程（1）可以化为,其中,6 实对称矩阵的标准形,长度 称为向量 和 的距离，,2.性质,(1),(2) 并且仅当 的等号才成立；,(3) (三角形不等式),1.定义,记为,一.向量和向量的距离,设V为欧氏空间,对任意,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,二.向量和子空间的距离,设V为欧氏空间,W为V的一个子空间，,为一固定向量.,1.定义,为 和W的距离，,记为

26、,2.结论,向量 到子空间W中的各向量的距离 以垂线为最短.,即对某,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,证明,只需证,因为,又,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,三. 最小二乘法,1.问题提出,已知某种材料在生产过程中的废品率y 与某种,化学成份 x 有关下列表中记载了某工厂生产,中 y 与相应的 x 的几次数值：,找出y 对 x 的一个近似公式.,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,解 先画图,从图上看它趋近于一条直线,令关系式,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,即,事实上这样的a,b不存在，,得,任何a,b 代入上面,各式都发生些误差.因此想找到 a,b 使得上面各式的,误差的平方和

27、最小.,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,即令误差平方和,求 使 取最小值.,为所求近似公式.,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,2. 定义,可能无解.,使S最小，这样的,称为方程组的最小二乘解.这种问题就叫最小二乘法问题.,线性方程组,不等于零.,都可能使,因此设法找,即任何一组数,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,3. 最小二乘问题的矩阵表示,设,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,最小二乘法就是找,又,问题转化为求向量 使,此时,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,设,这等价于,即,这等价于,为此必,或,这就是最小二乘解所满足的代数方程.,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,最小二乘解 a,b 所满足的方程就是,上问题中记,解得,（取三位有效数字）.,即为,7 向量到子空间的距离,最小二乘法,