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1、河北师范大学学报 自然科学版! ! 年第 # 期不变 子群 的 等价定 义黄 淑 英黄 代贞河北 师大数学系湖衡阳市第六中学南不变子群是近世代数中一个最基本且很重要的概念。 一般教科书中其定义如下 设% 是群& 的一个子群, 如果对任意 & , 都有 % ( % , 则称% 是& 的一个不变子群 或称正规子群 。 除此定义之外, 还有若千等价定义 , 如教科书中指 出的四个等价定义 定 理设% 是群& 的子群, 则下列四个条件是等价的% 是& 的不变子群,# % 一 二 % ,任意 & )任意, % , % 一 , 二% , 任意 & )+ , 一 % ,任意 & ,.关于不变子群还有其他的若
2、干等价定义, 介绍如下命题 设% 是群& 的子群, 则下列两个条件等价% 是& 的不变子群)# 对任意,/ & , 若 / 0 % , 则/ % .证明今 #%&的不 变子 群,对 任 意,/ 0 & ,若 / % , 即 / 二由 是, % ,则有/ ( / / /1 二 / 五/1 % .#冷 2对任意 0 & , 任意, 0 % ,有 一 , % , 由 # , 一 % , 故% 是& 的不变子群。命 题 # 设% 是群& 的子群, 则下列两个条件等价% 是群& 的不变子群,# % 的任意两 个左 右 陪 集的乘积仍然是% 的一 个左 右 陪集。证明 今 #由 # 可得。#今由 题 设
3、% /% ( 3 % ,于 是 / ( 3 /3 % / % .“ 表示& 的单位元而 % / % 二 4 % , 因此 / 4 % , 故4 % 二 / % . 即 % /% 二 /% .对 任意 & , 任意, 0 % , , 一 , % 一 % , 而 % 一 5% 二 一 5% 二 3 % ( % 。因此 , 一 , 任% ,于是有 , 一 % , 故% 是 & 的 不变子群。命题 6设% 是群& 的 子群, 则下列两个条件等价% 是群& 的不变子群)#& ( 7 %.7 % 是% 在& 中的正规化子证明今 #7 %&的子群。7 %义 ,7 % 里 &,&先证是由定中单位炭本 文! 年
4、 8月收 到 #元 。满足 。% 二 % 3 .3 7日 , 7 %不空, 且 对 任 意二 , 9 7 5: 、,9 % ( % 9 , 于 是有; 9 % ( ; % 9 ( % 9 .; 一 % ( ; 一 % ; ; 一 二 ; 一 ; % ; 一 二 % ; 一 .因此 二 了7%,二一 7 % , 故7 % 是& 的子群。又对任意;& , 由% 是& 的不变子群, 有 二 % ( % ; , 因此; 7 %& 里 7%. & ( 7 %.#今对任意 ; & , 由& 二 7 %,因此 二 任7 %,有; %是 & 的不变子群。命题 +设% 是群& 的子群, 则下列两 个条件等价自5
5、一 5 ( % ; , 故( % ; , 故 % 是群& 的不变子群)# % 与% 在& 中的所有共扼子群 均相等。证明今 #由% 是& 的不变子群, 对任意; 0 & , 有; % ( % ; , 因此% (; % ; 一 , 即% 与% 在& 中所有共扼子群均相等。# 今由% 与% 在& 中所有共扼子群均相等, 对任意; & , 有% ( ; % ; 一 ,即 ; % ( % ; , 故% 是& 的不变子群。命题 6设% 是群& 的子群, 则下列两个条件等价% 是群& 的不变子 群)# 任意; & , ; 所决定的内 自同构 二 , 使得五” ; , ;1 % . 任意, %即是 说 ,% 在& 的任 意内自同构仃二 作用下有 二 旧 二% .证明今 #对任意 ; & ,由;所决 定的内自同构 二 , 对任意, % ,使得 , 今 ; 2+! 6! 6