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1、第十四章 静定结构的位移计算,第一节 计算结构位移的目的,1、变形和位移的区别： 变形是指结构形状或尺寸的改变； 位移是指结构上各点或截面位置的改变。,结构的位移,2、引起位移的主要原因有：荷载作用、温度变化、 支座移动和制造误差。,引起结构位移的原因,2、引起位移的主要原因有：荷载作用、温度变化、 支座移动和制造误差。,3、计算结构位移的目的： （1）验算结构的刚度。结构变形不得超过规范规定的容许值。 （2）为超静定结构的内力计算打基础。 （3）结构在施工过程中的挠度验算。 （4) 结构动力计算和稳定计算也需要计算结构的位移。,铁路工程技术规范规定:,3、 计算结构位移的目的,(1) 刚度要
2、求,在工程上，吊车梁允许的挠度 1/600 跨度；,桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁 最大挠度 1/700 和1/900跨度,高层建筑的最大位移 1/1000 高度。 最大层间位移 1/800 层高。,(2) 超静定结构计算,（3）施工要求,（4）动力和稳定计算,如屋架在竖向荷载作用下，下弦各结点产生虚线所示位移。,将各下弦杆做得比实际长度短些，拼装后下弦向上起拱。,在屋盖自重作用下，下弦各杆位于原设计的水平位置。,建筑起拱,4、计算方法： 本章只讨论线性变形体系的位移计算，计算方法是单位荷载法，其理论基础是虚功原理。 线性变形体系和叠加原理的使用条件是：材料处于弹性阶段，应力与应变成正比；
3、小变形。因此可以应用叠加原理计算结构的位移。,2、引起位移的主要原因,3、计算结构位移的目的,（2）实功：力在本身引起的位移上作功，恒为正值 （3）虚功：力在其它原因引起的位移上所作的功（力在虚位移上作的功），可正可负,力与位移同向，虚功为正，力与位移反向，虚功为负。 虚位移：与作功的力无关。是结构的支承条件和变形条 件允许的微小位移。 引起位移的原因：可以是一组力，温度变化、支座位移 等，也可以是假想的位移，故称为“虚”。,第二节 变形体的虚功原理,一、功、实功和虚功,（1）功：力对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,第二节 变形体的虚功原理,一、功、实功和虚功,功：力
4、对物体作用的累计效果的度量 功=力力作用点沿力方向上的位移,实功：力在自身所产生的位移上所作的功,虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功,第二节 变形体虚功原理,一、功、实功和虚功,力状态,位移状态,（虚力状态）,（虚位移状态）,注意： （1）属同一体系； （2）均为可能状态。即位移 应满足变形协调条件； 力状态应满足平衡条件。 （3）位移状态与力状态完全无关；,在功的计算公式W=P中，涉及到两方面因素： 与力有关的因素： 例如，一个力、一个力偶、一对力、一对力偶。把这些与力有关的因素称为广义力； 与广义力相应的位移因素： 例如，与集中力相应的广义位移是该力的作用点的总位移在力的方向上的分量；
5、 广义力与相应广义位移的关系是：它们的乘积是虚功。,二、广义力、广义位移,二、广义力、广义位移,一个力系作的总虚功 W=P ,P-广义力; -广义位移,例: 1)作虚功的力系为一个集中力,2)作虚功的力系为一个集中力偶,3)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力偶,4)作虚功的力系为两个等值 反向的集中力,（1）内力虚功：当给体系一虚位移时，除了外力（荷载、反力）在虚位移上作虚功外，内力在相应变形上也要作虚功。内力在相应变形上所作的虚功称为内力虚功。 （2）变形体的虚功原理可描述为：变形体处于平衡的必要和充分条件是，对于任何虚位移，外力所作虚功总和，等于各微段上的内力在其变形上所作的虚功总和，称
6、为虚功方程。 即：外力虚功内力虚功,三、变形体虚功原理,外力虚功的计算:,微段外力:,微段变形可看成由如下几部分组成:,（3）变形体虚功方程的展开式,虚功有两种常见表达形式：由于产生虚功的力和位移无关，因此，即可以把位移看作是虚设的，也可以把力看作是虚设的。 （1）位移是虚设的，虚功可以描述为：实际存在的力虚设的位移，由于位移是虚设的，这种形式下的虚功原理又叫做虚位移原理，可以用于求未知力。 （2）力是虚设的，虚功可以描述为：实际存在的位移虚设的力，由于力是虚设的，这种形式下的虚功原理又叫做虚力原理，可以用于求未知位移。,四、虚功原理的应用,第三节 结构位移计算的一般公式,（1）计算两种状态的
7、外力虚功和内力虚功：,（2）结构位移计算的一般公式：,例: 1)求A点水平位移,所加单位广义力与所求广义位移相对应,该单位 广义力在所求广义位移上做功.,（3）单位力状态的确定,2)求A截面转角,3)求AB两点相对水平位移,4)求AB两截面相对转角,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,P=1,试确定指定广义位移对应的单位广义力。,一.单位荷载法,求k点竖向位移.,由变形体虚功方程:,变形协调的 位移状态(P),平衡的力 状态(i),We =Wi,We =P iP,Wi =NiP +QiP +MiP ds,iP
8、 =NiP +QiP +MiP ds,适用于各种杆件体系(线性,非线性).,第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算,一.单位荷载法,求k点竖向位移.,变形协调的 位移状态(P),平衡的力 状态(i),iP =NiP +QiP +MiP ds,-适用于各种杆件体系(线性,非线性).,对于由线弹性直杆组成的结构，有：,适用于线弹性 直杆体系,第四节 静定结构在荷载作用下的位移计算,1.梁与刚架,二.位移计算公式,2.桁架,3.组合结构,4.拱,这些公式的适 用条件是什么?,解：,例2:求图示桁架(各杆EA相同)k点水平位移.,NP,Ni,练习:求图示桁架(各杆EA相同)k点竖向位移.,NP,Ni,
9、复习,刚架与梁：,桁架：,拱或组合结构：,静定结构的位移计算公式,在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍计算位移的图乘法.,第五节 图乘法,刚架与梁的位移计算公式为：,图乘条件：（1）EI为常量或分段为常量；（2）杆轴为直线或分段为直线；（3）MP、,中至少有一个为直线或分段为直线。,一、图乘法公式推导,(对于等 截面杆),(对于直杆),图乘法求位移公式为:,二、几种常见图形的面积和形心位置的确定,二次抛物线,三、图乘应注意的几个问题,（1）当MP与 在杆轴同侧时，取正号；异侧时，取负号。（2）取 坐标的图必须是直线变化，或分段为直线变化。,三、图乘应注意的几个问题,例3,解：,图,图,例3
10、:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解:,例4. 试求图示梁B端转角、跨中竖向位移。,解:,MP,Mi,为什么弯矩图在 杆件同侧图乘结 果为正?,已知 EI 为常数，求A截面竖向位移及转角位移。,A,练习,B,例5. 试求图示结构B点竖向位移.,解:,MP,Mi,四、图形分解,求,MP,Mi,MP,Mi,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,Mi,取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,例：,求,四、图形分解,求,MP,Mi,当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.,MP,Mi,例：,求,图、图形分解,求,Mi,取 y
11、c的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.,四、图形分解,求,MP,Mi,例：求图示梁中点C的挠度。,解：,3a/4,C,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,五、图乘法小结,1. 图乘法的应用条件：,（1）等截面直杆，EI为常数；,（2）两个M图中应有一个是直线；,（3） 应取自直线图中。,2. 若 与 在杆件的同侧， 取正值；反之，取负值。,3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.,例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 。,六、应用举例,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 ,并画出变形图。,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,例
12、 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。,六、应用举例,例：求C点水平位移。,EI=常数,例：求A端转角位移 和C点竖向位移 。,EI=常数,（ ）,求B点水平位移。,练习,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,注意:各杆刚度 可能不同,MP,Mi,解:,例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角,练习,求简支梁跨中C截面竖位移。,C,求悬臂梁B截面竖位移。,练习,求简支梁跨中C截面竖位移。,C,求悬臂梁B截面竖位移。,ql2/2,图,图,图,1,l,3l/4,图,Pl/4,l/4,C,例：求图示梁C点的挠度。,Pl/2,解：,作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,已知 EI 为常数，求B截面
13、转角。,MP,解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图,变形体虚功方程为: 外力虚功=内力虚功,外力虚功=1kC+R1 C1 +R2 C2+R3 C3,内力虚功=0,其中:,计算公式为:,第六节 静定结构支座移支时的位移计算,解：虚设力状态，求反力如右图所示。,例1：求图示结构C点水平位移,解：虚设力状态，求反力如右图所示。,例2：,解：设虚拟单位荷载，由平衡条件，求支座反力 如右图所示。,例3：求图示结构由于支座移动产生的位移。,第七节 互等定理,1. 功的互等定理:,由虚功原理,在线弹性变形体系中，第一状态的外力在第二状态的位移上所的做虚功，恒等于第二状态的外力在第一状态的位移上所做的虚功。这就是功的互等定理。,2. 位移互等定理:,由功的互等定理有：,第一状态的单位力，引起第二状态的单位力作用点处沿力方向的位移，恒等于第二状态的单位力，引起第一状态的单位力作用点处沿力方向的位移。这就是位移互等定理。,单位广义力是量纲为一的量；,互等不仅是指数值相等，且量纲也相同。,如图示长 l ，EI 为常数的简支梁,数值、量纲都相等,3. 反力互等定理:,由功的互等定理有：,支座 1 发生单位广义位移所引起的支座2中的反力恒等于支座 2 发生单位广义位移时所引起的支座1中的反力。这就是反力互等定理。,