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1、一维无限深势阱,1 一维无限深势阱中粒子的运动,（1） 求解. 设粒子处在势阱U(x)中,在 0 x a 的区域中，粒子的定态 薛方程为：,其通解为：,解:显然在 的区域内,式中 A、B、k 可由边界条件、归一化条件确定,其通解为：,代入：,边界条件:,得:,由上述两式:,B=0,代入通解,故波函数:,由归一化条件:,故波函数:,本征能量En本征函数,能量公式：,粒子出现 的几率：,能量是量子化的,相邻两能级的间隔：,当势阱宽度a小到原子的尺度， E 很大，能量的量子化显著,当势阱宽度a大到宏观的尺度， E很小，能量量子化不显著 可把能量看成连续，回到了经典理论,一维无限深方势阱中粒子特点：,
2、这是解薛方程的必然结果，不是玻尔理论中的人为假设,量子数,例. 电子在原子中，a=10-10m的势阱中，其能量为：,量子化显著,若电子在a=10-2m的宏观势阱中,不可分辨，量子化消失,粒子的能级图,当 时,经典,量子,等价,玻尔的对应原理,（2） 一维无限深方势阱中粒子特点：,在高能级上可看成能级连续分布,势阱中电子最低能量不可能为零 最低能量状态称之为基态,对应于n=1的状态,经典理论中粒子的能量可以为零，量子理论认为势阱中的粒子能量不可能为零。,这是由测不准关系决定的!,此本征值能量称为零点能,是无限深势阱内粒子所具有的最低 能量.,粒子势阱中各处出现的几率,n+1个节点,稳定的驻波能级
3、！,a,x,0,0,a,a/2,例：n=8,（4）当 n，粒子在各处出现的几率相同,量子化消失,（ 能级连成一片）,说明：1）粒子被限制在势阱中，它的状态称为束缚态，从物理意义上理解束缚定态方程 的解，是一些驻波。这些驻波图形,形象地表示出处在某个能量状态的粒 子在 0 x a 范围内哪些地方出现粒子的几率最大、最小。,（3）第 n 个能级,波函数在总区间内有 n+1个节点。 节点处找到粒子的几率为零.,（2）束缚定态能级的高低，由驻波的半波数来定， 半波数越多(驻波波长越短)，对应粒子的能级越高。,二. 势垒穿透和隧道效应,薛定谔方程：,对应的解：,3,对应的解：,即使在Ea的地方仍有粒子出
4、现的几 率，即粒子仍可穿通方势垒-“隧道效应”。,E,3,例题：一粒子在一维势场,中运动，求粒子的能级和对应的波函数。,解：,无关，是定态问题。其定态S方程,在各区域的具体形式为,：,：,：,由于(1)、(3)方程中，由于,要等式成立，必须,即粒子不能运动到势阱以外的地方去。,方程(2)可变为,令,得,其解为,根据波函数的标准条件确定系数A，B，由连续性条件，得,由归一化条件,由,可见E是量子化的。,对应于,的归一化的定态波函数为,例题2 证明无限深方势阱中，不同能级的粒子波函数 具有下面的性质,这种性质称为正交性，即不同能级的波函数是互相正交的。 解将m能级的波函数 取其复共轭 ，与n能级的
5、波函数 相乘并在粒子所能到达的整个空间（在此就是阱区内) 得：,所以，不同能级的波函数是正交的。如果把波函 数的正交性和归一性表示在一起，可写为,定义克罗内克符号：,分子振动光谱是一种重要的分子光谱学方法，能提供有关分子结构的基础信息，而谐振子为研究原子在分子及晶体中的振动提供了一个模型，在化学中有广泛的应用。但是，由于其数学处理的复杂性，这里的讨论只是并不给出证明的细节，只是给出结论。,16.4一维谐振子,若一质量 m 的物体，连在力常数 k 的弹簧上，对平衡位置 x0 ，产生一位移 x ，由牛顿第二定律：,1. 一维谐振子的经典力学处理,）,2. 一维谐振子的量子力学处理：,一维谐振子的哈密顿算符是：,其定态薛定谔方程是：,由上面的递推公式，可得到厄米多项式的具体地推表达式：,为v 阶厄米多项式。它具有以下的递推性质：,所求的的一维谐振子的能量本征值为：,一维谐振子基态能量： 叫零点能。,