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1、第16卷第5期 1997年9月 机 械 科 学 与 技 术 M ECHAN ICAL SC IENCE AND TECHNOLOGY Vol . 16 No. 5 Sep1997 王先安 三心定理的一种新证明及其中间结果的应用 王先安 (湖南纺织高等专科学校湘潭411104) 摘要给出了三心定理的一种严谨的新证明,同时得出平面运动三构件角速度 与瞬心距的关系,最后给出了该关系的两个应用实例。 关键词三心定理速度瞬心瞬心距周转轮系传动比 中图号TH113. 22 引言 众所周知,三心定理是指三个彼此作平面相对运动的构件共有三个瞬心,且它们必位于同 一直线上。 文献1对此进行了证明,但该证明是建立
2、在构件2、3相对于固定构件1转动的基础 上的(图 1) 。 笔者提出下面的证法,更不失一般性。 1三心定理的证明 图1图2 设构件1、2、3为作平面相对运动的任意三个构件,因为任意两个构件作平面相对运动时都有 一个速度瞬心(以下简称瞬心 ), 故构件1与2、2与3、1与3的瞬心P12、P23、P13均已存在。 现假 定P12、P23、P13在平面内的任意位置,如图2所示,下面将要完成的任务即为证明点P12、P23、 P13只能在同一直线上。 根据相对运动原理,对构件1、2、3分别有 V _ P12=V _ P13+V _ P12P13(1) V _ P23=V _ P12+V _ P23P12
3、(2) V _ P13=V _ P23+V _ P13P23(3) 收稿日期: 1997 01 16 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved. 三式相加得: V _ P12P13+V _ P23P12+V _ P13P23(4) 设构件1、2、3的角速度分别为 1、 2、 3,则由式(4)得 1P13P12 _ +2P12P23 _ +3P23P13 _ = 0(5) 又由图2可知 P13P12 _ +P12P23 _ +P23P13 _ = 0(6) 由式(5)、(6)
4、可推得 P13P12 _ P12P23 _ P23P13 _ 这说明P12、P23、P13三点必共线。 此即证明了三心定理。 在以上证明中,因对构件1、2、3的相对位置关系设作任何限制,故为最一般情况下的三心 定理的证明,简单明了,概念清楚,且亦不需涉及高深数学知识。 2 平面运动三构件的角速度与瞬心距关系 在上述证明中式(5)可推广到一般情况,即 iPikPij _ +jPijPjk _ +kPjkPik _ = 0(7) 由式(7)可知,作平面运动的任意三构件中,各构件的角速度与该构件上两瞬心间的有向 距离(简称瞬心距)之积的和为零。 此即为平面运动三构件间的角速度与瞬心距关系。 由此可
5、知,在一个平面机构中,如已知各瞬心位置及两个构件的角速度,则其它任意构件的角速度均 可求出。 3角速度与瞬心距关系的应用 (1)在平面机构速度分析中的应用 在平面四杆机构中,设构件K为机架,则 k= 0,将其代入式(7)后可得 iPikPij _ +jPijPjk _ = 0 即i? j=PjkPij _ ?PikPij _ (8) 式(8)即为文献1中公式 (4 - 3) ( P57页 ), 由此可见,文献1中的公式 (4 - 3) 为本文 式(7)的一个特例,由此特例可得,在已知平面四杆机构各瞬心位置的情况下,各运动构件间 的瞬时传动比(即 i? j)则可求出。 (2) 在平面周转轮系传动
6、比计算中的应用 由于平面周转轮系中三个典型构件 中心轮1、 与中心轮1相啮合的行星轮2及支承行 星轮2的系杆H之间的瞬心位置P12、P2H及P1H正好在轮1与2啮合节点、 轮2中心及轮1中 心(图3),故应用式(7)可得 1r1+2r2=H(r1+r2)(9) 即 1Z1+2Z2=H(Z1+Z2)(10) 同理可得 3Z3-2Z2=H(Z3-Z2)(11) 将(10)、(11)两式推广到一般情况有 438机 械 科 学 与 技 术第16卷 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reser
7、ved. 图3 kZk BZB=H(Zk-ZB)(12) 式中,k、Zk为中心轮的角速度和齿数;B、ZB为行星轮的 角速度和齿数;H为系杆的角速度。 中心轮与行星轮外啮 合时取 “+”,内啮合时取 “-” 。 对周转轮系的每一中心轮与 行星轮的啮合节点列出式(12)的方程,然后联立求解可得 所求的传动比。 文献2亦推出了式(12)所示的结果并给出了应用举 例,但该文的推导是建立在2K2H型周转轮系的两个特例 的基础上的,以此推广到其它型式的周转轮系上则似嫌勉 强,而用本文所示推导则具有理论上的严密性及一般情况 下的意义。 利用式(12)来计算平面周转轮系传动比避免了文献1上转化机构法使用上的不
8、足,而且 还具有概念清楚,不易出错,容易理解,使用方便,计算快速等优点。 具体应用举例可参阅文献 2。 4结论 本文根据相对运动原理推导出三心定理的一种新证明,该证明不仅简单明了,且具有严谨 的一般情况下的意义。 同时得出了平面运动三构件间的角速度与瞬心距的关系式,该关系式在 平面机构速度分析及周转轮系传动比计算等方面有重要意义,其缺点是必须先定出所有瞬心, 因而对复杂平面机构不太适用。 参考文献 1孙桓主编.机械原理.北京:高等教育出版社, 1989 2杨斌久.一种计算周转轮系传动比的新方法.西安:机械科学与技术, 1996(2) A New Proof for Three-center T
9、heorem and the Application of ItsM iddle Result W ang Xianan (Hunan Textile Collage, Xiangtan 411104) AbstractThis paper dealsw ith a new strict proof for three2center theorem.It draw s a relationship between angular velocity and distance of instantaneous center in three members moved on a plane. A
10、s a result, two applications of this relationship have been brought out. KeywordsThree2center theoremInstantaneous center of velocityD istance of instantaneous center T ransm ission ratio of epicyclic train 538第5期王先安:三心定理的一种新证明及其中间结果的应用 1994-2008 China Academic Journal Electronic Publishing House. All rights reserved.