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1、+ 五年级 第 8 讲 完全平方数 （A 版） 1 完完完全全全平平平方方方数数数 8 8 8 (1)写出 2 1、 2 2 、 2 3、 2 20的得数.观察这些得数的 个位，并总结一下完全平方数个位有什么规律? n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 n n 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2 n (2)根据刚才发现的规律，判断 20737 是平方数吗?为什 么? (3)进一步判断，1000 是平方数吗?1004000 呢?为什么? 必记平方数 【解解析析】 (1)前十个略，1120 的平方如下表： n 11 12 13 14 15 16 17 18
2、19 20 2 n 121 144 169 196 225 256 289 324 361 400 - 例例1 了解勾股定理历史，定义 了解勾股定理和弦图的证明 利用平方差公式和勾股定理解决 五年级 第 8 讲 完全平方数 （A 版） 2 从结果可以看出平方数的个位只有 0、1、4、5、6、9 这六种可能，且在排序时是按 1、4、9、6、5、6、9、4、 1、0 为一周期来排列的. (2)平方数的末位只可能是 0、1、4、5、6、9，不可能是 7，故 20737 不可能是平方数； (3)整十数的平方是整百数，末尾 2 个 0；整百数的平方 是整万数，末尾 4 个 0；整千数的平方末尾 6 个
3、0； 末尾只有3个0时， 说明其乘法分拆中存在10 10 10 ， 无法凑成两个相同数的乘积. 故知 1000、1004000 都不 是完全平方数. (1)1000 更接近_的平方. (2)非零自然数的平方按大小排成14916253649， 则第 92 个位置的数字是_. 必记平方数 【解解析析】 (1)考察估算. 2 30900 ， 2 31961 ， 2 321024 ， 因此 1000 更接近 32 的平方 (2)1 3的平方是一位数，占去 3 个位置； 4 9的平方是两位数，占去 12 个位置； 10 31的平方是三位数，占去 66 个位置； 将 1 到 31 的平方排成一行，就占去
4、81 个位置，从 92 - 例例2 五年级 第 8 讲 完全平方数 （A 版） 3 减去 81，还有 11 个位置 从32到99的平方都是四位数， 共占去272个位置.因此， 第 11 个位置一定是其中某个数的平方中的一个数字 因 为11 2 43 ，因此它是 34 的平方的第三个数字. 2 341156 ，因此数字为 5. (1)从 2 到 2501 之间存在哪些数的平方? (2)1764 是谁的平方? 必记平方数 【解解析析】 (1) 2 21 1 ， 2 2501250050 ，所以这些数是 2，3，50； (2) 2 1764160040， 2 1764202545，故知答案 在 40
5、 至 45 之间； 又其末位为 4， 故知只能是 42 的平方. 28 乘一个非零自然数 a，或者除以一个非零自然数b， 结果都是一个完全平方数，那么a的最小值是_， b的最小值是_. 偶指奇因 【解解析析】 2 2827 ， 要想使乘积或商是一个完全平方数， 则每一个质因数都必须成对出现.那么必须乘或除以因数 7.所以， , a b 的最小值都是 7. - 例例3 - 练一练练一练 五年级 第 8 讲 完全平方数 （A 版） 4 (1)从 1 到 100 这 100 个自然数中，有奇数个因数的自然 数有哪些? (2)从 1 到 100 这 100 个自然数中，有且仅有 3 个因数的 自然数有
6、哪些? 偶指奇因 【解解析析】 (1)只有完全平方数有奇数个因数，1100 中的 完全平方数有 2 1， 2 2， 2 10 ，所以有奇数个因数的 自然数有 1，4，9，16，25，36，49，64，81，100 (2)只有质数的平方有 3 个因数，因为 2 10100，我们只 需找到 10 以下的质数的平方.它们是： 2222 24,39,525,749. 从 1 到 400 这 400 个自然数中，有奇数个因数的自然数 有_个.有且仅有 3 个因数的自然数有_个. 偶指奇因 【解解析析】 只有平方数有奇数个因数，实际考查 1 到 400 的平方数有多少个. 2 40020 ，因此有 20
7、个自然数有奇 数个因数.有且仅有3个因数的自然数一定是质数的平方， 小于 20 的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19，所以有 - 练一练练一练 - 例例4 五年级 第 8 讲 完全平方数 （A 版） 5 且仅有 3 个因数的自然数有 8 个. 学生版仅有(1)题 (1)1，11，111，1111，这些数中有多少个平方数? (2)1，14，144，1444，14444，这些数中有多少个 平方数? 平方数的余数特征 【解解析析】 (1)由于奇数的平方是奇数， 偶数的平方为偶数， 而奇数的平方除以 4 余 1，偶数的平方能被 4 整除现在 这些数都是奇数， 除了 1 以外， 它们除以 4 的余数都是 3， 所以只有 1 个完全平方数 (2)共 3 个， 分别是 1， 144， 1444(38 的平方).14444=4 3611， 14444444361111，11 除以 4 余 3，因此不可 能再有平方数. - 例例5