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1、电磁场与电磁波,1.1 给定三个矢量 和 如下：,解:,(8),1.6 证明：如果,1.7 如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设 为一已知矢量， 而 ， 和 已知，试求 。,解：,1.11求标量函数， 的梯度及 在一个指定方向的方向 导数，此方向由单位矢量 定出； 求（2，3，1）点的方向导数值。,解：,故沿指定方向的方向导数为,1.13方程 给出一椭球族。求椭球表面上 任意 点的单位法向矢量。,解：由于,故椭球表面上任意点的单位法向矢量为,1.18 （1）求矢量 的散度；（2）求 对中心在原点的一个单位立方体的积分；（3）求 对此立方体的表面积分，验证
2、散度定理,解：（1）,（2） 对中心在原点的一个单位立方体的积分,（3） 对此立方体的表面积分,故有,1.21 求矢量 沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积分，此正方形的两个边分别与x轴和y轴相重合。再求 对此回路所包围的表面积分，验证斯托克斯定理。,解：,斯托克斯定理：,从而验证了斯托克斯定理，即：,1.25给定矢量函数 试求从点P1（2，1，1） 到点P2（8，2，1）的线积分 （1）沿抛物线 ；（2）沿连接两点的直线。此矢量场是否为保守场。,解（1）,（2）连接两点的直线方程为,故,由此可见积分与路径无关是保守场。,问：1.哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表示？ 2.求出这些矢量的源分布。,解：根据下面两个重要的恒等式求解：,即可由一个标量函数的梯度表示; 也可由一个矢量函数的旋度表示。 2)场源分布:,即可由一个标量函数的梯度表示; 2)场源分布:,可由一个矢量函数的旋度表示。 2)场源分布:,补充： 在由=5，z=0和z=4围成的圆柱形区域, 对矢量 验证散度定理。,证:散度定理为：,从而验证了散度定理。,