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1、第五章 定积分及其应用,第一节 定积分的概念与性质,第二节 微积分基本公式,第三节 定积分的换元法及分部积分法,第四节 反常积分,第五节 定积分在几何上的应用,实例1 （求曲边梯形的面积）,一、问题的提出,用矩形面积近似取代曲边梯形面积,显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积,（四个小矩形）,（九个小矩形）,曲边梯形如图所示，,曲边梯形面积的近似值为,曲边梯形面积为,二、定积分的定义,定义,记为,积分上限,积分下限,积分和,注意：,定理1,定理2,三、存在定理,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积的负值,四、定积分的几何意义,几何意义：,对定积分的补充规定:,说明,在下面的性质中，假定定积分
2、都存在，且不考虑积分上下限的大小,五、定积分的性质,性质1,性质2,性质3,性质4,性质5,性质5的推论：,（1）,（2）,性质6,（此性质可用于估计积分值的大致范围）,证,由闭区间上连续函数的介值定理知,性质7（定积分中值定理）,积分中值公式,使,即,积分中值公式的几何解释：,六、小结,定积分的实质：特殊和式的极限,定积分的思想和方法：,求近似以直（不变）代曲（变）,取极限,3定积分的性质,（注意估值性质、积分中值定理的应用）,典型问题,（）估计积分值；,（）不计算定积分比较积分大小,考察定积分,记,积分上限函数,一、积分上限函数及其导数,积分上限函数的性质,定理2（原函数存在定理）,定理的
3、重要意义：,（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.,（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.,定理 3（微积分基本公式）,二、牛顿莱布尼茨公式,微积分基本公式表明：,注意,求定积分问题转化为求原函数的问题.,例 求,原式,例 设 求 .,解,解,3.微积分基本公式,1.积分上限函数,2.积分上限函数的导数,三、小结,定理,一、换元公式,应用换元公式时应注意:,（1）,用,把变量,x,换成新变量,t,时，积分限也,相应的改变,.,例 计算,解,令,例 计算,解,原式,例 计算,解,令,原式,二、分部积分公式,例1 计算,解,令,则,例2 计算,解,定积分的分部积分公式,三、小结,定积
4、分的换元法,一、无穷限的广义积分,例1 计算广义积分,解,例2 计算广义积分,解,二、被积函数具有无穷间断点的广义积分,定义中C为瑕点，以上积分称为瑕积分.,例5 计算广义积分,解,例7 计算广义积分,解,故原广义积分发散.,例8 计算广义积分,解,瑕点,无界函数的广义积分（瑕积分）,无穷限的广义积分,（注意：不能忽略内部的瑕点）,三、小结,回顾,曲边梯形求面积的问题,一、定积分的元素法,面积表示为定积分的步骤如下,（,1,）把区间,分成,n,个长度为,的小区间，,相应的曲边梯形被分为,n,个小窄曲边梯形，第,i,小窄曲边梯形的面积为,，则,.,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A
5、的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,二、直角坐标系情形下平面图形的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,三、极坐标系情形情形下平面图形的面积,解,由对称性知总面积=4倍第
6、一象限部分面积,解,利用对称性知,求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.,（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）,四、小结,旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体这直线叫做旋转轴,圆柱,圆锥,圆台,一、旋转体的体积,旋转体的体积为,例,1,连接坐标原点,O,及点,的直线、直线,及,x,轴围成一个直角三角形将它绕,x,轴旋,转构成一个底半径为,r,、高为,h,的圆锥体，计算,圆锥体的体积,解,直线 方程为,补充,解,体积元素为,二、平行截面面积为已知的立体的体积,如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的
7、体积也可用定积分来计算.,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,解,取坐标系如图,底圆方程为,截面面积,立体体积,旋转体的体积,平行截面面积为已知的立体的体积,绕 轴旋转一周,绕 轴旋转一周,绕非轴直线旋转一周,三、小结,一、平面曲线弧长的概念,弧长元素,弧长,二、直角坐标情形,解,所求弧长为,曲线弧为,弧长,三、参数方程情形,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,曲线弧为,弧长,四、极坐标情形,解,解,平面曲线弧长的概念,直角坐标系下,参数方程情形下,极坐标系下,弧微分的概念,求弧长的公式,五、小结,变力沿直线所作的功,解,功元素,所求功为,如果要考虑将单位电荷移到无穷远处,作业1：,P275 4(1)(2)(7)(8) P284 1(1)(3)(5)(7) P285 2(2)(4),作业2,P301 2(4), 8(2),9 P302 13(2),