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1、“一叶知秋”,统计初步中的用样本估计总体,通过从总体中抽取部分对象进行观测或试验，进而对整体做出推断.,意思是从一片树叶的凋落，知道秋 天将要来到.比喻由细微的迹象看出整体 形势的变化，由部分推知.,推理与证明,推理,证明,言之有理，论证有据！,第二章 推理与证明,2.1.1合情推理,10 37 20 317 30 1317,数学皇冠上璀璨的明珠哥德巴赫猜想,哥德巴赫猜想,世界近代三大数学难题之一,1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。如633，1257等等。猜想,(a) 任何一个6之偶数，都可以表示成两个奇质数之和。 (b) 任何一
2、个9之奇数，都可以表示成三个奇质数之和。,有人对33108以内且大过6之偶数一一进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立。,目前最佳的结果是中国数学家陈景润于1966年证明的，称为陈氏定理(Chens Theorem).“任何充份大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积”,通常都简称这个结果为大偶数可表示为 “1+2”的形式。,1920年，挪威的布朗证明了“9+9”。 1924年，德国的拉特马赫证明了“7 + 7”。 1932年，英国的埃斯特曼证明了“6 + 6”。 ,200年过去了，没有人证明它。哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的“明珠”。到了20世纪20年代，
3、才有人开始向它靠近。,陈氏定理(Chens Theorem) 任何充分大的偶数都是一个质数与一个自然数之和，而后者仅仅是两个质数的乘积, 简称为 “1 + 2 ” 。,例1:数一数图中的凸多面体的面数F、顶点数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之间的关系.,4,6,4,5,5,6,5,9,8,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,4,6,4,5,5,6,5,9,8,6,6,8,6,12,8,12,6,10,7,7,9,16,9,10,15,10,15,F+V-E=2,猜想：,欧拉公式,哥德巴赫猜想的过程：,归纳推理的过程：,由某类事物的 具有某些特征,
4、 推出该类事物的 都具有这些特征 的推理,或者由 概括出 的推理,称为归纳推理(简称归纳).,部分对象,全部对象,个别事实,一般结论,归纳推理,但是，利用归纳推理得出的结论不一定是正确的,任何形如 的数都是质数这就是著名的费马猜想,观察到都是质数,进而猜想:,费马,近百年后的1732年，瑞士数学家欧拉发现,宣布了费马的这个猜想不成立,它不能作为一个求质数的公式.以后,人们又陆续发现 不是质数.至今这样的反例共找到了46个,却还没有找到第6个正面的例子,也就是说目前只有n=0,1,2,3,4这5个情况下,Fn才是质数.,大胆猜想 小心求证,1，3，5，7，由此你猜想出第 个数是_.,这就是从部分
5、到整体,从个别到一般的归纳推理.,你想起来了吗？,1.已知数列 的第一项 =1, 且 ( 1，2，3，)， 请归纳出这个数列的通项公式为_.,让我们一起来归纳推理,归纳推理的基础,归纳推理的作用,归纳推理,观察、分析,发现新事实、获得新结论,由部分到整体、 个别到一般的推理,注意,归纳推理的结论不一定成立,可能有生命存在,有生命存在,温度适合生物的生存,一年中有四季的变更,有大气层,行星、围绕太阳运行、绕轴自转,火星,地球,火星上是否存在生命,火星与地球类比的思维过程：,火星,地球,存在类似特征,由两类对象具有某些类似特征和其中 一类对象的某些已知特征,推出另一类对 象也具有这些特征的推理称为
6、类比推理.,类比推理,我们已经学习过“等差数列”与“等比数列”.,你是否想过“等和数列”、“等积数列” ？,从第二项起，每一项与其前一项的差等于一个常数的数列是等差数列.,从第二项起，每一项与其前一项的和等于一个常数的数列是等和数列.,试根据等式的性质猜想不等式的性质.,类比推理的结论不一定成立.,让我们一起来类比推理,例1：类比平面内直角三角形的勾股定理，试给出空间中四面体性质的猜想,s1,s2,s3,c2=a2+b2,类比推理,类比推理,以旧的知识为基础,推测新的结果，具有发现的功能,由特殊到特殊的推理,类比推理的结论不一定成立,注意,类比推理,由特殊到特殊的推理;,以旧的知识为基础,推测
7、新的结果；,结论不一定成立.,归纳推理,由部分到整体、特殊到一般的推理;,以观察分析为基础,推测新的结论;,具有发现的功能;,结论不一定成立.,具有发现的功能;,归纳推理和类比推理的过程,通俗地说，合情推理是指“合乎情理”的推理.,传说在古老的印度有一座神庙，神庙中有三根针和套在一根针上的64个圆环.古印度的天神指示他的僧侣们按下列规则,把圆环从一根针上全部移到另一根针上，第三根针起“过渡”的作用. 1.每次只能移动1个圆环； 2.较大的圆环不能放在较小的圆环上面. 如果有一天，僧侣们将这64个圆环全部移到另一根针上，那么世界末日就来临了. 请你试着推测：把 个圆环从1号针移到3号针,最少需要
8、移动多少次?,1,2,3,游戏：河内塔（Tower of Hanoi）,1,2,3,第1个圆环从1到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1时，,1,2时，,1,2,3,第1个圆环从1到3.,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 第1个圆环从2到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,1,1时，,3,2时， 3,1时， 1,3时，,1,2,3,第1个圆环从1到3.,前1个圆环从1到2; 第2个圆环从1到3; 前1个圆环从2到3.,前2个圆环从1到2; 第3个圆环从1到3; 前2个圆环从2到3.,设 为把 个圆环从1号针移到3号针的最少次数，则,7,哥尼斯堡七桥问题18世纪在哥尼斯堡城的普莱格尔河上有7座桥，将河中的两个岛和河岸连结， 城中的居民经常沿河过桥散步，于是提出了一个问题：能否一次走遍7座桥，而每座桥只许通过一次，最后仍回到起始地点。这就是七桥问题，一个著名的图论问题。,欧拉,