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1、,平面的基本性质,一.平面的概念：,光滑的桌面、平静的湖面等都是我们熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现实平面加以抽象的结果。,二.平面的特征：,平面没有大小、厚薄和宽窄，平面在空间是无限延伸的。,观察思考,三.平面的表示方法：,平面可以用小写的希腊字母或大写的英文字母表示，也可以用三个或三个以上字母表示。,如：平面，平面，平面ABCD等。,四.平面的画法：,（1）水平放置的平面：,（2）垂直放置的平面：,通常把表示平面的平行四边形的锐角画成450,（3）在画图时，如果图形的一部分被另一部分遮住，可以把遮住部分画成虚线，也可以不画。,五.用数学符号来表示点、线、面之间的位置关系：,点A在直线a
2、上：,记为：Aa,点B不在直线a上：,点A在平面上：,记为：A,点B不在平面上：,(1)点与直线的位置关系：,(2)点与平面的位置关系：,(3)直线与平面的位置关系：,直线a上的所有点都在平面上，称直线a在平面内，或称平面通过直线a.记为：,直线a与平面只有一个公共点A时，称直线a与平面相交。记为：aA,例1.把下列语句用集合符号表示，并画出直观图。 （1）点A在平面内，点B不在平面内，点A，B 都在直线 a上； （2）平面与平面相交于直线 m，直线 a 在平 面内且平行于直线 m.,六.平面性质研究,问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？,问题2 如图，两个平面只有一个
3、公共点，是吗？,问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？,观察思考,?,公理一：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上的所有点都在这个平面内,A,B,l,应用：,1.判断点或直线在平面内的依据;,2.判断点或直线共面的依据,如果直线l 上所有点都在平面内就说直线l在平面内，或者说平面经过直线l,否则，就说直线l在平面外,六.平面性质研究,问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？,问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？,问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？,观察思考,?,公理二：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，
4、这些公共点的集合是一条经过这个公共点的直线。,如果两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，这条公共直线叫做这两个平面的交线。,应用：判定两个平面有交线及交线位置的依据,1.判定两个平面相交:如果两个平面有一个公共点,那么它们相交;,2.判定点在直线上:点若是某两个平面的公共点,那么这点就在这两个平面的交线上;,3.两平面两个公共点的连线就是它们的交线,O,例2在长方体ABCDA1B1C1D1中，画出平面A1C1D与平面B1D1D的交线.,D,A,B,C,E,例3：如图画出平面 与平面ADE的交线 画出DE与平面 的交点,P,A,变式：如图，已知ABC三边所在的直线分别交平面 于点P、Q、R
5、，求证：P、Q、R三点在同一直线上。,例4：已知：空间四边形ABCD，平面四 边形EFGH的顶点分别在空间四边 形的各边AD,AB,BC,CD上,若EF与 GH不平行，求证：三条直线 EF,GH,BD共点。,方法小结,六.平面性质研究,问题1 泥匠如何检查墙面是否平整？木匠如何检查桌面是否平整？,问题2 如图，两个平面只有一个公共点，是吗？,问题3 照相机架为什么只有三只脚？自行车只用一只撑脚？,观察思考,?,公理3.经过不在同一直线上 的三点有且只有一个平面.,观察下列问题，你能得到什么结论？,应用：确定平面的依据,判定点或线的共面;,推论1.一条直线和直线外一点唯一确定一个平面。,数学语言
6、表示:,已知：点A,求证：过点A和直线a有且只有一个平面.,过不共线的三点A,B,C有一个平面,（公理3）,B,，C,a,（公理1）,过点A和直线a有一个平面,证明:,（存在性）,（唯一性）,推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面., 在a上任取两点B、C，,又由公理3,经过不共线的三点A、B、C的平面,只有一个,经过a和点A的平面只有一个.,B,C,推论2.两条相交直线唯一确定一个平面。,数学语言表示:,推论3.两条平行直线唯一确定一个平面。,数学语言表示:,思考1：不共面的四点可以确定多少个平面？ 思考2：四条相交于同一点的直线a,b,c,d并且任意三条都不在同一平面内，有它们
7、中的两条来确定平面，可以确定多少个平面。,例1：如图，直线AB、BC、CA两两相交，交点分别为A、B、C，判断这三条直线是否共面，并说明理由.,共面,证明：,ABAC=A,直线AB、AC确定一个平面,BAB ,CAC,BC,(推论2),(公理1),即它们共面,证法2：,过点A和直线BC确定平面,AB、AC、BC共面, A、B、C三点不在一条直线上,证法3：,过A、B、C三点可以确定平面,(公理3),AB,(公理1), AC,AB、AC、BC共面,练1.直线l 与过点P的三条直线a1 , a2 , a3 分别交于 A，B，C三点（A，B，C异于点P），求证：这四条直线共面。,1.如图找平面BA 1C 1与平面B 1AC的交线,练习：,2.P、Q分别是正方体ABCDA 1B 1C 1D 1的棱AA1、CC1上的点，画出过B、P、Q三点的截面,C1,D1,Q,小结,1、平面的概念、平面的画法及其表示方法,2、空间图形的点、线、面的基本位置关系及表示,3、平面的基本性质,4、应用,公理1：判断线面、点面位置关系 证明线在面内、点在面内,公理2：确定两个平面的交线,确定直线与平面的交点位置,证明三点共线、三线共点,公理3：确定平面，证明唯一性。,作业：教学与测试 测试反馈,