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1、30数学通报2005年第44卷第11期离心率相等的圆锥曲线都相似梁义富(重庆市梁平中学405200)我们通常见到的多边形，经过相似变换放大或缩小后，看起来与原来的图形除大小不同之外，没有其它区别，但是，曲线图形或曲面经过相似变换放缩后，往往看起来形状发生了变化这在日常生活中经常见到，如有的人的照片看起来比人更加漂亮，因此，曲线与曲面的相似问题显得较为复杂下面探究圆锥曲线的相似问题文1对位似图形是这样定义的：图形F与，的点一一对应，且有以下关系：(1)连接每双对应点的直线都通过同一点S；(2)每双对应点或同在|s的同侧，或同在s的异侧；(3)如果点A和点B是F上的任意两个点，它们在P上的对应点分
2、别为A和曰且SA：SA=SB：SB=k(k为常数)则说F与F是位似图形，其中Js叫做位似中心(也叫相似中心)，k叫做位似系数(也叫相似系数)根据这一定义，可得以下的定理：定理1焦点在戈轴上的椭圆气+二：l与alD1丢+嚣=l(al,a2，6l，62o且al。2)的离心率相等，则在同一坐标系下，这两个椭圆是位似图形，且位似中心为坐标原点(圆可以看作离心率为0的特殊椭圆)定理2双曲线1弄一u1萍1与u，丢一t，蕾=l(a1，a2，bl，620且ala2)的离心率相等，则在同一坐标系下，此二双曲线是位似图形，且位似中心为坐标原点定理1与定理2的证明方法完全类似，下面只证明定理2证明设二双曲线的离心率
3、都为e，半焦距分别为c1和c2，因为鱼alC12-一_a12：，fe2-1，垒：2：。瓜，62a2所以鱼：垒，ala2所以二双曲线共渐近线小妨殳ala2(如J-刚，在双曲线筹一上b12=1上任取一点A，连接 N OA并延长交双曲线2；纱 N-a2。一丢=1于曰图1设直线OA的方程为y：(一鱼后p。o)是位似图形，且公共焦点F(等，o)是它们的位似中心南2p】+2p22Jp2v厂研证明如图2，抛物稚2瓦r一线Y2=2p1戈的准线为J k7纱ll：x：一百Pl，抛物线y2：一么l2p2(z+学)(p21C矿、 0P10)的准线为，12：茗：iPlp2，顶点为(盟卫，o)二抛物图2线的公共焦点为，(
4、粤，o)过F任作射线麟(胀的方向不与菇轴的正方向一致)，因为抛物线没有渐近线，所以射线麟必定与两条抛物线相交，设交点分别为A，B，直线雕的方程为y=矗(蔸一百P1)(1)当k0时，联立y=后(ziPl)与)，2= 2plz解得A点的横坐标k2+2+21-I-k22赢rpl或。，2k2+22v甄r压p1萨同理解得曰点的横坐标X,B：监些焉趔或=i忑戮k2p1+2p22p21+k2当戈。：互三j二2k2-2-二笋p。时，k2p1+2p2+2p21+七2铀2瓦F，有lFAl：IACl：茗A一(一粤)：1+k2+V厂再留万一pl，同理有湍=爱；(2)当k=0时，A与坐标原点重合，B与抛物线)，2：2p
5、2(戈+学)的顶点重合，有l融I旦2PlFB IPlP1一P2一P222(3)当k不存在时，：戈盘：iPl，有I砑Ip2l一、(一一7P12)PlI例一等一百(一导L百一一p：p2)一pz综上所述，抛物线Y2=2pl石与Y2=2p2(戈+学) (p2Plo)是位似图形，且公共焦点F(等，0)是它们的位似中心由前面三个定理很快得到以下定理：定理4离心率相等的圆锥曲线都是相似图形在解决了圆锥曲线的相似问题之后，我们可以把离心率相等的圆锥曲线归为同一类，对于离心率相等的椭圆，可以认为它们的扁圆程度相同；对于离心率相等的双曲线，可以认为它们的开阔程度相同；xt-于所有的抛物线，由于离心率都等于1，它们都相似，可以认为它们的开口大小是相同的这样，我们更深刻地认识了圆锥曲线的本质参考文献1张奠宙，奚定华，李大元，唐盛昌，袁小明中学教学全书数学卷一上二海：上海教育出版社，1996203 2吴长江，梁开华，郝晓刚高中数学拓展性研究性学习丛持高巾数学综合性问题强化思想结构技巧上海-卜海大学出版社，2002330332万方数据