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1、第六节,一、空间直线的一般方程,空间直线及其方程,第七章,二、空间直线的点向式方程与参数方程,三、两直线的夹角,四、直线与平面的夹角,五、杂例,定义,空间直线可看成两平面的交线,空间直线的一般方程,一、空间直线的一般方程,方向向量的定义：,如果一非零向量平行于一条已知直线，这个向量称为这条直线的方向向量,二、空间直线的点向式方程与参数方程,直线的点向式（对称式）方程,令,方向向量的余弦称为直线的方向余弦.,直线的参数方程,例1 用点向式方程及参数方程表示直线,解,在直线上任取一点,取,解得,点坐标,因所求直线与两平面的法向量都垂直,取,对称式方程,参数方程,解题思路:,先找直线上一点;,再找直
2、线的方向向量.,定义,直线,直线,两直线的方向向量的夹角.（锐角）,两直线的夹角公式,三、两直线的夹角,两直线的位置关系：,/,直线,直线,例如，,例2. 求以下两直线的夹角,解: 直线,直线,二直线夹角 的余弦为,从而,的方向向量为,的方向向量为,定义,直线和它在平面上的投影直线的夹角 称为直线与平面的夹角,四、直线与平面的夹角,直线与平面的夹角公式,直线与平面的位置关系：,/,解: 取已知平面的法向量,则直线的对称式方程为,直的直线方程.,为所求直线的方向向量.,垂,例3. 求过点(1,2 , 4) 且与平面,解:,设所求直线的方向向量为,根据题意知,取,所求直线的方程,五、杂例,例5 求
3、直线,与平面2x+y+z-6=0,解 所给直线的参数方程为,x=2+t, y=3+t, z=4+2t,代入平面方程中，得,2(2+t)+(3+t)+(4+2t)-6=0.,解上列方程，得t=-1.把求得的t值代入直线的 参数方程中，即得所求交点的坐标为,x=1, y=2, z=2.,的交点.,解,先作一过点A且与已知直线垂直的平面,再求已知直线与该平面的交点N,令,代入平面方程得 ,交点,取所求直线的方向向量为,所求直线方程为,有时用平面束的方程解题比较方便。,设直线L由方程组,所确定，其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例.,我们建立三元一次方程：,因为A1、B1、C1与A2、B
4、2、C2不成比例，,不全为零，,若一点在直线L上，则点的坐标必满足方程(a),因而,从而方程(13)表示一个平面，,也满足方程(b)，故方程(b)表示通过直线L的平面，,的不同的平面.,反之，通过直线L的任何平面(除(a)中第二个平面外) 都包含在方程(b)所表示的一族平面内. 通过定直线的 所有平面的全体称为平面束，而方程(b)就作为通过 直线L的平面束的方程。,例 7 求直线,在平面x+y+z=0上的投影,直线的方程.,即,由此得,代入得与所给平面垂直的平面(称为投影平面)的方程为,所以投影直线的方程为,即,这平面与平面x+y+z=0垂直的条件是,即,1. 空间直线方程,一般式,对称式,参数式,内容小结,直线,2. 线与线的关系,直线,夹角公式:,平面 :,L,L / ,夹角公式：,3. 面与线间的关系,直线 L :,作业 P335 4，5，7，9 ,15,解：,相交,求此直线方程 .,的方向向量为,过 A 点及,面的法向量为,则所求直线的方向向量,方法1 利用叉积.,所以,一直线过点,且垂直于直线,又和直线,备用题,设所求直线与,的交点为,待求直线的方向向量,方法2 利用所求直线与L2 的交点 .,即,故所求直线方程为,则有,代入上式 , 得,由点法式得所求直线方程,而,