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1、第一章静电场,镜象法 Image Method and Electric Axis Method,小结：求空间电场分布的方法 场源积分法 积分困难，对大多数问题不能得出解析解。 应用高斯定理求解 只能应用于电荷成对称分布的问题。 间接求解法 先求解空间电位分布，再求解空间电场。 在实际工程应用中，间接求解法应用最为广泛，适用于边值问题的求解。,用解析方法直接求解电位微分方程的定解问题常常不是一件容易的事。 基于静电场的唯一性定理，形成间接的求解方法，能把复杂问题等效为简单问题来求解，能使某些复杂问题得到很好地解决。唯一性定理的典型应用之一镜像法和电轴法 镜像法和电轴法的实质是把实际上分片均匀媒
2、质看成均匀，并在所研究的场域外的适当地点用虚设的较简单的电荷分布代替实际边界上复杂的电荷分布。只有虚设的电荷分布与边界内的实际电荷一起产生的电场能满足给定的边界条件。,镜像法,几个实例：,q,q,非均匀感应电荷,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,求解位于接地导体板附近的点电荷产生的电位,接地导体球附近有一个点电荷，如图。,q,非均匀感应电荷,q,等效电荷,非均匀感应电荷产生的电位很难求解，可以用等效电荷的电位替代,边值问题：,（导板及无穷远处）,（除 q 所在点外的区域）,（S 为包围q 的闭合面）,1.平面导体的镜像,镜像法最简单的例子：接地无限大导体平面
3、上方一个点电荷，根据唯一性定理，导体平面上半空间的电为分布应满足：,q,q,等效电荷,镜像法: 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、大小与位置使场的解答满足唯一性定理。,（除 q 所在点外的区域）,（导板及无穷远处）,（S 为包围q 的闭合面）,上半场域边值问题：,点电荷对无限大平面导体边界的镜像,等效问题： 要求：与原问题边界条件相同 原电荷：q（d，0，0） 镜像电荷(等效电荷):-q（-d，0，0）(在求解域外) 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。,d,d,例1 求空气中一个点电荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,（方向指向地面）,例1 求空气中一个点电
4、荷 在地面引起的感应电荷分布情况。,解: 设点电荷 离地面高度为h，则,整个地面上感应电荷的总量为,2. 导体球面镜像,设在点电荷附近有一接地导体球，求导体球外空间的电位及电场分布。,1) 边值问题：,（除q点外的导体球外空间),2)设镜像电荷-q 位于球内,球面上任一点电位为:,由叠加原理，接地导体球外任一点P的电位与电场分别为,镜像电荷不能放在当前求解的场域内。,镜像电荷的作用等于负的感应电荷的作用,例2 试计算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分布。,在接地球的基础上判断镜像电荷的个数、大小与位置,解: 边值问题：,( 除 q 点外的导体球外空间）,( S 为球面面积 ),例2 试计
5、算不接地金属球附近放置一点电荷q时的电场分布。,任一点电位及电场强度为：,感应电荷分布及球对称性，在球内有两个等效电荷。,正负镜像电荷绝对值相等。,正镜像电荷只能位于球心。,不接地导体球面上的正负感应电荷的绝对值等于镜像电荷 吗? 为什么？,镜像法小结,镜像法的理论基础是静电场唯一性定理； 镜像法的实质是用虚设的镜像电荷替代未知电荷的分布，使计算场域为无限大均匀介质； 镜像法的关键是确定镜像电荷的个数，大小及位置； 应用镜像法解题时，注意：镜像电荷只能放在待求场域以外的区域。叠加时，要注意场的适用区域。,镜像法小结:什么情况下能用镜像法分析？,1.点电荷和无限大平面导体,等效问题： 要求：与原
6、问题边值问题相同 原电荷：q，距离h 镜像电荷(等效电荷):-q距离-h(在求解域外) 取消导体边界面，空间媒质充满整个空间。,2.点电荷和接地导体球,q点电荷附近接地导体球的影响 可用镜像电荷（-q）代替感应电荷，其中 位置与电荷量为：,3.点电荷和两种不同介质,平面分界面S的上下半空间充满介电常数为1和2的均匀介质，在上半空间距S为h处有一点电荷q，求空间的电场,设上半空间电位为1，下半空间电位为2，根据唯一性定理， 1和2应满足：,（2）当r， 10， 20,（1）,（3）分界面S上的衔接条件,h,q,镜像系统为：上半空间 由原来电荷q和在像点的像电荷q所产生（介电常数1冲满整个空间）,
7、r1,r2,镜像系统为：下半空间 由原来电荷q处的像电荷q所产生（介电常数2冲满整个空间）,r1,在r1=r2处，由条件（3），可得,h,q,q,练习题,例2.如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为的长直线，求AB两点间的电势差。,例2.如图所示，一根垂直纸面，带电线密度为的长直线，求AB两点间的电势差。,解：,例题3: 已知两杆电荷线密度为, 长度为L, 相距L . 求两带电直杆间的电场力.,例题3: 已知两杆电荷线密度为, 长度为L, 相距L . 求两带电直杆间的电场力.,解:,例题4. 球形金属空腔内外半径 a b，带电 Q，腔内点电荷q，距球心 r a。求球心 O 点电位。,例题4. 球
8、形金属空腔内外半径 a b，带电 Q，腔内点电荷q，距球心 r a。求球心 O 点电位。 解：内壁 -q，外壁 q+Q,思考：电荷在内壁和外壁上的分布均匀吗？对球心处电位有何影响？,例题5. A、B为平行的无限大带电导体板，面密度分别为A和B，静电平衡时四个面上的电荷分布。,例题5. A、B为平行的无限大带电导体板，面密度分别为A和B，静电平衡时四个面上的电荷分布。 解：高斯定理 E = E 2S = 0 = S (2+3)/0 2 = -3 P点: 1 = 4 又 1 + 2 = A , 3 + 4 = B 解得 1 = 4 = (A+B)/2 2 = -3 = (A- B)/2,例题6:一
9、电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角。证明：当 时，该电容器的电容为：,b+xsin,例题6:一电容器两极板都是边长为a的正方形金属平板，但两板不严格平行有一夹角。证明：当 时，该电容器的电容为：,忽略边缘效应,证明：,整体不是平行板电容器,但在小块面积 adx 上，可认为是平行板电容器,其电容为：,b+xsin,证毕,b+xsin,电容器电容求解,例7.平行板电容器极板面积为 S ， 板间距为 d ，相对介电常数为 的两种电介质各充满板间的一半，如图， （1）此电容器带电后，两介质所对应的 极板上自由电荷面密度是否相等？ （2）求其电容。,解：（1）设极板间的电
10、势差为 V， 由介质中的高斯定理得：,例7.平行板电容器极板面积为 S ， 板间距为 d ，相对介电常数为 的两种电介质各充满板间的一半，如图， （1）此电容器带电后，两介质所对应的 极板上自由电荷面密度是否相等？ （2）求其电容。,（2）,例8. 一锥顶角为 的圆台，上下底面半径分别为R1和R2，在它的侧面上均匀带电，电荷面密度，求：顶角O的电势。 （以无穷远处电势为零点）,解：,R1,R2,另解：选择积分元为,例9 如图，在一电荷体密度为 r 的均匀带电球体中，挖出一个以O为球心的球状小空腔，空腔的球心相对带电球体中心O的位置矢量用表示 试证球形空腔内的电场是均匀电场，其表达式为,证明：(1) 求半径为R、体电荷密度为 的均匀带电球体内的电场强度,以球心到场点的距离为半径作一球面，则通过此球面的电通量为,根据高斯定理,当场点在球体内时,根据高斯定理,当场点在球体内时,当场点在球体外时,(2),