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1、建立函数模型解决几何图形面积的最值问题,说题者：许文娟,人教版九年级上册 第52页综合运用第7题,题目：,如图，点E,F,G,H分别位于正方形ABCD的四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？,一、背景分析,二、解题过程,三、拓展提升,四、评价分析,一、背景分析,题目背景,题材背景,知识背景,思想背景,题干立意,本题出自人教版九年级上册P52综合运用第7题 这道题安排在课题实际问题与二次函数 的复习巩固题之内。,在学习了二次函数的解析式性质、图象之后，运用变量之间的关系建立函数模型。,题干立意从知识技能、过程方法和情感态度价值观进行阐述,数形结合，转化思
2、想，类比思想，,一、背景分析- 学情分析,学生特点：本题的教学对象是毕业班学生，他们的观察能力 有所发展，抽象逻辑思维开始占优势，具有从实际问题中抽象 出变量，常量之间关系的能力。我将采用数形结合、化归思想和类比的方法进行突破难点。,二、解题过程审题,如图，点E,F,G,H分别位于正方形ABCD四条边上，四边形EFGH也是正方形，当点E位于何处时，正方形EFGH的面积最小？,审题： 1、挖掘题干中有价值的信息。直接条件：正方形ABCD的边长是常量，点E是边AB上的一个动点； 隐含条件是AE是变量，正方形EFGH的面积是变量； 图形中出现四个全等的三角形,2、学生遇到的问难：（1）图形中没有数字
3、语言，无从下手。 （2）不知如何设变量 （3）建立二次函数模型,二、解题过程-问题设计,3、将问题当中的条件具体化处理，对结论进行猜想。正方形ABCD的边长是常量，先将AB边长具体化，假设AB=10，猜想当点E运动到AB边的中点时， 形成的正方形EFGH的面积最小。,4、从求想起，分析正方形的面积和哪些线段有关。观察可知： Rt AEH Rt BFE Rt CGF Rt DHG,可以对Rt AEH Rt BFE 进行证明，由三角形全等可知BF=AE。,已知,在Rt BFE中，,5、建立二次函数模型。由分析可知：正方形EFGH的面积和线段AE，线段BE的长度有关。,假设AE=x,正方形EFGH的
4、面积为y,则BE=10-x,由上诉的证明可以得BF=AE=x,当点E在AB的中点处时，正方形EFGH有最小值。,6、从特殊到一般，建立函数模型求面积的最值,假设AB=a,AE=x,正方形EFGH的面积为y,则BE=a-x,由上诉的证明可以得BF=AE=x,当点E在AB的中点处时，正方形EFGH有最小值.证实了猜想是正确的。,7、第二种解法：利用图形面积和差建立函数模型,假设AB=a,AE=x,正方形EFGH的面积为y,则BE=a-x,可以得到BF=AE=x,三、拓展提升-解题方法总结,实际问题,常量、变量,函数模型,函数最值,三、拓展提升-题目变式延伸,变式训练1：如图所示，已知AB=12，A
5、D=16，点G在AB边上运动，以AG,BG形成的正方形AGPQ和正方形BEFG，当点G运动到何处时，正方形AGPQ和正方形BEFG的面积之和最小？,设计意图：强化建模思想，根据变量和常量之间的关系，变量和变量的关系，建立函数模型求出面积的最小值。,变式训练2 如图所示， ABC为等边三角形，且边AC=a，点E是AB 边上的一个动点，EH AB,HG HE,GF AB，点E,F,G,H形成矩形，当点E运动到何处时，矩形EFGH面积最大？,设计意图：拓展学生思维，几何图形面积有最小值也会有最大值的情况。综合运用等边三角形的性质、全等三角形的判定、勾股定理确定面积和哪些变量有关，从而建立函数模型。,
6、四、评价分析-教法总结和教学反思,教法总结：针对学生思维活跃，观察能力强，抽象逻辑思维水平处于中等水平的特点，我在本题教学中采取自主探索式教学，引导学生从求想起，按照猜想探索验证-总结的线索突破难点，培养学生分析题干，思考各个变量之间的关系，从而建立函数模型解决问题。,1.本题研究几何图形最值-建立函数模型进行问题解决。从学生的作业情况来看，有些直接回答问题不进行阐述，有些不懂找常量和变量，无法建立函数模型。今后教学中要针对动点问题和函数模型问题强化训练。 2.建立函数模型是解决几何图形面积最值的有效方法，在教学中我突出对数形结合，化归思想，类比思想的渗透，它也与高中最优方案、线性规划等内容有很好的衔接。 3.新课标中倡导“人人学有用的数学”，运用所学的知识解决实际问题，体现了数学的应用性。,谢谢,说题者：伍文娟,