平面与空间力系.ppt

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1、,第二、三章 平面与空间力系,平面力系,静力学,受力分析 静力学公理 平衡条件,构件的受力,空间力系,等效,简单平面力系,等效,简单空间力系,主矢=0 主矩=0,平衡,平衡,一群力.,力系：,力系的合力为,?,力系太复杂，希望能够简单些，,?,平衡系统（滑轮B大小可忽略）,基本概念,力系分为：平面力系(planar force system) 空间力系(space force system),简单力系：指的是汇交力系、力偶系。,21 平面与空间汇交力系合成和平衡 22 力对力点之矩,平面力偶， 力对轴之距，空间力偶 23 力偶系的合成和平衡条件,第二、三章 平面与空间力系,静力学,今天的学习目

2、标: 同学们将掌握 汇交力系合成与分解 力矩 力偶,课堂活动: 基本概念 （复习和介绍） 讲解 例题 课堂练习,静力学,2-1 汇交力系合成与平衡的几何法,一、合成的几何法,2. 任意个共点力的合成,为力多边形,1.两个共点力的合成,由余弦定理：,结论：,即：,二、汇交力系平衡的几何条件,汇交力系平衡的充要条件是：,静力学,F1,Fi,F2,F3,FR,Fn,例 已知压路机碾子重P=20kN, r=60cm, 欲拉过h=8cm的障碍物。求：在中心作用的水平力F的大小和碾子对障碍物的压力。,又由几何关系：,选碾子为研究对象,取分离体画受力图,解：,FB,由作用力和反作用力的关系， 碾子对障碍物的

3、压力等于23.1kN。,静力分析,(a),解： (1) 取梁AB 作为研究对象。,(4) 解出：FA=Pcos30=17.3kN，FB=Psin30=10kN,(2) 画出受力图。,(3) 应用平衡条件画出P、FA 和FB 的闭合力三角形。,例 水平梁AB 中点C 作用着力P，其大小等于20kN，方向与梁的轴线成60角，支承情况如图(a)所示，试求固定铰链支座A 和活动铰链支座B 的反力。梁的自重不计。,静力分析,解： (1) 取制动蹬ABD 作为研究对象。,(2) 画出受力图。,(3) 应用平衡条件画出P、FB 和FD 的闭和力三角形。,例 图示是汽车制动机构的一部分。司机踩到制动蹬上的力P

4、=212N，方向与水平面成=45角。当平衡时，BC水平，AD铅直，试求拉杆所受的力。已知EA=24cm，DE=6cm点E在铅直线DA上，又B、C、D都是光滑铰链，机构的自重不计。,静力分析,（5） 代入数据求得： FB=750 N。,（4）由几何关系得：,由力三角形可得：,静力分析,汇交力系合成与平衡的解析法,一、平面力在坐标轴上的投影,Fx=Fcosa ： Fy=Fsina=F cosb,静力学,二、合力投影定理,由图可看出，各分力在x轴和在y轴投影的和分别为：,合力投影定理：合力在任一轴上的投影，等于各分力在同一 轴上投影的代数和。,静力学,静力学,合力的大小： 方向： 作用点：,为该力系

5、的汇交点,三、平面汇交力系平衡的解析法,平衡条件,平衡方程,18,直接投影法,二次投影法,1.力在直角坐标轴上的投影,空间汇交力系,静力学,19,2.力沿直角坐标轴的分解,直角坐标系中,静力学,20,静力学,3、空间汇交力系的平衡：,解析法平衡充要条件为：,几何法平衡充要条件为该 力系的力多边形封闭。,空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系的合力等于零。,称为平衡方程 空间汇交力系的平衡方程,空间汇交力系平衡的必要和充分条件为：该力系中所有各力在三个坐标轴上的投影的代数和分别等于零。,例题 井架起重装置简图如图所示，重物通过卷扬机D由绕过滑轮B 的钢索起吊。起重臂的A端支承可简化为固定铰支

6、座，B端用钢索BC 支承。设重物E重G=20KN，起重臂的重量、滑轮的大小和重量索及钢 的重量均不计。求当重物E匀速上升时起重臂AB和钢索BC所受的力。,解：1、取滑轮连同重物E为研究对象，受力分析：,静力分析, Fy = 0, Fx = 0,FAB = 45 kN,- FTBC cos300 - FTBD cos450 + FAB cos600= 0,FTBC = 9.65 kN,- FTBC cos600 - FTBD cos450 + FAB cos300-G= 0,2、取汇交点B为坐标原点，建立坐标系：,3、列平衡方程并求解：, Fx = 0,- FTBD sin150+ FAB si

7、n300-Gsin600= 0, Fy = 0,FAB = 45 kN,- FTBC - FTBD cos150 + FAB cos300-Gcos600= 0,FTBC = 9.65 kN,解二：,例图示连杆机构，已知Q、R，求图示位置平衡时， Q与 R的关系。,静力分析,解：1、研究对象： A铰,B铰,设杆受拉力，则力背离铰链， 受压力，则力指向铰链，,结构,静力分析,A 铰,B 铰,A铰,2、平衡方程,x,y,x,y,Fx=0,Q FBA cos450 = 0,FAB R cos300 = 0,B铰,Fx=0, FBA=FAB,讨论：,取AB为研究对象,x,y,静力分析,Fx=0,Qco

8、s450+ FCA cos450 Rcos300 = 0,讨论：,取AB为研究对象,x,y,45,90,30,60,Fy=0,-Qsin450+ FCA sin450 Rsin300 FDB = 0,解：研究AB杆 画出受力图 列平衡方程 解平衡方程,练习 已知 P=2kN 求FCD , FA,由EB=BC=0.4m，,解得：,；,静力分析,练习 已知如图P、Q， 求平衡时 =？ 地面的反力N=？,解：研究球受力如图， 选投影轴列方程为,由得,由得,静力分析,例题 用AB杆在轮心铰接的两均质圆轮A、B，分别放在 两个相交的光滑斜面上，如图所示。不计AB杆的自重， 求：（1）设两轮重量相等，求平

9、衡时的角； （2）已知A轮重GA，平衡时，欲使=00的B轮的重量。, Fx= 0,GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1), Fx/ = 0,- GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2),解：先取A轮为研究对象，受力分析：,取B轮为研究对象，受力分析：,GAcos600 - FAB cos(+300)= 0 (1),- GBcos300 + F/AB sin(+300)= 0 (2),FAB =F/AB (3),由以上三式可得：,（1）当GB=GA时， = 300,（2）当= 00时， GB=GA /3,32, 例题3-3,如图所示，用起重机吊起重

10、物。起重杆的A端用球铰链固定在地面上，而B端则用绳CB和DB拉住，两绳分别系在墙上的C点和D点，连线CD平行于x轴。已知CE=EB=DE,角=30o ，CDB平面与水平面间的夹角EBF= 30o ,重物G=10 kN。如不计起重杆的重量,试求起重杆所受的力和绳子的拉力。,静力学,33,1. 取杆AB与重物为研究对象，受力分析如图。,解：,x,z,y,30o,A,B,D,G,C,E,F,其侧视图为,静力学,34,3.联立求解。,2. 列平衡方程。,静力学,静力学,1、一般地，对于只受三个力作用的物体，且角度 特殊时用 几 何法（解力三角形）比较简便。,解题技巧及说明：,3、投影轴常选择与未知力垂

11、直，最好使每个方程中 只有一个未知数。,2、一般对于受多个力作用的物体，且角度不特殊或 特殊，都用解析法。,静力学,5、解析法解题时，力的方向可以任意设，如果求出 负值，说明力方向与假设相反。对于二力构件， 一般先设为拉力，如果求出负值，说明物体受压 力。,4、对力的方向判定不准的，一般用解析法。,例题 如图所示的平面刚架ABCD,自重不计。 在 B点作用一水平力 P ,设P = 20kN。 求支座A和D的约束反力。,FD,FA,解: 1、取平面钢架ABCD为研究对象, 画出受力图。,静力分析,2、取汇交点C为坐标原点，建立坐标系：,tg = 0.5 cos = 0.89 sin = 0.44

12、7, Fx = 0,P +FA cos = 0,FA = - 22.36 kN, Fy= 0,FA sin +FD = 0,FD =10 kN,4m,2m,负号说明它的实际方向 和假设的方向相反。,3、列平衡方程并求解：,静力分析,例.求图示支座A和B的约束反力.,静力分析,解:画整体的受力图,A,B,C,P,FA,FB,O,取O点为研究对象,Sin = 0.32, Fx = 0,0.71 FA - 0.32 FB = 0, Fy = 0,0.71 FA +0.95 FB P = 0,联立两式得:,FA = 0.35P,FB = 0.79P,静力分析,静力学,2-2 力对力点（轴）之矩,平面力

13、偶，空间力偶 力矩、力偶的概念及其性质,代数量 单位Nm,力矩的解析表达式,静力学,42,二、空间力对点的矩的矢量表示,矢量的模：,矢量的方位：,和力矩作用面的法线方向相同,矢量的指向：,由右手螺旋法则确定,力对点的矩矢等于矩心到该力作用点的矢径与该力的矢量积。,力矩矢,43,力矩矢不可任意移动为定位矢量。,静力学,空间力矩的解析表达式,三、合力矩定理,平面汇交力系,该结论适用于任何合力存在的力系,空间汇交力系,汇交力系的合力对内任一点的矩，等于所有各分力对同一点的矩的代数（矢量）和,45,四、力对轴的矩,力对轴之矩：是使物体绕轴转动效应的度量，代数量。,静力学,46,力对轴的矩,力对轴的矩是

14、一个代数量，其绝对值等于该力在垂直该轴的平面上的投影对于这个平面与该轴交点的矩。其正负号如下确定：从z轴正端来看，若力的这个投影使物体绕该轴逆时针转动，则取正号，反之为负。,右手螺旋法则：,拇指指向与z轴一致为正，反之为负。,1、定义,静力学,47,力对轴的矩,2、力对轴的矩等于零的情形 ： 力和轴平行； 力的作用线与轴相交。,当力与轴在同一平面时，力对该轴的矩等于零。,静力学,48,3、力对轴的矩之解析表达式,如力F在三个坐标轴上的投影分别为Fx，Fy，Fz，力作用点A的坐标为x，y，z，则,静力学,49,五、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系,力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于

15、力对于该轴的矩。,又由于,所以力对点O的矩为：,力对点之矩的计算可以先计算力对轴之矩，然后自用上式来求力对点之矩。,例 已知：如图 F、Q、l, 求： 和,解：用力对点的矩法 应用合力矩定理,静力分析,支架如图所示，已知AB=AC=30cm,CD=15cm, F=100N,求 对A、B、C三点之矩。,解：由定义,由合力矩定理,静力分析,例,例图示胶带轮，已知FT1=200N, FT2=100N, D=160mm,求 MB(FT1)+MB(FT2)=?,解：,例 三角形分布载荷作用在水平梁上，如图所示。最大载荷强度为qm ，梁长l。试求该力系的合力。,解：1.求合力大小,2.求合力作用线位置,由

16、合力投影定理,由合力矩定理,54, 例题,手柄ABCE在平面Axy内,在D处作用一个力F，如图所示，它在垂直于y轴的平面内，偏离铅直线的角度为。如果CD=b，杆BC平行于x轴,杆CE平行于y轴，AB和BC的长度都等于l。试求力F 对x，y和z三轴的矩。,静力学,55,应用力对轴的矩之解析表达式求解。,因为力在坐标轴上的投影分别为：,力作用点D 的坐标为：,则,静力学,解：,静力学,六、平面力偶及其性质（couple and its properties),1. 力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。,单位：N m,记作,静力学,性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学

17、量。,不能用力来平衡， 只能用另一个力偶来平衡,性质2：力偶在任意坐标轴上的投影等于零.,力偶性质,两个要素,a.大小：力与力偶臂乘积,b.方向：转动方向,力偶矩,力偶中两力所在平面称为力偶作用面,力偶两力之间的垂直距离称为力偶臂,2.力偶矩,静力学,平面力偶等效定理 作用在同一平面内的两个力偶，只要它的力偶矩的大小相等，转向相同，则该两个力偶彼此等效。,静力学,推论1：力偶矩不因矩心的 改变而改变.,推论2：只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，且可以同时改变力偶中力的大小与力臂的长短，对刚体的作用效果不变.,=,=,=,静力学,平面力偶系的合成与平衡,平面力偶系,设有两个力偶,静

18、力学,平面力偶系平衡,结论:,64,静力学,七、空间力偶系,64,空间力偶的三要素,（1） 大小：力与力偶臂的乘积；,（2） 方向：垂直于作用面；,（3） 作用面：力偶作用面。,力偶矩矢是空间力偶系的唯一度量。,65,静力学,空间力偶的等效定理 作用在同一刚体的两平行平面的两个力偶，若它们的转向相同，力偶矩的大小相等，则两个力偶等效。,力偶矩的大小= 力偶矩的方向 转向右手螺旋规则。,空间力偶可以平移到与其作用面平行的任意平面上而不改变力偶对刚体的作用效果； 可以同时改变力与力偶臂的大小或将在其作用面内任意移转，只要力偶矩矢的大小、方向不变，其作用效果不变。,66,静力学,空间力偶矩矢是自由矢

19、,67,任意个空间分布的力偶可合成为一个合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。,三、空间力偶系的合成与平衡条件(看书86页),即：,合力偶矩矢的大小和方向余弦,1、空间力偶系的合成,静力学,68,2、空间力偶系的平衡条件,空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系的合力偶矩等于零，亦即所有力偶矩矢的矢量和等于零。,即：,空间力偶系的平衡方程,空间力偶系平衡的必要和充分条件是：该力偶系中的所有力偶矩矢在三个坐标轴上投影的代数和分别等于零。,静力学,图示矩形板，边长分别为a、2a，各受大小相等、方向相反的力偶作用，试画出整体和两板的受力图。,例.图示物体系统中AC = CD = BE = E

20、F = a 且CF = DE . 物体重量不计. 求支座A 和B 的约束反力.,解:取整体为研究 对象画受力图。,FA,FB,d,FA = FB = F, mi = 0,FA = FB = F =,例图示结构，求A、B处反力。,解：1、取研究对象,整体,2、受力分析,特点：力偶系,3、平衡条件,mi=P 2aFA l=0,思考,m i= 0,P 2aFNB cos l=0,静力分析,求:轴承A,B处的约束力.,例,已知：两圆盘半径均为200mm，AB =800mm，圆盘面O1 垂直于z轴，圆盘面O2垂直于x轴，两盘面上作用有力 偶，F1=3N， F2=5N，构件自重不计.,解：取整体，受力图如

21、图所示.,静力学,例图示铰链四连杆机构OABO1处于平衡位置.已知OA=40cm, O1B=60cm, m1=1Nm,各杆自重不计.试求力偶矩m2的大小及杆AB所受的力.,静力分析,解: AB为二力杆,FA = FB = F,F,F,F,F,取OA杆为 研究对象., mi = 0,m2 0.6 F= 0,(1),取O1B杆为研究对象., mi = 0,0.4sin30o F - m1 = 0,(2),联立(1)(2)两式得:,F= 5,m2 = 3,例.不计自重的杆AB与DC在C处为光滑接触,它们分别受力偶矩为m1与m2的力偶作用 ,转向如图.问m1与m2的比值为多大,结构才能平衡?,m1,m

22、2,解:取杆AB为研究对象画受力图.,杆A B只受力偶的作用而平衡且C处为光滑面约束.则A处约束反力的方位可定.,FA,FC, mi = 0,FA = FC = F,AC = a,a F - m1 = 0,m1 = a F (1),取杆CD为研究对象.因C点约束方位已定 , 则D点约束反力方位亦可确定.画受力图.,FD,F C,FD = FC = F,CD = a, mi = 0,- 0.5aF + m2 = 0,m2 = 0.5 aF (2),联立(1)(2)两式得:,思考题：,1、m可否由BC上移至AC上？,结构视为一体时，m可移动，若分开考虑，则m不能从一体移至另一体。,2.既然一个力不

23、能与力偶平衡，为什么下图的圆轮能平衡？,2、图示机构平衡时两力偶之间的关系？,m1,杆BC,分析整体,答案：,力沿作用线移动：,力是滑动矢量。只适用于刚体，不适用于变形体及刚体系统。 反例为：绳子，,力线平移,力偶等效,思考题： 1、图示两结构是否等效？,2、力矩与力偶矩的异同？,练习 图示刚架，其上作用三个力偶，其中 F1= F1=5KN，m2=20KN.m, m3= 9KN.m, 试求支座A、B处的反力。,A,B,F1,F1,m3,1m,1m,1m,m1=F1 1=5KN.m,m1 - m2+ m3+FB d =0,d,解：因为作用在刚架上的主动力全是力偶， 则A、B处的约束反力一定形成力

24、偶。 根据平面力偶系的平衡方程：, mi = 0,5 - 20+ 9+FB ABsin300 =0,解得：,FA=FB=2.31kN,练习已知：a、m，杆重不计。 求：铰A、C的反力。,解:分别以AB杆(二力杆) 和BC为研究对象求解.,由 SM=0,m FC d= 0 及 FC = FB = FB,解得:,AB杆：,BC杆：,FC,练习已知：机构如图所示，各构件自重不计，主动力偶M1为已知，求：支座A、B的约束反力及主动力偶M。,解： “BD”, M = 0 M1 - FE a = 0 FB = FE = M1 / a,“系统”,系统受力偶作用，又只在A、B两点受力，则该两点的力必形成一力偶

25、。 FA = FB = M1 / a, M = 0 M1 - FB 0 - M = 0 M = M1,系统如图，AB杆上作用矩为M的力偶，设AC=2R，R为轮C的半径，各物体的重量及摩擦不计。求绳子的拉力和铰A对AB杆的约束反力及地面对轮C的反力。,解：先以AB杆为研究对象，受力如图。,由几何关系：,所以：,练习,再以轮C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。,其中：,解之得：,练习:已知 AB=2a BD=a, 不计摩擦。求当系统平衡时,力偶M1 ,M2 应满足的关系。,研究BD,研究AC,练习 试求机构在图示位置保持平衡时主动力系的关系。其中 AO=d, AB=l。,曲柄ACD,A,O,B,M,解：,1、研究对象：,滑块B,M,2、研究曲柄ACD,小 结,力对点之矩是度量力使刚体绕一点转动效应的力学量，空间问题中为矢量，平面问题中为代数量； 力对轴之矩是度量力使刚体绕一轴转动效应的力学量，为代数量，由右手螺旋法则判断正负号； 力对点之矩在轴上的投影等于力对轴之矩； 力偶对刚体的作用效应仅为转动，力偶不能与一个力等效，也不能与一个力平衡； 力偶对刚体的转动效应决定于其三要素； 力偶等效条件，合力（偶）矩定理； 力偶系平衡的充要条件是： S M i =0。,