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1、,第二章 平面力系,引 言,力系平面内作用在物体上力的总称（力的集合）,根据力的作用线是否共面可分为：,平面力系 空间力系,根据力的作用线是否汇交可分为：,汇交力系 平行力系 任意力系,平衡力系作用在物体上使物体保持平衡的力系,第二章 平面力系,2-1 平面汇交力系,结论与讨论,2-4 平面任意力系平衡条件和平衡方程,2-2 平面力对点之矩平面力偶,2-3 平面任意力系简化,2-5 物体系的平衡静定和超静定问题,2-6 平面简单桁架的内力计算,2-1 平面汇交力系,一.合成的几何法,任意个共点力的合成力的多边形法则，多边形封闭边即为合力。,两个共点力的合成力的平行四边形法则（三角形法则）,结论
2、：平面汇交力系可简化为一合力，其合力的大小与方向等于 各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。,FR= F1 + F2 + + Fn = Fi,合力矢FR与各分力矢的作图顺序无关； 各分力矢必须首尾相接； 合力从第一个力矢的始端指向最后一个力矢的末端。,几点讨论：,二.平衡的几何条件,结论：平面汇交力系平衡的必要 和充分条件是，该力系的力多边 形自行封闭。,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：该力系的合力等于零。,3.解题步骤,（1）选研究对象；（2）画受力图；（3）选比例尺作力多边形。,先画主动力，再画约束反力,例题1 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。,解：（1）取刚架为研究对象,（2
3、）画受力图,（3）按比例作图求解,由图中的几何关系得,例题2 运输用的架空索道。钢索的两端分别固结在支架的A端和B端，设钢索ACB长为2l，最大柔度为h，如略去钢索的重量及滑轮C沿钢索的摩擦。试求当重为P的载荷停留在跨度中心时钢索的张力。,解：（1）取滑车为研究对象,（2）画受力图,（3）作力三角形,由此式可知，柔度h越大，绳的张力越小；,如果要求绳张力不超过一定值，则应满足什么条件？,三.平面汇交力系合成解析法,1.力的投影与分解,力在坐标轴上的投影,力沿坐标轴的分解,注：投影是代数量，分力是矢量；仅在直角坐标系中力在坐标轴上投影的绝对值和力沿该轴分量的大小相等。,2.合力投影定理（合矢量投
4、影定理）,合力FR与各分力矢在x轴和y轴上投影的关系为,a1e1= a1b1+b1c1+c1d1+d1e1,a2e2= a2b2+b2c2+c2d2-d2e2,FRy= Fy1 + Fy2 + Fy3 + Fy4,合力（合矢量）投影定理：合力（合矢量）在任一轴上的投影 等于各分力（分矢量）在同一轴上投影的代数和。,3.合成的解析法（投影法）,FR= F1 + F2 + + Fn =Fi,根据合力投影定理：,4.平面汇交力系的平衡方程,平面汇交力系平衡的必要和充分条件是：各力在两个任选的坐标轴上投影的代数和等于零。,平衡的必要和充分条件是：该力系的合力FR等于零。,两个独立方程 可求解两个未知量
5、,（3）合理选取坐标系，列平衡方程求解；,（4）对结果进行必要的分析和讨论。,（1）选取研究对象；,（2）画出研究对象的受力图；,解析法解题步骤：,几点说明：,（1）投影轴常选择与未知力垂直，最好使每个方程中只有一个 未知数；,（2）未知力的方向可以先假设，如果求出负值，说明与假设相 反。对于二力构件，一般先设为拉力，如果求出负值，说 明物体受压力。,例题3 已知：P，a ，求：A、B处约束反力。,解： （1）取刚架为研究对象,（2）画受力图,解上述方程，得,（3）建立坐标系，列方程求解,解：（1）取销钉B为研究对象,（2）取挡板C为研究对象,解得,解得,例题4 已知：F，a ，求：物块M的压
6、力。,2-2 平面力对点之矩平面力偶,一.力对点之矩,h 力臂,O 矩心,几点说明：,（1）MO(F)是影响转动的独立因素；,（2）MO(F)是代数量，使物体逆时针转时为正；反之为负；,（3）互成平衡的两个力对同一点之矩的代数和为0；,（Nm）,（4）力F对任一点之矩，不因该力的作 用点沿其作用线移动而改变。,二.合力之矩定理,平面汇交力系合力对于平面内一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。,力矩与合力矩的解析表达式,适用于有合力的力系,x，y为力作用点的坐标 Fx，Fy为力的投影,例题5 已知：Fn，r 求：力 Fn 对轮心O的力矩。,解：（1）直接计算,（2）利用合力之矩定理计算,三
7、、力偶与力偶矩,（1）力偶,（1）力偶,力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。,力偶臂力偶的两力之间的垂直距离。,力偶的作用面力偶所在的平面。,（2）力偶矩,度量力偶对物体的转动效应,力偶矩与力矩具有相同的性质。,力偶的三要素：力偶矩的大小；力偶的转向；力偶的作用面。,性质2：力偶不能合成为一个力（没有合力），也不能用一个力来平衡。力和力偶是两个基本的力学量。,性质3：力偶对其所在平面内任一点的矩恒等于力偶矩，而与矩心的位置无关，力偶矩是度量力偶对刚体的转动效果，它有两个要素：力偶矩的大小和力偶矩的转向。,（3）平面力偶的性质,性质1：力偶中两个力在任意方向上的投影等于零，故力
8、偶对物体不产生移动效应；,四、平面力偶的等效定理, 在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相 等，则两力偶彼此等效。,推论1：力偶对刚体的作用与力偶在其作用面内的位置无关；,推论2：只要保持力偶矩的大小和力偶的转向不变，可以同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。,力偶表示方法,只要保持力偶矩不变，力偶可在作用面内任意移动，其对刚体的作用效果不变。,保持力偶矩不变，分别改变力和力偶臂大小，其作用效果不变。,补充:力偶可以在与其作用面平行的平面内任意移动，其作用效果不变。,自由矢量,五、平面力偶系的合成和平衡条件,平衡条件：,任意个力偶的情况,结论：平面力偶系合成结果还是一个力
9、偶,其力偶矩为各力偶矩的代数和。,？,解：（1）取AB为研究对象,（2）取BC为研究对象,若将此力偶移至BC构件上，再求A、C处约束反力。在此种情况下，力偶能否在其作用面内移动，力偶对任意点之矩是否还等于力偶矩。,例题6 已知：a, M，求：A、 C 处约束反力。,解: (1) 取AB为研究对象,(2) 取CD为研究对象,解得,解得,因为 FB = FC,例题7 已知： AB=CD=a, BCD=30，求：平衡时M1、M2之间的关系。,例题8 求：A、B、C、D、E处的约束反力。,解: (1) 取整体为研究对象,(2) 取BCD为研究对象,确定 D 处约束反力的方向,(3) 取DE为研究对象,
10、(4) 取ACE为研究对象,注意！,（1）明确研究对象 （2）正确作出受力图 （3）列方程求解,文字不宜过多，但也不能过少。,力不允许多画，但也不能少画。,问刚体在四个力的作用下是否平衡，若改变F1和F1的方向，则结果又如何？,当 M=PR 时，系统处于平衡，因此力偶也可以与一个力平衡，这种说法对吗？,图示系统平衡否，若平衡，A、B处约束反力的方向应如何确定？,平面任意力系：各力的作用线在同一平面内,既不汇交为一点又不相互平行的力系。,研究方法：,未知力系,已知力系,力系向一点简化,（平面任意力系）,（平面汇交力系和平面力偶系）,2-3 平面任意力系的简化,一、力线平移定理,M=F. d=MB
11、(F),定理：可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。,为什么钉子 有时会折弯？,两圆盘运动形式 是否一样？,力线平移的讨论：,单 手 攻 丝,二、平面任意力系向作用面内一点的简化主矢和主矩,结论：平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个力偶的矩等于力系对于点O的主矩。,与简化中心选择无关,与简化中心有关,三、平面任意力系的简化结果分析,（1）平面任意力系简化为一个力偶的情形, 刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶对于平面内任意 一点的矩都相同，因此
12、当力系合成为一个力偶时，主矩与简 化中心的选择无关。,（2）平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理,就是原力系的合力，合力的作用线通过简化中心，与简化中心有关。,FR为原力系的合力,定理的应用：,（1）当力臂不好确定时，将该力分解后求力矩；,（2）求分布力的合力作用线位置。,（3）平面任意力系平衡的情形,MO(FR) =FRd = MO = MO(Fi),合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点矩的代数和。,（1）固定端支座,既不能移动，又不能转动的约束 固定端（插入端）约束,固定端约束反力,固定端铰支座反力,固定端支座约束实例,集中力或集中荷载：力或荷载的
13、作用面积很小或与整个构件的 尺寸相比很小，可以认为集中作用在一点上。,几种分布载荷：,体分布载荷：载荷（力）分布在整个构件内部各点上。 例如构件的自重等。,面分布载荷：分布在构件表面上的载荷（力）。 例如风压力、水压力等。,线分布载荷：载荷分布在狭长范围内，如沿构件的轴线分布。,（2）分布载荷的合力及作用位置,dP=q(x)dx,合力大小：,由合力矩定理：,合力作用线位置：, 两个特例,(a) 均布载荷,(b)三角形分布载荷,2-4 平面任意力系的平衡条件和平衡方程,平面任意力系平衡的充分必要条件是：力系的主矢和对任意一点的主矩都为零。即,故平面任意力系平衡的解析条件为：,平面任意力系平衡的解
14、析条件：所有各力在两个任选的坐标轴上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代数和也等于零。, 几点说明：,（1）三个方程只能求解三个未知量；,（2）二个投影坐标轴不一定互相垂直，只要不平行即可；,（3）投影坐标轴尽可能与多个未知力平行或垂直；,（4）力矩方程中，矩心尽可能选多个未知力的交点。,解析条件可简写为：,平面任意力系平衡方程的基本式,例题1 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重G =2 200 N，吊车D，E连同吊起重物各重F1= F2=4 000 N。有关尺寸为：l = 4.3 m，a = 1.5 m，b = 0.9 m，c = 0.15 m，=25。试求铰链A对臂AB
15、的水平和铅直约束力，以及拉索BF 的拉力。,解：,1.取伸臂AB为研究对象。,2.受力分析如图。,3.选如图坐标系，列平衡方程。,4.联立求解。 FB = 12 456 N， FAx = 11 290 N，FAy = 4 936 N,例题2 外伸梁的尺寸及载荷如图所示，F1=2kN，F2=1.5kN，M =1.2kNm，l1=1.5m，l2=2.5m，试求铰支座A及支座B的约束力。,2. 列平衡方程。,3. 解方程。,例题3 如图所示水平横梁AB，A端为固定铰链支座，B端为一活动铰链支座。梁的长为4a，梁重G，作用在梁的中点C。在梁的AC段上受均布载荷q作用，在梁的BC段上受力偶作用，力偶矩M
16、 =Ga。试求A和B处的支座约束力。,3. 列写平衡方程。,4. 联立求解。,2. 受力分析如图所示。,例题4 已知：M=Pa，求：A、B处约束反力。,解：（1）取刚架为研究对象,解上述方程，得,（2）画受力图,（3）建立坐标系，列方程求解,解上述方程，得,解法2：,解法3：,解上述方程，得,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,2、平面任意力系平衡方程的形式,（1）基本形式,（2）二力矩式,（3）三力矩式,解上述方程，得,例题5 求：三杆对三角平板ABC的约束反力。,解：取三角平板为研究对象，受力如图,3、平面平行力系的平衡方程,（A、B两点的连线不得与各力平
17、行）,二个方程只能求解二个未知量,（1）基本形式,（2）二力矩式,解：取梁ABCD为研究对象,解得：,D,1m,2m,1m,A,B,C,F,例题6 已知：F = 2N，q = 1N/m，求：A、B支座反力。,其中,解：取起重机为研究对象。,（1）满载时，其限制条件是：FNA0,（2）空载时，其限制条件是：FNB0,因此，P2必须满足：,例题7 求：欲使起重机满载和空载时均不翻倒，平衡锤的重量。,解得：,解得：,2-5 物体系的平衡 静定和静不定问题,1、物体系的平衡问题,（1）物体系统（物系）：由若干个物体通过约束所组成的系统。,（2）物系平衡的特点： 仅仅考虑系统整体不能求解全部约束反力；
18、物系平衡,则系统中每个单体或局部系统也是平衡的。,（3）解物系问题的一般方法（一题多解）,静定问题：未知量数目等于独立平衡方程数目,静不定（超静定问题）：未知量数目多于独立平衡方程数目,2、静定与静不定问题的概念,超静定次数=未知量数-独立平衡方程数,解得:,例题8 已知：P=0.4kN, Q=1.5kN, sin=4/5,求：支座A、C的反力。,解：(1)取整体为研究对象,解上述方程，得,(2)取AB为研究对象,代入（3）式得,例题20 如图所示，已知重力G，DC=CE=AC=CB=2l；定滑轮半径为R，动滑轮半径为r，且R=2r=l, =45 。试求：A，E支座的约束力及BD杆所受的力。,
19、解： 1. 选取整体研究对象，受力分析如图所示。,解得：,2. 选取DEC研究对象，受力分析如图所示。,解得：,例题21 重为G = 980 N的重物悬挂在滑轮支架系统上，如图所示。设滑轮的中心B与支架ABC相连接，AB为直杆，BC为曲杆，B为销钉。若不计滑轮与支架的自重，求销钉B作用在与它相连接的每一构件上的约束力。,解： 1. 取滑轮B为研究对象，受力分析如图。,解得,2. 再取销钉B为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解得,2-6 平面简单桁架的内力计算,1、桁架的由来大跨度梁的发展,2、桁架的应用桥梁、屋架、塔架,3、桁架的概念,桁架是一种由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构，
20、它在受力后几何形状不变。桁架中杆件的铰链接头称为节点。, 桁架的杆件都是直杆； 杆件两端用光滑的铰链连接； 载荷及支座反力均作用在节点上； 杆件重量不计或平均分配在杆件两端的节点上。,理想桁架的 几点假设：,二力杆-组成桁架的基本构件。,平面桁架所有杆件都在同一平面内的桁架。,节点构造有 榫接（图a） 焊接（图b） 铆接（图c） 整浇（图d）,均可抽象简化为光滑铰链,4、桁架杆件内力的计算方法,（1）节点法应用汇交力系平衡条件，逐一研究桁架上每个节点 的平衡，每个节点可列2个独立平衡方程。适于求 解全部杆件的内力；,（2）截面法应用平面任意力系的平衡条件，研究桁架由截面 切出的某部分的平衡。适
21、于求解部分杆件的内力。,解：(1)取整体为研究对象,(2)取节点C为研究对象,(3)取节点 A为研究对象,依此类推，可求得其余各杆内力。,例题10 求：图示桁架各杆的力。,解：(1)取整体为研究对象 计算支座反力。,(2) 根据解题的需要，假想用一截面截断体系。,(3) 取某一部分为研究对象，计算所求杆件内力。,例题11 求：桁架6、7、8各杆的力。,解：(1) 取整体为研究对象,(2)取内部三角形为研究对象,(3)取节点A为研究对象,例题12 求：桁架1、2杆的力。,2,适当地选择方程可使问题的求解简便； 组合静定梁往往可以先求辅助结构，再求基本结构； 注意铰点作用集中载荷的情况； 对于拆分
22、结构中没有基本结构的情况往往先分析整 体结构再按受力情况（简单优先）分析拆分结构。,物体系平衡习题课,E,解：(1) 取整体为研究对象,解得：,(2) 取曲杆CD为研究对象,解得：,例题13 求：A、E的约束反力和BC杆内力。,解：(1) 取BC为研究对象,解得:,(2) 取AC为研究对象,解得:,例题14 已知：M = 10kNm, q=2kN/m求：A、B、C的反力。,若不求C处的力则可选整体为研究对象,例题15 求：D、E的约束反力。,解：(1)取CDE为研究对象,解得:,(2)取整体为研究对象,解得:,(3) 取BEG为研究对象,解得:,代入（3）式得:,解:(1) 取整体为研究对象,
23、(2) 取DEF杆为研究对象,解得：,(3) 取ADB杆为研究对象,解得：,例题16 求：A、D、B的约束反力。,a,B,C,D,A,F,E,a,a,a,A,a,B,C,D,F,E,a,a,a,解：(1)取BC杆为研究对象,解得：,(2)取AB杆为研究对象,解得：,代入（3）式解得：,例题17 求：A、D的约束反力。,(3)取CD杆为研究对象,解得：,解：(1) 取DE杆为研究对象,(2) 取BDC杆为研究对象,(3) 取整体为研究对象,解得：,例题18 已知：q=50kN/m, M=80kNm,求:A、B的约束反力。,例题19 图示结构为钢结构拱架，拱架由两个相同的刚架AC和BC用铰链C连接
24、，拱脚A，B用铰链固结于地基，吊车梁支承在刚架的突出部分D，E上。设两刚架各重为G=60 kN，吊车梁重为G1=20 kN，其作用线通过点C；载荷为G2=10 N；风力F=10 kN。尺寸如图所示。D，E两点在力G的作用线上。求固定铰支座A和B的约束力。,x,y,2 m,2 m,8 m,2 m,10 m,A,B,C,D,E,G2,G,5 m,G,解：,1.选整个拱架为研究对象，受力分析 如图所示。列平衡方程,2. 选右边刚架为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,3. 选吊车梁为研究对象，受力分析如图所示。,列平衡方程,解方程可得,结论与讨论,1.力在坐标轴上的投影为：,2.平面内力的解析
25、表达式为：,3.求平面汇交力系的合力,（1）几何法,根据力多边形规则，求得合力的大小和方向为：,合力的作用线通过各力的汇交点。,（2）解析法,根据合力投影定理：,4.平面汇交力系的平衡条件,（1）平衡的必要和充分条件：,（2）平衡的几何条件：,力多边形自行封闭,（3）平衡的解析条件：,5.平面力对点之矩,6.合力矩定理：,7.力偶和力偶矩,力偶两个大小相等、方向相反且不共线的平行力组成的力系。,力偶在任一轴上的投影等于零，且对平面内任一点的矩恒等于力偶矩，力偶矩与矩心的位置无关。,8.平面力偶系的合成与平衡,平衡条件：,合成结果：,力偶的等效定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则彼此等
26、效。力偶矩是力偶作用的唯一量度。,1.力的平移定理：平移一力的同时必须附加一力偶，附加力偶的 矩等于原来的力对新作用点的矩。,2.平面任意力系向平面内任选一点O 简化，一般情况下，可得一 个力和一个力偶，这个力等于该力系的主矢，即,作用线通过简化中心O。这个力偶的矩等于该力系对于点O的主矩，即,3.平面任意力系向一点简化，可能出现的四种情况。,4.平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力系的主矢和对任一点的主矩都等于零，即：,（A、B、C 三点不得共线）,（x 轴不得垂直于A、B 两点的连线）,5、平面任意力系平衡方程的形式,基本形式,二力矩式,三力矩式,6.其它各种平面力系都是平面任意力系的特
27、殊情形，其平衡方程如下：,力 系 名 称,独立方程的数目,共线力系,平 衡 方 程,平面力偶系,平面汇交力系,平面平行力系,1,1,2,2,7.桁架由二力杆铰接构成。求平面静定桁架各杆内力的两种方法：, 节点法：逐个考虑桁架中所有节点的平衡，利用平面汇交力系的平衡方程求出各杆的内力。应注意每次选取的节点其未知力的数目不宜多于2个。, 截面法 ：截断待求内力的杆件，将桁架截割为两部分，取其中的一部分为研究对象，应用平面任意力系的平衡方程求出被截割各杆件的内力。应注意每次截割的内力未知的杆件数目不宜多于3。,第二章结束,分析：考虑翻倒的临界情况，,此时 G = Gmin 。圆桶除了与光滑面的接触点
28、外，都不受力。,例题9 无底圆柱形空桶放在光滑水平面上，内放两个重球，每个球重 P、半径 r ，圆桶半径 R 。不计摩擦和桶壁厚，求圆桶不至翻倒的最小重量 G min 。,解法1：分别以两个球和圆桶 为研究对象。,设 BE = a ，AE = b = 2 ( R - r ),DO = BE = a,（1）以两球为对象，, MO ( F ) = 0， FDa Gmin R = 0, FD = P ba,M A ( F ) = 0,FD a P b = 0,A,B,C,D,O,E,O,O,Gmin,（2）以桶为对象，,Gmin = FDa R = P b R G min = 2P ( 1 rR ),N,R,解法2：（1）以两个球为研究对象,（2）以整体为研究对象,MO ( F ) = 0， (N P)(2R r) Gmin R Pr = 0,A,B,C,D,解法3：临界状态时，显然作用在桶上的 Gmin 和 R 组成一力偶，以整体为研究对象可以知道作用在球上的 P 和 P、N 组成另一个力偶。,Gmin,R,P,P,