2011春第五章劳斯稳定性判据.pdf

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1、自动控制理论自动控制理论 浙江大学控制科学与工程学系 周立芳周立芳周立芳周立芳 徐正国徐正国徐正国徐正国 第五章第五章第五章第五章 控制系统特性控制系统特性控制系统特性控制系统特性 1 ? 输入变量、输出变量输入变量、输出变量 ? 方程的阶方程的阶独立储能元件独立储能元件 ? 输入输出模型及其一般形式输入输出模型及其一般形式 微分方程微分方程 传递函数传递函数 方块图方块图 ? 状态空间模型状态空间模型 ? 线性化线性化 第二章回顾第二章回顾第二章回顾第二章回顾 2 第二章 列写系统方第二章 列写系统方 第三章回顾第三章回顾第三章回顾第三章回顾 ? 稳态响应稳态响应 ? 暂态响应暂态响应 ?

2、系统暂态（动态）系统暂态（动态） ? 时间响应性能指标时间响应性能指标 ? 状态方程的全解状态方程的全解 3 第三章 微分方程的第三章 微分方程的 4 第第第第四四四四章回顾章回顾章回顾章回顾 ? 系统整体传递函数系统整体传递函数 ? 仿真图仿真图 ? 信号流图信号流图 ? 从传递函数到状态空间模型的转换从传递函数到状态空间模型的转换 第四章 系统表示方第四章 系统表示方 5 第五章关键词第五章关键词第五章关键词第五章关键词 ? 系统稳定性系统稳定性 ? 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ? 相对稳定性相对稳定性 ? 系统型别系统型别 ? 稳态误差稳态误差 ? 稳态误差系数稳态误差系数 6 第五章

3、要点第五章要点 ? 引言引言 ? 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ? 数学量与物理量数学量与物理量 ? 反馈系统型别反馈系统型别 ? 稳态误差系数稳态误差系数 ? 稳态误差系数的应用稳态误差系数的应用 ? 非单位反馈系统非单位反馈系统 ? 小结小结 控制科学与工程学系控制科学与工程学系 引引 言言 ?引言引言 ?系统稳定性系统稳定性 8 ? 开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为 反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。 开环及闭环传递函数具有某些基本性质，这些性质为 反馈控制系统的暂态及稳态分析提供了帮助。 ? 衡量反馈控制系统性能的五个重要指标衡量反馈控制系统性能的五个重要指标 ?

4、稳定性稳定性 ? 稳态误差的存在性及量级稳态误差的存在性及量级 ? 可控性可控性 ? 可观性可观性 ? 参数灵敏性参数灵敏性 引言引言 引言引言 基于状态空间模型基于状态空间模型 取决于系统的特征方程， 有多种分析方法。 取决于系统的特征方程， 有多种分析方法。 9 ? 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据为判别系统稳定性提供了途径，并且 不需要直接计算系统特征方程的根。 为判别系统稳定性提供了途径，并且 不需要直接计算系统特征方程的根。 ? 稳态误差稳态误差可以根据可以根据单位反馈系统单位反馈系统（或等价的单位反馈 系统）的 （或等价的单位反馈 系统）的开环传递函数开环传递函数获得，其作为一种性能指

5、标， 为系统分类提供了依据。 获得，其作为一种性能指标， 为系统分类提供了依据。 引言引言 引言引言 10 ? 我们将介绍一种评价系统稳定性的有力工具我们将介绍一种评价系统稳定性的有力工具劳斯劳斯-赫尔维茨方法赫尔维茨方法， 该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复 平面 ， 该方法能够使我们在不计算特征方程根的确切值的情况下，推断位于复 平面右半平面右半平面的特征根个数 。的特征根个数 。 ? 这样，我们可以在不增加计算量的前提下推断特征根的位置，并分析 系统的稳定性；同时，该方法还为我们提供了保证闭环系统稳定性的系 统参数 这样，我们可以在不增加计算量的前提下推断特征

6、根的位置，并分析 系统的稳定性；同时，该方法还为我们提供了保证闭环系统稳定性的系 统参数设计方法设计方法。 ? 对于稳定系统，我们还将引入对于稳定系统，我们还将引入相对稳定相对稳定的概念，这个概念同系统的稳 定程度有关，而 的概念，这个概念同系统的稳 定程度有关，而稳定程度稳定程度同特征根与虚轴之间的距离有关。同特征根与虚轴之间的距离有关。 引言引言 引言引言 11 稳定性概念稳定性概念 反馈系统稳定的一个反馈系统稳定的一个充分必 要 充分必 要条件是，系统传递函数的所 有极点均具有负实部。 条件是，系统传递函数的所 有极点均具有负实部。 引言引言 我们可以利用放置在水平面 上的圆锥体的运动来

7、理解稳定 性的概念。 我们可以利用放置在水平面 上的圆锥体的运动来理解稳定 性的概念。 稳不稳临界稳稳不稳临界稳 12 下面是关于稳定系统、不稳定系统和临界稳定系统的实 例。 下面是关于稳定系统、不稳定系统和临界稳定系统的实 例。 不稳定稳定临界稳定不稳定稳定临界稳定 引言引言 稳定性概念稳定性概念 13 ? 稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的 要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改 变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰 动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时 间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能

8、恢复原来的 平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系 统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。 稳定性是控制系统最重要的问题，也是对系统最起码的 要求。控制系统在实际运行中，总会受到外界和内部一 些因素的扰动，例如负载或能源的波动、环境条件的改 变、系统参数的变化等。如果系统不稳定，当它受到扰 动时，系统中各物理量就会偏离其平衡工作点，并随时 间推移而发散，即使扰动消失了，也不可能恢复原来的 平衡状态。因此，如何分析系统的稳定性并提出保证系 统稳定的措施，是控制理论的基本任务之一。 引言引言 稳定性概念稳定性概念 14 引言引言 15 ?令特征多项式（闭环传递函数的令特征多项式（闭环传

9、递函数的分母分母）等于零，计算系统的极点）等于零，计算系统的极点 ?不直接计算系统极点不直接计算系统极点 劳斯劳斯-赫尔维茨判据赫尔维茨判据 根轨迹根轨迹 奈奎斯特判据奈奎斯特判据 ?对于一般的非线性系统（线性系统为非线性系统的特例），我们可 以利用 对于一般的非线性系统（线性系统为非线性系统的特例），我们可 以利用李亚普诺夫稳定性理论李亚普诺夫稳定性理论来判别系统的稳定性来判别系统的稳定性 ?我们将开始研究线性系统稳定性分析问题我们将开始研究线性系统稳定性分析问题劳斯劳斯-赫尔维茨判据赫尔维茨判据 引言引言 根据系统开环传递函数根据系统开环传递函数 根据系统特征方程根据系统特征方程 稳定性判

10、别方法稳定性判别方法 16 1. 劳斯劳斯赫尔维茨（赫尔维茨（RouthHurwitz）判据 判据 是一种代数判据方 法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在 是一种代数判据方 法。它是根据系统特征方程式来判断特征根在S平面的位置，从 而决定系统的稳定性 平面的位置，从 而决定系统的稳定性. 2. 根轨迹法 根轨迹法 是一种图解求特征根的方法。根据系统开环传递函数 以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在 是一种图解求特征根的方法。根据系统开环传递函数 以某一（或某些）参数为变量作出闭环系统的特征根在S平面的 轨迹，从而全面了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 平面的 轨迹，从而全面

11、了解闭环系统特征根随该参数的变化情况。 3. 奈魁斯特（奈魁斯特（Nyquist）判据 是一种在复变函数理论基础上建立起 来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性， 同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上得到 了比较广泛的应用。 判据 是一种在复变函数理论基础上建立起 来的方法。它根据系统的开环频率特性确定闭环系统的稳定性， 同样避免了求解闭环系统特征根的困难。这一方法在工程上得到 了比较广泛的应用。 4. 李雅普诺夫方法 李雅普诺夫方法 上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺 夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系统。该方法是根 据李雅普诺夫函数的特征来决

12、定系统的稳定性。 上述几种方法主要适用于线性系统，而李雅普诺 夫方法不仅适用于线性系统，更适用于非线性系统。该方法是根 据李雅普诺夫函数的特征来决定系统的稳定性。 稳定性判别方法稳定性判别方法 引言引言 17 第五章要点第五章要点 ? 引言引言 ? 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ? 数学量与物理量数学量与物理量 ? 反馈系统型别反馈系统型别 ? 稳态误差系数稳态误差系数 ? 稳态误差系数的应用稳态误差系数的应用 ? 非单位反馈系统非单位反馈系统 ? 小结小结 控制科学与工程学系控制科学与工程学系 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ?劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ?例子例子 ?劳斯判据的应用劳斯判据

13、的应用 ?相对稳定性相对稳定性 19 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 )( )( )( )( 1)( )( )( s sP sQ sP GH G sR sY sGclosed = + = 01 1 1 )()(bsbsbsbssQ n n n n += ?其中，其中， ?如果写成因式相乘形式，我们可以得到（为 系统特征根）， 如果写成因式相乘形式，我们可以得到（为 系统特征根）， 特征多项式特征多项式 ?考虑考虑 n 阶系统的阶系统的闭环传递函数闭环传递函数 R G y + H - ?为了计算系统闭环传递函数的极点，我们需要求解如下方程：为了计算系统闭环传递函数的极点，我们需要求解如下方程： 0

14、)()( 01 1 1 =+= bsbsbsbssQ n n n n ? ()0) 1()()( 21 3 421321 2 3221 1 1 =+ n nnnn n n n ssssb? ?将因式相乘后展开，可以得到将因式相乘后展开，可以得到 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ( ) s 12 ( )()()()0 nn sb sss=? ,1, i in= ? 20 ?也就是说，对于也就是说，对于 n 阶方程，我们可以得到阶方程，我们可以得到 () 1 2 3 ( ) ( 1)n nn nn n n n n n n sb sb s b s b s b =+ + + 所有特征根 所有两个特征根的

15、乘积 所有三个特征根的乘积 所有 个特征根的乘积 ?如果所有特征根均位于如果所有特征根均位于 S 平面的左半平面，则需要满足：平面的左半平面，则需要满足： 特征多项式的所有系数均有特征多项式的所有系数均有相同的符号相同的符号 所有系数均为非零常数（所有系数均为非零常数（ b0 除外除外） ?这些条件是系统稳定的这些条件是系统稳定的必要必要但但非充分非充分条件条件 ?例：例： 2 32 50 280 s sss += += 不稳定，不满足第二个条件； 不能判断，上述两个条件均满足。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 21 ?劳斯判据给出了判定系统稳定性的劳斯判据给出了判

16、定系统稳定性的充分必要充分必要条件，我们介绍应用劳斯 判据判定系统稳定性的过程。 条件，我们介绍应用劳斯 判据判定系统稳定性的过程。 ?步骤步骤 2: 计算并完成计算并完成劳斯阵列劳斯阵列 ? ? 7531 642 1 nnnn nnnn n n bbbb bbbb s s 1 1 21 321 531 42 0 1 3 2 1 k j dd ccc bbb bbb s s s s s s nnn nnn n n n n ? ? ? ? ? ? ? 71 6 1 3 51 4 1 2 31 2 11 321 1 1 1 1 = = = = nn nn n nn nn n nn nn nn nn

17、nn bb bb b c bb bb b c bb bb bb bbbb c 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 ?步骤步骤1:将系统特征多项式的系数将系统特征多项式的系数排列排列成如下阵列：成如下阵列： 01 1 1 )(bsbsbsbs n n n n += ? 连续运算，直到余下 的 连续运算，直到余下 的C 式都为零。式都为零。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 22 因此，对于稳定系统来说，劳斯阵列的第一列元素必须因此，对于稳定系统来说，劳斯阵列的第一列元素必须没有符号变 化 没有符号变 化，这是系统稳定的，这是系统稳定的充分必要充分必要条件。条件。 步骤步骤3: 特征方程根中，具有正实部的根

18、的特征方程根中，具有正实部的根的个数个数，等于劳斯阵 列中第一列元素符号变化的 ，等于劳斯阵 列中第一列元素符号变化的次数次数。 ? 41 71 1 3 31 51 1 2 21 31 11 2131 1 1 1 1 cc bb c d cc bb c d cc bb cc cbbc d nn nn nn nn = = = = 连续运算，直到所有的连续运算，直到所有的d 式都计算完成， 余下的各行都按照类似的方法计算，直到 式都计算完成， 余下的各行都按照类似的方法计算，直到 s0 行。行。 注意：劳斯阵列注意：劳斯阵列中，中，s1 和和s0 行都只包 含一项。 行都只包 含一项。 劳斯稳定性

19、判据劳斯稳定性判据 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 23 1 1 21 321 531 42 0 1 3 2 1 k j dd ccc bbb bbb s s s s s s nnn nnn n n n n ? ? ? ? ? 劳斯阵列劳斯阵列 ?劳斯判据劳斯判据指出，具有正实部的系统特 征根的个数等于劳斯阵列首列元素符 号变化的次数 指出，具有正实部的系统特 征根的个数等于劳斯阵列首列元素符 号变化的次数 + - + 首次符号变化首次符号变化 第二次符号变化第二次符号变化 ?右边的例子中，系统具有右边的例子中，系统具有2 个实部为 正数的特征根。 个实部为 正数的特征根。 特征特征多项式 多项

20、式 Q(s) 01 1 1 )(bsbsbsbs n n n n += ? ? 71 6 1 3 51 4 1 2 31 2 11 321 1 1 1 1 = = = = nn nn n nn nn n nn nn nn nnnn bb bb b c bb bb b c bb bb bb bbbb c 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 24 240 6 . 122 240 6 . 70 8862 240721 152101 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 劳斯阵列劳斯阵列 + - + 首次符号变化首次符号变化 第二次符号变化第二次符号变化 ?在首列中，

21、发生了在首列中，发生了2 次符号变化次符号变化，因此有，因此有 2 个个特征根位于特征根位于S 平面的右半平面，系统 不稳定。 平面的右半平面，系统 不稳定。 0 1 88 2401 1521 1 62 721 101 1 1 71 6 1 3 51 4 1 2 1 321 1 = = = = = nn nn n nn nn n n nnnn bb bb b c bb bb b c b bbbb c 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 2401527210)( 2345 +=ssssssQ 例例1 ?事实上，系统特征根为：事实上，系统特征根为： 42 31 3 5,4 3,2 1 js js s +

22、= = = 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 25 ?在应用劳斯判据判定系统稳定性时，可以会遇到在应用劳斯判据判定系统稳定性时，可以会遇到 3 种情况：种情况： (1) 首列无零元素首列无零元素 (2) 首列有零元素，但在零元素所在的行中具有非 零的其他元素 首列有零元素，但在零元素所在的行中具有非 零的其他元素 (3) 劳斯阵列的某一行元素均为零劳斯阵列的某一行元素均为零 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 26 情况 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素 例例2 ：二阶系统二阶系统 二阶系统的特征多项式为：二

23、阶系统的特征多项式为： 01 2 2 )(asasas+= 0 0 1 1 02 0 1 2 c a aa s s s 劳斯阵列为： 其中， 劳斯阵列为： 其中， 0 1 02 11 201 1 0 1)0( a a aa aa aaa c= = = 结论：结论：二阶系统二阶系统稳定的稳定的充分必要条件充分必要条件是，特征多项式的所有系数都具 有相同的符号。 是，特征多项式的所有系数都具 有相同的符号。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 27 例例3：三阶系统三阶系统 三阶系统的特征多项式为：三阶系统的特征多项式为： 01 2 2 3 3 )(asasasas+= 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 0 0

24、 1 1 02 13 0 1 2 3 d c aa aa s s s s 其中，其中， 0 1 02 1 1 2 3012 02 13 2 1 0 1 , 1 a c aa c d a aaaa aa aa a c = = = = 结论：结论：三阶系统三阶系统稳定的充分必要条件是，特征多项式稳定的充分必要条件是，特征多项式所有系数均 为正数，且有 所有系数均 为正数，且有 0 3012 aaaa 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 情况 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素 28 例例4：不稳定的三阶系统不稳定的三阶系统 劳斯阵列首列元素

25、符号变化劳斯阵列首列元素符号变化2 次，表示系统有次，表示系统有2 个特征根位于个特征根位于S 平面 的右半平面，这是一个不稳定系统。 平面 的右半平面，这是一个不稳定系统。 如果一个三阶系统具有特征根 ，则系统显然是 不稳定的（具有 如果一个三阶系统具有特征根 ，则系统显然是 不稳定的（具有2 个不稳定的极点）。个不稳定的极点）。 系统特征多项式为：系统特征多项式为： 242) 3)(82() 3)(71)(71()( 232 +=+=+=sssssssjsjss 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 024 022 241 21 0 1 2 3 s s s s + + - 02212421 3012

26、当系统稳定。 定理定理1：劳斯阵列的任意一行元素可以同时乘以或除以一个正数，而 不会改变首列元素的符号。 ：劳斯阵列的任意一行元素可以同时乘以或除以一个正数，而 不会改变首列元素的符号。 042 3012 =Kaaaa 对于三阶系统，如果系统 稳定，则要满足： 对于三阶系统，如果系统 稳定，则要满足： 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 情况 情况 1：劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素 32 ( )24ssssK=+ 30 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 例例6： 判定如下系统是否稳定，系统特征多项式为：判定如下系统是否稳定，系统特征多项式为： 20

27、125923)( 23456 +=sssssssQ 定理定理1：劳斯阵列的任意 一行元素可以同时乘以或 除以一个正数，而不会改 变首列元素的符号。 ：劳斯阵列的任意 一行元素可以同时乘以或 除以一个正数，而不会改 变首列元素的符号。 ?首列元素符号首列元素符号变化变化2 次次，有，有2 个特征根个特征根位于位于S 平面的右半平面，平面的右半平面，系 统不稳定。 系 统不稳定。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 20 20 6 24 201 43 22 7 1 4 1 1 1293 20521 0 1 2 3 4 5 6 s s s s s s s 7乘 以 3除 以 4除 以 情况 情况 1：劳斯

28、阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素劳斯阵列第一列无零元素 31 方法方法1：将将s=1/x 代入原方程。代入原方程。 符号变化了符号变化了2 次，系统不稳定，且有 次，系统不稳定，且有 2 个极点位于个极点位于S 平面的右半平面。平面的右半平面。 注意：注意：在在Q(s) 和和Q(x) 的系数相同的情况下，该方法的系数相同的情况下，该方法无效无效。 如果首列具有零元素，可以采用两种方法进行处理。如果首列具有零元素，可以采用两种方法进行处理。 令令s=1/x，并重新整理特征多 项式 ，并重新整理特征多 项式 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 50 21 521 2 3 4 s

29、 s s 522)( 234 +=sssssQ例例7： 1225)( 234 +=xxxxxQ 4 3 2 521 21 12 5 x x x x 新的劳斯阵列为：新的劳斯阵列为： 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 情况 情况 2：劳斯阵列第一列有零元素劳斯阵列第一列有零元素劳斯阵列第一列有零元素劳斯阵列第一列有零元素 32 方法方法2：将原特征多项式乘以因式将原特征多项式乘以因式(s+1) 结果同方法结果同方法1 的结果一致。的结果一致。 符号变化了符号变化了2 次，系统不稳定，且有次，系统不稳定，且有2 个 极点位于 个 极点位于S 平面的右半平面。平面的右半平面。 如果首列具有零元素，可以采

30、用两种方法进行处理。 乘以 如果首列具有零元素，可以采用两种方法进行处理。 乘以(s+1)，并重新整理特征 多项式 ，并重新整理特征 多项式 522)( 234 +=sssssQ例例8： 57432)( 2345 +=ssssssQ 新的劳斯阵列为：新的劳斯阵列为： 10 11 1010 92 542 731 0 1 2 3 4 5 s s s s s s 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 50 21 521 2 3 4 s s s 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 情况 情况 2：劳斯阵列第一列有零元素劳斯阵列第一列有零元素劳斯阵列第一列有零元素劳斯阵列第一列有零元素 33 情况 情况 3：劳斯阵列有全

31、零行劳斯阵列有全零行劳斯阵列有全零行劳斯阵列有全零行 ?如果劳斯阵列具有全零行，则系统特征方程具有对称于原点的实根 或复根，且具有如下形式： 如果劳斯阵列具有全零行，则系统特征方程具有对称于原点的实根 或复根，且具有如下形式： )2)(2(),)(),)(, 22222 nnnn ssssjsjssss+ ?如果劳斯阵列的第如果劳斯阵列的第i 行元素全为零，我们将根据该行的行元素全为零，我们将根据该行的上一非零行上一非零行构 造如下的辅助多项式 构 造如下的辅助多项式 ?+= +3 3 1 2 1 1 )( iii ssssU ?其中，是其中，是上一非零行上一非零行的系数，辅助多项式的的系数，

32、辅助多项式的阶次阶次为对称特征根的 个数。 为对称特征根的 个数。 i ?然后，将原劳斯阵列表中第然后，将原劳斯阵列表中第i 行元素替换为辅助多项式关于行元素替换为辅助多项式关于s的导函 数的系数，并继续完成劳斯阵列表，以获得关于除对称特征根外的其它 特征根的信息。 的导函 数的系数，并继续完成劳斯阵列表，以获得关于除对称特征根外的其它 特征根的信息。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 34 返回返回例例5，并令，并令K=8，得到相应的劳斯阵列。，得到相应的劳斯阵列。 842)( 23 +=ssss 例例9： 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 0 0 2 8 2 41 0 1 2 3 K K K s s

33、s s 08 00 82 41 0 1 2 3 s s s s K=8 ()2)(2(242822)( 2202 jsjsssKsssU+=+=+=+= 08 04 82 41 0 1 2 3 s s s s 除位于虚轴上的极点对（除位于虚轴上的极点对（s= 2j） 外，其余极点均位于 ） 外，其余极点均位于S 平面的右半 平面。 平面的右半 平面。 s ds dU 4= 利用上一非零行构造辅助多 项式，并继续完成劳斯阵列。 利用上一非零行构造辅助多 项式，并继续完成劳斯阵列。 U(s) 的根也是 的根。的根也是 的根。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 情况 情况 3：劳斯阵列有全零行劳斯阵列有

34、全零行劳斯阵列有全零行劳斯阵列有全零行 ( ) s 35 判定如下系统的稳定性，系统特征方程为：判定如下系统的稳定性，系统特征方程为： 01818112)( 234 =+=sssssQ 例例10： 劳斯阵列首列元素符号无变化，因此没有 具有正实部的特征根，但是虚轴上有一对 极点（ 劳斯阵列首列元素符号无变化，因此没有 具有正实部的特征根，但是虚轴上有一对 极点（s= 3j）。 辅助方程为： 劳斯阵列为： ）。 辅助方程为： 劳斯阵列为： 0 91 182 91 182 18111 1 2 3 4 s s s s 0)3)(3(9)( 02 =+=+=jsjssssU 18 2 91 0 1 2

35、 s s s s ds dU 2= 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 情况 情况 3：劳斯阵列有全零行劳斯阵列有全零行劳斯阵列有全零行劳斯阵列有全零行 36 例子例子 432 ssss+=6121160 利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。 例例11：已知系统特征方程为：已知系统特征方程为： 解：解：特征多项式的所有系数均为非零正数，满足系统稳定的特征多项式的所有系数均为非零正数，满足系统稳定的必要条件必要条件。 劳斯阵列为： 。 劳斯阵列为： 6 061/455 66/61 0116 6121 0 1 2 3 4 s s s s s 首列所有元素均为正 数

36、，系统 首列所有元素均为正 数，系统稳定稳定。 事实上，系统特征方程可 以因式化为： 事实上，系统特征方程可 以因式化为： (s+2) (s+3) (s2 +s+1) = 0 所有的根都具有负实部， 因此系统 所有的根都具有负实部， 因此系统稳定稳定。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 37 解：解：特征多项式的所有系数均为非零正数，满足系统稳定的特征多项式的所有系数均为非零正数，满足系统稳定的必要条件必要条件。 利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。 。 利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。 例例12：已知系统特征方程为：已知系统特征方程为： 5432 0sssss+=3256 5 4 3 2

37、 1 0 125 316 59(3) 1115(5/2) 1740(11) 150 s s s s s s 乘以 后 乘以后 乘以后 首列符号变化了首列符号变化了2 次： 次： (5-11174)，因此系统 是不稳定的，有 ，因此系统 是不稳定的，有2 个具有 正实部的根。 个具有 正实部的根。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 例子例子 劳斯阵列为：劳斯阵列为： 38 利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。利用劳斯稳定性判据判别该系统的稳定性。 例例13：已知系统特征方程为：已知系统特征方程为： 32 sss+=10161600 0160 00 16010 161 0 1 2 3 s s s s

38、 辅助多项式辅助多项式 s ds dU ssU 20 16010)( 1 2 1 = += 解：解：对于三阶系统对于三阶系统 011601610 3012 =aaaa系统系统不稳定不稳定 有一对虚根有一对虚根 S1,2 =j4 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 震荡频率震荡频率 n 例子例子 39 系统中的系统中的K 值可调值可调，我们需要知道使系统稳定的，我们需要知道使系统稳定的K 值变化范围。值变化范围。 劳斯判据的应用劳斯判据的应用 例例14：设计例子设计例子 ?考虑具有如下闭环传递函数的四阶系统：考虑具有如下闭环传递函数的四阶系统： R G y + H - )2()52)(5( )2( )

39、( )( )( )( )( 2 + + = sKssss sK sQ sP sR sY sGclosed 02)25(157) 2() 52)(5()( 2342 =+=+=KsKssssKsssssQ K K KKK KK K K s s s s s 14 0 )80( 98)25)(80( 1480 0257 2151 0 2 3 4 + + K0 0200043 2 +KK 1 .71 , 1 .28KK 0K28.1 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 40 ?应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的应用劳斯判据不仅可以判别系统是否稳定，即系统的绝对稳定性绝对稳定性，而 且也可检验系统

40、是否有一定的稳定裕量，即 ，而 且也可检验系统是否有一定的稳定裕量，即相对稳定性相对稳定性。另外劳斯判据 还可用来分析系统参数对稳定性的影响。 。另外劳斯判据 还可用来分析系统参数对稳定性的影响。 1. 稳定裕量的检验1. 稳定裕量的检验 如右图所示，令如右图所示，令s = z - 1， 即把虚轴 左移 即把虚轴 左移1。将上式代入系统的特征方程 式，得到以z为变量的新特征方程 式，然后再检验新特征方程式有几个 根位于新虚轴(垂直线s=- 。将上式代入系统的特征方程 式，得到以z为变量的新特征方程 式，然后再检验新特征方程式有几个 根位于新虚轴(垂直线s=-1)的右边。 如果所有根均在新虚轴的

41、左边（新劳 斯阵列式第一列均为正数），则说系 统具有 )的右边。 如果所有根均在新虚轴的左边（新劳 斯阵列式第一列均为正数），则说系 统具有稳定裕量稳定裕量1。 稳定裕量稳定裕量 1 1示意图示意图 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 劳斯判据的应用劳斯判据的应用（补充）（补充） 41 ?例例15：检验特征方程式检验特征方程式 32 0sss+ =210134 是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线 是否有根在右半平面，并检验有几个根在直线 s = -s = -的右边。的右边。 解：解：劳斯阵列表为劳斯阵列表为 04 02 .12 410 132 0 1 2 3 s s s s 第一列无符号改变，

42、故没有根在S平面右半平 面。再令s= z-1，代入原特征方程式，得 第一列无符号改变，故没有根在S平面右半平 面。再令s= z-1，代入原特征方程式，得 32 (1)(1)(1)40zzz+=21013 32 410zzz+ =2 新的劳斯阵列表为新的劳斯阵列表为 01 05 . 0 14 12 0 1 2 3 s s s s从表中可看出，第一列符号 改变一次，故有一个根在直 线s= -1（即新座标虚轴）的 右边，因此稳定裕量不到1。 从表中可看出，第一列符号 改变一次，故有一个根在直 线s= -1（即新座标虚轴）的 右边，因此稳定裕量不到1。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 劳斯判据的应用劳斯

43、判据的应用（补充）（补充） 42 相对稳定性相对稳定性 线性系统的稳定性由系统所有极点都位于线性系统的稳定性由系统所有极点都位于S 平面左半平面来表征；系 统的 平面左半平面来表征；系 统的稳定程度稳定程度则可以由极点位于虚轴左边，并与虚轴距离的远近来表征。则可以由极点位于虚轴左边，并与虚轴距离的远近来表征。 为了应用劳斯为了应用劳斯-赫尔维茨判据来推断系统的相对稳定性，我们只需要进 行变量代换，从而将虚轴左移，然后利用劳斯判据进行分析即可。 赫尔维茨判据来推断系统的相对稳定性，我们只需要进 行变量代换，从而将虚轴左移，然后利用劳斯判据进行分析即可。 例例16：考虑特征多项式考虑特征多项式 4

44、64)( 23 +=ssss 变量代换 可以得到变量代换 可以得到 3232 ( )(1)4(1)6(1)41zzzzzzz=+=+ 01111 3012 =aaaa 有有2 个特征根位于移动后的虚 轴上。 个特征根位于移动后的虚 轴上。 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 1zs=+ 43 j s 0 Re -1 相应的劳斯阵列（情 况 相应的劳斯阵列（情 况3）为：）为： 01 00 11 11 0 1 2 3 z z z z 有有1 个特征根位于移动后的虚轴左边，有个特征根位于移动后的虚轴左边，有2 个特征根位于移动后 的虚轴上（这两个特征根可以根据相应的辅助多项式获得）。 个特征根位于移动后

45、 的虚轴上（这两个特征根可以根据相应的辅助多项式获得）。 )1)(1()(1)( 2 jsjsjzjzzzU+=+=+= 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 j 0 z=s+1 相对稳定性相对稳定性 44 解：解：系统的特征方程式为系统的特征方程式为 32 0sssK+=65 所以所以K的取值范围为：的取值范围为：0 K 0， ， 30 - K 0 或由或由3阶系统阶系统 0 3012 aaaa 劳斯判据的应用劳斯判据的应用（补充）（补充） 45 所以使系统稳定的所以使系统稳定的T的取值范围为：的取值范围为：25 0; T 5 10250 0;25 5 T T T T 0 46 劳斯稳定性判据劳斯稳

46、定性判据 例例 19：设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定： 系统产生等幅振荡的 设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定： 系统产生等幅振荡的K值及相应的振荡角频率。 全体闭环极点位于 值及相应的振荡角频率。 全体闭环极点位于s2 垂直线左侧时的垂直线左侧时的K 取值范围。取值范围。 )177( )( 2 0 + = sss K sG 解解: 1) 闭环特征方程闭环特征方程(s)= s37s217sK 劳斯行列式：劳斯行列式： s3 1 17 s2 7 K s1 ? s0 K 等幅振荡等幅振荡: S1行全行全0. K119= 0 , K = 119 振荡频率振荡频率: 辅助多项式辅助多项式

47、7s2 + K = 0 n =? 17;177/119 2 , 1 = n jjs 0 3012 aaaa或由或由3阶系统阶系统 0177K 0177=K 相对稳定性相对稳定性 47 劳斯稳定性判据劳斯稳定性判据 例例 19：设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定： 系统产生等幅振荡的 设单位反馈系统的开环传递函数为 试确定： 系统产生等幅振荡的K值及相应的振荡角频率。 全体闭环极点位于 值及相应的振荡角频率。 全体闭环极点位于s2 垂直线左侧时的垂直线左侧时的K 取值范围。取值范围。 )177( )( 2 0 + = sss K sG 解解: 2) 令令 s = z 2 则则(z)= (z

48、-2)3+ 7(z -2)2 + 17(z2)+ K = z3+ z2+ z+ K 14 新的劳斯行列式新的劳斯行列式: z3 1 1 z2 1 K-14 z1 -K+15 0 z0 -14+K -K+15 0 和和 -14+K 0 14 K 15 若取若取14 K aaaa 由由3阶系统阶系统 0)14(1K 或由必要条件或由必要条件 14K 相对稳定性相对稳定性 48 状态空间模型的稳定性状态空间模型的稳定性 ?我们已经学习了控制系统的稳定性判据，该判据对于由我们已经学习了控制系统的稳定性判据，该判据对于由状态空间模 型 状态空间模 型描述的系统是否适用？描述的系统是否适用？ ?仍然适用。仍然适用。这是由于不管系统由何种模型描述，其特征方程是不变 的。 这是由于不管系统由何种模型描述，其特征方程是不变 的。 )()()(tttBuAxx+=?状态方程： 其特征方程为： 状态方