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1、第四章部分习题提示与解答,5、已知,其中,，当,考虑与,能交换的任意,阶矩阵,一方面,另一方面,由,有,即,当,时，因,，故,从而,为对角阵,、本题为第5题的推广,其中,已知,当,为,级单位阵，,考虑能与,进行交换的任意矩阵,对,按,的形式进行分块有,其中,为,矩阵.,一方面，,另一方面，,由,有,即,于是当,时，,从而,记,则,7、已知,为第,行,列元素为1，其余元素为0的矩阵.,其中,分别为,的第,行行向量，第,列列向量,由,有,于是,即证明 2），1）为 2）的特例.,3）因,又,故由,的任意性有,再由 2）知,即,为数量矩阵.,与所有,级矩阵可交换，故,一定与,可交换，于是,注：因,1
2、0、已知,为实对称矩阵, 且, 不妨设,为,阶矩阵，,为任意,量，则,记,维列向,则,为,维的列向量，设,的分量为,即,且,于是,从而, 即,，由,的任意性知,，其中,从而,即,，即,13、已知,要证,而,范德蒙行列式,记,则,而,于是,14、,只须注意到,，则至少存在,的一列向量（例如,）非零,而由,有,，即方程组,有非零解，从而,反之，,意味着,有非零解，,令,显然,不妨设为,15、已知,阶矩阵,满足,（对任一,维向量,），故可取,为单位列向量,于是,从而,即,25、1）设,为两个上三角形矩阵，则,且,证法一：当,时，,故,为上三角形矩阵,证法二：对,进行分块：,其中，,显然,为上三角形矩
3、阵（,级）,下面用归纳法来证明,当,时，,结论成立,设当级数为,时结论成立，下证当级数为,时结论,由归纳法假设知,为上三角形矩阵，故,为上三,成立。,角形矩阵。,2）设,为一可逆的上三角形矩阵，则,令,，则有,对级数,用归纳法。,当,时，,结论成立,设当,时结论成立,其中，,为,级可逆上三角形，则由归纳法假设知,为可逆上三角形阵，于是结论成立。,对,16、已知,为,矩阵，,为,矩阵，秩,1）若,则,2）若,则,证：显然 2）可化为 1）的情形，事实上，,对 1），因秩,故,的行向量组线性无关，,设,的列向量组为,，即,取,的列向量组中极大组（不妨设为,组成一个,矩阵,，则由已知,故,，又,，从
4、而,）,29、证明：,取,，则,类似地，,30、证明：,补充习题1：,为,阶矩阵，秩,，要证,已知,证明：因秩,，则,的任两行成比例，从而对,有,故,记,则,有关矩阵的秩的习题,秩,秩,，其中,1、证明秩,证明：设秩,，秩,则,可由其列向量组的极大组线性表出，不妨设此极大,的所有列向量均可由其列向量组,的所有列向量,组为,的极大组线性表出，不妨设此极大组为,于是,的所有列向量均可由,线性表出，从而秩,秩,即秩,秩,秩,2、（书17题）证明秩,秩,秩,证法一：令,，则对,施加列的初等变换：,把,的列逐一加到相应的,的列上去，可得：,于是秩,秩,秩,秩,但,为,的部分列，故秩,秩,秩,秩,证法二：
5、设,这里,分别为,与,第,列的列向量.,记秩,秩,设,为,的极大组，,为列向量组,的极大组，,存在不全为零的常数,及不全为零,使得,于是,的常数,从而,即,的所有列向量可由,线性表出，,于是秩,秩,3、（书18题）设,为,矩阵，证明：如果,则秩,秩,证明：因,，故,的列向量,为方程组,的解向量。于是由,的基础,秩,知秩,秩,解系的秩为,即,秩,秩,（因,均可由,的基础解系线性表出）.,4、（书27题）证明：如果,为,阵,则,秩,证明：因,，故当秩,时,从而,即,可逆，且秩,当秩,时，显然,奇异，,于是,则由书18题知秩,秩,从而秩,秩,又由秩,知，,存在一个,级子式不为0，从而,故,当秩,时，由,定理6知,的所有,级子式全为0，,而,的元素,为,的元素,的代数余子式,（为,乘上一,级子式），,故,，即秩,6、设,为,阵，证明：若,，则,证明：一方面，,（由书17题及,），,另一方面，因,故由书18题有,因此,7、（书补充题4）设,为,阵，且,证明：,证明：类似上题可证,一方面，因,故由18题有,另一方面，,（由17题）于是,