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1、,导数的应用,习题课(4),内容总结,1、微分中值定理，LHospital法则,理解Rolle定理和Lagrange中值定理，会运用 其证明一些命题、等式及不等式,了解Cauchy中值定理和Taylor中值定理的 条件，会用Taylor公式进行近似计算,熟练掌握LHospital法则,2、导数的应用,掌握利用函数导数的符号判定函数单调性的方法,掌握利用函数单调性证明不等式的方法,理解极值的概念，掌握极值点的判定和极值 的求法,了解函数曲线的凹凸性与拐点的概 念，掌握曲线的凹凸性与拐点的判定,会利用函数的单调性、极值、凹 凸性、拐点、渐近线等性态描绘 函数的图形,明确函数的最值与极值在概念上的区
2、别， 掌握最值的求法及其简单应用,作业中问题的讲析,典型例题讲析,分析 要证 ，即要证,设函数(x) 在a, b上连续，在(a, b)内可导，证明在(a, b)内至少存在一点，使,或,可取 F(x) = (b-x)(x) -(a)，利用罗尔定理证明.,证明 令 F(x) = (b-x)(x) -(a)，则有F(x)在 a, b上连续、在(a, b)内可导，且有F(a)=F(b) = 0，由罗尔定理知 (a, b)，使 ，即,设 f (x) 在a, b上连续、在(a, b)内可导(a 0, b0),求证方程 在(a, b)内至少有一个实根.,分析 不可用介值定理证明 ( 不一定连续) ；,考虑中
3、值定理，为此方程变形为,则若取,有,且,证明 令,则F(x)也在a, b上连续、在(a, b)内可导，且,由罗尔定理知 (a, b)，使 ，即,或,又证 取函数 f (x)和F(x)=lnx，用柯西中值定理.,即 为原方程的一个实根.,下面的证法为什么错了？f (x)在a, b上满足拉格朗日中值定理条件，故有,又令F(x)=lnx ，它在a, b上也满足拉格朗日中值定理条件，故有,两式相除得,即,故 为原方程的一个实根.,讨论函数 在x=0点的连续性.,解,其中,故,又,而,故 f (x) 在 x=0点连续.,解,求下列极限：,故该极限不存在.,注意：这里不是不定式，不能用罗必达法则.,解,求
4、下列极限：,当k为何值时,方程 x-lnx+k =0在区间(0,+) 上 (1)有相异的两个实根,(2)有唯一的实根,(3)无实根?,解,记 有,，故 x=1为极小值点，又 f(x) 在(0,+)内只有一个驻点，所以f(1)为 f(x) 在(0,+)内的最小值，且 fmin= f(1)=1+k,又,(1)当1+k0, 即k-1时, 原方程有两个相异实根；,(2)当1+k=0, 即k=-1时,原方程有唯一的实根；,(3)当1+k0, 即k-1时,原方程无实根.,于是,解,证明当 时，sinx + tanx 2x,取,因此 在 上严格单调增，故,从而 f (x) 在 上严格单调增，即,亦即 sin
5、x + tanx -2x 0,或 sinx + tanx 2x,曲线 上那一点处的法线在y轴上的截距最小？,解,设 在(x, y)处的法线为,因 故 法线方程为,整理后为,法线在y 轴上的截距为,求其极值：,令 解得 x1=1, x2= -1(舍去),故b(1)极小值，亦即最小值，,从而在点(1, 1/3)处，曲线的法线在y轴上的截距最小.,当 a,b为何值时, 点(1,3)为曲线的 y=ax3+bx2 拐点？,解,令 得,当 时， ，,曲线在 上严格上凸；,当 时， ，,当 时，,曲线在 上严格下凸；,于是点 为曲线唯一的拐点.,而要使(1,3)为拐点, 须 ,即,课内练习题,1. f (x
6、)在0,1上可导，0f (x)1，在(0,1)内 ，证明在(0,1)内有且仅有一点，使f ( )= .,2. 求下列极限：,3.讨论方程 lnx=ax (其中a 0)有几个实根？,4.证明不等式,5. 讨论函数 的性态，并作图.,课外练习题,6. 设 f (x) 在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导. 连接点A(a, f (a)和B(b, f (b)的直线段 AB 与曲线 y= f (x) 相交于点C(c, f (c) (acb). 证明在内存在一点 ，使 .,7. 求下列极限：,8. 设f (x)在a,b上连续，在(a,b)内二阶可导. 证明存在一点(a,b)，使,9. 某下水道涵洞的截面
7、为矩形加半圆(如图). 截面的面积为5m2，问底宽为多少可使截面的周长最小，从而使建造时所用材料最省？,练习题答案,2.,1. 提示：先证存在性(介值定理),再证唯一性(罗尔定理).,（提示：用泰勒公式做）,（提示：1型）,3.记,当 时，,故 f(x)在 内严格单调增；,当 时，,故 f(x)在 内严格单调减；,从而 为最大值，又,于是 当 有 ，这时曲线y=lnx-ax与x轴只有一个交点，即原方程有唯一实根.,同理当 有 ，,当,有 ，这时曲线y=lnx-ax与x轴分别有两个交点和没有交点，即原方程分别有两个实根和没有实根.,g(x)=tanx-x 在0,x上严格单调增， 即有g(x)=tanx-x g(0)=0,故,从而 f (x) 在 上严格单调增， 因此 f (x) f (0) = 0，即,(2)提示：取 f (t)=tlnt, t(0,+)，证明该函数严格下凸.,4(1)取 则有,再取,5. 曲线有两条渐近线：x=-1, y=x-2，性态列表如下：,6.提示：对f (x)分别在a,c和c,b上运用拉格朗日中值定理，再对 在1, 2上运用罗尔定理.,7.(1) (2) e (3) (4),8.提示：分别将f (a) 和f (b)在点(a+b)/2展开成泰勒公式，再相加.,9.设底宽x，则周长函数为 可求得底宽为 时截面周长最小.,