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1、名校名 推荐 基础过关1. 已知直线 l 与抛物线 y2 =2x 交于 A,B(异于坐标原点O)两点 .(1)若直线 l 的方程为 y=x- 2,求证 :OAOB.(2)若 OA OB,则直线 l 是否恒过定点 ?若恒过定点 ,求出定点坐标 ;若不过定点 ,请说明理由 .2. 已知圆 O:x2+y2 =4,点 F(1,0),P 为平面内一动点 ,以线段 FP为直径的圆内切于圆 O,设动点 P的轨迹为曲线 C.(1)求曲线 C 的轨迹方程 .(2) ,是曲线C上的动点 ,且直线经过定点 0,问在y轴上是否存在定点,使得 ?若存在 ,请求出定点;若不MNMNQMQO= NQOQ存在 ,请说明理由
2、.3.-所示 ,已知椭圆 :+ =FF且斜率为k的直线与椭圆 交于A x1,y1B x2 y2)两点(点A在x如图 X17 11 的右焦点为,过点(), ( ,轴上方 ),点 A 关于坐标原点的对称点为P,直线 PA,PB分别交直线 l :x=4 于 M,N两点 ,记 M,N两点的纵坐标分别为y ,y .M N(1)求直线 PB的斜率 (用 k 表示 ).(2)求点 M,N的纵坐标 yM,yN(用 x1,y1 表示 ),并判断 yMyN 是否为定值 . 若是 ,请求出该定值 ;若不是 ,请说明理由 .图 X17- 11名校名 推荐 4.-所示 ,点Py2=x上一定点 ,斜率为-的直线与抛物线交
3、于A,B 两点 .如图 X17 2(1,1)为抛物线(1)求弦 AB的中点 M的纵坐标 ;(2)点Q是线段PB上任意一点 (异于端点 ),过Q作PA的平行线交抛物线于 ,两点 ,求证 :|QF|-|QP|QB|为定值.E F|QE|图 X17- 2能力提升5. 已知抛物线 E 的顶点为坐标原点 O,焦点为圆 F:x2+y2- 4x+3=0 的圆心 . 过点 F 的直线 l 交抛物线 E 于 A,D两点 ,交圆 F 于 B,C两点,A,B 在第一象限 ,C,D 在第四象限 .(1)求抛物线 E 的方程 .(2)是否存在直线l 使得 2|BC| 是|AB| 与|CD| 的等差中项 ?若存在 ,求直
4、线 l 的方程 ;若不存在 ,请说明理由 .6.已知椭圆C+ =abF1 F2,且离心率为12:1(0)的左、右焦点分别为,点 M为椭圆上一动点 ,F MF面积的最大值为.(1)求椭圆 C 的标准方程 .(2)设 A,B分别为椭圆的左、右顶点 ,过点 B作 x 轴的垂线 l 1,D为 l 1 上异于点 B 的一点 ,以 BD为直径作圆 E. 若过点 F2 的直线 l 2 (异于 x 轴)与圆 E 相切于点 H,且 l 2 与直线 AD相交于点 P,试判断 |PF 1|+|PH| 是否为定值 ,并说明理由 .2名校名 推荐 3名校名 推荐 限时集训 ( 十七 )基础过关1.解:(1)证明 :由-
5、得 x2 -x+ =x= ,不妨取A -B +,1+),64 0,解得3(3,1), (3= OA OB.0,(2)显然直线 l的斜率不为 0,设直线 l的方程为 x=ty+m(m0),A(x1,y1),B(x2 ,y2),由2- ty-m=消去 x 得 y 22 0,2y1y2=- 2m,x1x 2=m,2由 OAOB,得=x1x2+y1y2=m- 2m=0,m=2,直线 l 的方程为 x=ty+ 2, 直线 l 恒过定点 ,且定点坐标为 (2,0).2. 解:(1)设 PF的中点为 S,切点为 T,连接 OS,ST,则 |OS|+|SF|=|OT|= 2,取 F 关于 y 轴的对称点 F
6、,连接 FP,故 |FP|+|FP|= 2(|OS|+|SF| )=4|FF|= 2.PF F+ =ab所以点的轨迹是以为焦点 ,长轴长为 4 的椭圆 ,设其方程为1(0),则 a=2,c=1,b= ,所以曲线 C 的方程为 + =1.(2)假设存在满足题意的定点Q,设 Q(0,m). 当直线 MN的斜率存在且不为0 时,设直线 MN的方程为 y=kx+ (k 0),M(x1,y1),N(x2 ,y2 ).由消去22+4kx- 11=0,y,得(3 4 )x+ k-.则 x1+x2=,x1x2=由MQO=NQO,得直线 MQ与 NQ的斜率之和为 0,即 -+ -=+=0,即 2kx12+ -1
7、2-+-=- =m=x(x +x )=2k0,得6,所以存在定点Q(0,6)满足题意 .当 MN的斜率不存在或斜率为0 时定点 Q(0,6)也符合题意 .综上 ,存在定点 Q(0,6)满足题意 .3. 解:(1)由题 ,设直线 AB的方程为 y=k(x- 1)(k0),4名校名 推荐 -2 +3)x2- 8k2 x+4k2- 12=0,则由消去 y,得(4k-11PB=- =- .又 P(-x ,-y),所以 k =(2)直线 PA的方程为 y= x ,所以 yM=.由题意可知 ,k=-,所以直线 PB的方程为 y+y=-),(x+x11则 yN=-y 1.因为 + =1,所以 yMyN=-
8、=-=- 9,所以 ,yM yN为定值 - 9.4. 解:(1)设 A(x ,y ),B(x ,y ),则=x ,=x ,两式相减得(y -y-)(y +y )=x -x ,所以 k = =- ,A AB BABABABABAB-所以yA+yB=-2,所以弦ABMyM=- 1.的中点 的纵坐标(2)证明 :设 Q(x0,y0),直线 EF:x-x 0=t 1(y-y 0),由-2-t 1y+t 1y0-x 0=0,得 y所以 y +y =t1,y y =ty-x,EFEF100|QE| |QF|=|y -y|yF-y|= (1+)| -x |.E000同理设直线 PB:x-x 0=t 2(y-
9、y 0),则|QP| |QB|= (1+)|-x 0|.因为 t 1= =y +y ,t2=y +y,APBP所以 t+t=(y +y )+2y=- 2+2=0,即 t=-t,即=,12ABP12所以 |QE| |QF|=|QP|QB| ,即|QE| |QF|-|QP| |QB|= 0,为定值 .能力提升5. 解:(1)圆 F 的方程为 (x- 2)2 +y2=1,圆心 F 的坐标为 (2,0),半径 r= 1.根据题意设抛物线E 的方程为 y 2=2px(p0),5名校名 推荐 由 =2,得 p=4,抛物线 E 的方程为 y2=8x.(2)假设存在直线l 满足题意 ,若 2|BC| 是|AB
10、| 与|CD| 的等差中项 ,则 |AB|+|CD|= 4|BC|= 42r= 8,则 |AD|=|AB|+|BC|+|CD|= 10.2若直线 l 垂直于 x 轴,则 l 的方程为 x=2,代入 y =8x ,解得 y=4.若 l 不垂直于 x 轴 ,则设 l 的斜率为 k(k 0),此时 l 的方程为 y=k (x- 2),由 - 得 k2x2- (4k2+8)x+4k2=0.设 A(x,y),D(x,y),则 x +x =.112212拋物线 E 的准线方程为x=- 2, |AD|=|AF|+|DF|= (x1+2)+(x2+2)=x1+x2+4=10,即 +4=10,解得 k= 2.当
11、 k= 2 时,k2 x2- (4k2 +8)x+4k 2=0 化为 x2 - 6x+4=0, (- 6)2- 4140,2x- 6x+4=0 有两个不相等实数根,k=2 满足题意 .综上 ,存在满足要求的直线l :2x-y- 4=0 或直线 l :2x+y- 4=0.6. 解:(1)由题意可知解得所以椭圆 C的方程为+ = .1(2)由 (1)可知 A(- 2,0),B(2,0),F2(1,0).因为过 F2 与圆 E 相切的直线分别切于B,H 两点 ,所以 |F 2 H|=|F 2B|= 1,所以 |PF 1|+|PH|=|PF1|+|PF 2 |-|F 2H|=|PF 1|+|PF 2|- 1.设点 E(2,t )(t 0),则 D(2,2t ),圆 E 的半径为 |t| ,则直线的方程为( 2)ADy= x+ .设 l 2 的方程为 x=ky+1,则 - - =|t|,化简得 k=.6名校名 推荐 由得所以点 P.因为+=1,所以点 P 在椭圆 C 上,所以 |PF 1|+|PF 2|= 4,即 |PF1 |+|PH|= 4- 1=3,为定值 .7