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1、,组合与组合数公式,问题一：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动，1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？,问题二：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加一项活动，有多少种不同的选法？,甲、乙；甲、丙；乙、丙,有顺序,无顺序,一般地，从n个不同元素中取出m（mn） 个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出 m个元素的一个组合,组合定义:,排列定义:,一般地说，从n个不同元素中，取出m (mn) 个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列.,思考:,排列与组合的概念，它们有什么共同点、不同点？,共同点:都要“从n
2、个不同元素中任取m个元素”,不同点:对于所取出的元素，排列要“按照一定的顺序 排成一列”，而组合却是“不管怎样的顺序并成一组”,排列与元素的顺序有关，而组合则与元素的顺序无关,想一想:ab与ba是相同的排列还是相同的组合?为什么?,两个相同的排列有什么特点?两个相同的组合呢?,判断下列问题是组合问题还是排列问题?,(1)设集合A=a,b,c,d,e，则集合A的含有3个元素的 子集有多少个?,(2)某铁路线上有5个车站，则这条铁路线上共需准备 多少种车票?,有多少种不同的火车票价？,组合问题,排列问题,(3)10名同学分成人数相同的数学和英语两个学习小组， 共有多少种分法?,组合问题,(4)10
3、人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候， 共需握手多少次?,组合问题,(5)从4个风景点中选出2个安排游览,有多少种不同的方法?,组合问题,(6)从4个风景点中选出2个,并确定这2个风景点的游览顺序,有多少种不同的方法?,排列问题,组合问题,如:从 a , b , c三个不同的元素中取出两个元素的所有组合分别是:,ab , ac , bc,如:已知4个元素a , b , c , d ,写出每次取出两个 元素的所有组合.,ab , ac , ad , bc , bd , cd,(3个),6个,练习:,中国、美国、古巴、俄罗斯四国女排邀请赛，通过单循环决出冠亚军 （1）列出所有各场比赛的双方； （
4、2）列出所有冠亚军的可能情况。,（1） 中国美国 中国古巴 中国俄罗斯 美国古巴 美国俄罗斯 古巴俄罗斯,（2）,组合数: 从n个不同元素中取出m（mn）个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用符号 表示,如:,思考:如何计算:,写出从a,b,c,d 四个元素中任取三个元素的所有组合。,a,abc ， abd ， acd ， bcd .,b,c,d,d,b,c,c,d,写出从 a , b , c , d 四个元素中任取三个元素的所有排列.,abc bac cab dab abd bad cad dac acb bca cba dba acd bcd cbd dbc
5、adb bda cda dca adc bdc cdb dcb,所有的排列为：,组合,排列,abc bac cab acb bca cba,abd bad dab adb bda dba,acd cad dac adc cda dca,bcd cbd dbc bdc cdb dcb,组合数公式:,从 n 个不同元中取出m个元素的排列数,例1计算：,例2求证：,例6 一位教练的足球队共有 17 名初级学员，他们中以前没有一人参加过比赛按照足球比赛规则，比赛时一个足球队的上场队员是11人问： (l)这位教练从这 17 名学员中可以形成多少种学员上场方案？ (2)如果在选出11名上场队员时，还要确定
6、其中的守门员，那么教练员有多少种方式做这件事情？,分析：对于（1)，根据题意，17名学员没有角色差异，地位完全一样，因此这是一个从 17 个不同元素中选出11个元素的组合问题；对于（ 2 ) ，守门员的位置是特殊的，其余上场学员的地位没有差异，因此这是一个分步完成的组合问题,解： (1）由于上场学员没有角色差异，所以可以形成的学员上场方案有 12 376 （种） . (2）教练员可以分两步完成这件事情： 第1步，从17名学员中选出 11人组成上场小组，共有种选法； 第2步，从选出的 11 人中选出 1 名守门员，共有种选法 所以教练员做这件事情的方法数有 =136136（种）.,例7（1）平面
7、内有10 个点，以其中每2 个点为端点的线段共有多少条？ (2）平面内有 10 个点，以其中每 2 个点为端点的有向线段共有多少条？,解：(1）以平面内 10 个点中每 2 个点为端点的线段的条数，就是从10个不同的元素中取出2个元素的组合数，即线段共有 （条）. (2）由于有向线段的两个端点中一个是起点、另一个是终点，以平面内10个点中每 2 个点为端点的有向线段的条数，就是从10个不同元素中取出2个元素的排列数，即有向线段共有 （条）.,例8在 100 件产品中，有 98 件合格品，2 件次品从这 100 件产品中任意抽出 3 件 . (1）有多少种不同的抽法？ (2）抽出的 3 件中恰好
8、有 1 件是次品的抽法有多少种？ (3）抽出的 3 件中至少有 1 件是次品的抽法有多少种？,解：(1）所求的不同抽法的种数，就是从100件产品中取出3件的组合数，所以共有 = 161700 （种）. (2）从2 件次品中抽出 1 件次品的抽法有种，从 98 件合格品中抽出 2 件合格品的抽法有种，因此抽出的 3 件中恰好有 1 件次品的抽法有 =9506(种).,(3）解法 1 从 100 件产品抽出的 3 件中至少有 1 件是次品，包括有1件次品和有 2 件次品两种情况在第（2）小题中已求得其中1件是次品的抽法有种，因此根据分类加法计数原理，抽出的3 件中至少有一件是次品的抽法有 + =9 604 （种） . 解法2 抽出的3 件产品中至少有 1 件是次品的抽法的种数，也就是从100件中抽出3 件的抽法种数减去3 件中都是合格品的抽法的种数，即 =161 700-152 096 = 9 604 （种）. 说明：“至少”“至多”的问题，通常用分类法或间接法求解。,