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1、三、应力理论,1. Cauchy,定义在即时构形中的应力张量 又称真应力.,变形后斜截面上的应力矢量:,作用于 上的力:,2第一类P-K(Piola-Kirchhoff)应力P,又称名义应力,P称为第一类P-K应力,根据Nanson公式:,令:,其中:,注意内力不是真正作用在面元 上.,其中:,也是两点张量,3. Kirchhoff 应力张量,Kirchhoff应力张量与Cauchy应力张量一样,也是对称张量,根据定义有:,分量形式:,同理:,定义在即时构形中的张量,4第二类P-K应力T,定义:,根据定义:,所以:,则第二类P-K应力也是对称张量。,由于:,分量形式,有:,作用于即时构形中面元
2、 上的内力通常有三种表示方法:,四、连续介质力学基本方程,1、质量守恒,根据质量守恒率:,所以:,其中:,对方程两边求物质导数:,可证明:,所以:,率形式的质量守恒律,证明:,则有:,而:,所以:,而:,所以:,2. 动量方程 （Balance of linear momentum ）,对此域运用动量定理:,由GREEN公式:,由于域是任意的:,对于体积力为零的静力学问题:,2.1 以前的推导,2.2 第二种方法,引理：在即时构型上体积分的物质导数,所以：,动量矩定理:,3. 角动量方程 （Balance of angular momentum ）,所以：,4. 守恒率的一般形式,如果采用欧拉
3、描述，上述三个守恒率可表达为：,固体力学常采用拉格朗日描述：,其中：,拉格朗日描述中，体元体积不变：,对物质坐标求散度,5. 能量平衡律,根据热力学第一定律，总能量P的物质导数，即对时间的 变化率等于作用于v域的外力功率与每单位时间从v域外部 所加的热：,式中h表示热流矢量（或称热通量），即每单位时间每单位 面积的热流，k表示每单位质量接受外部的热（称为热源）,由质量守恒知: 的物质导数为零,所以:,又,根据平衡方程:,而,所以:,又:,其中:,为变形率张量,旋率张量反对称,所以:,由于上式对任意域成立,所以有:,微分形式的热力学第一定律,积分形式的热力学第一定律,定义变形功率w为,它表示参考
4、构形中每单位体积（也就是即时构形中单位体积的J倍) 的变形功率.,即:,引理2:,即:,可以推广于多个二阶张量点积的情况，例如,的其它表达形式,由于:,有:,我们称: 和 为一对功共轭的应力应变张量.,微分形式的热力学第一定律,Reddy书,6. 熵不等式, 熵平衡律 (热力学第二定律）,以表示温度（绝对温度,0），则由热力学第二定律，必有:,式中h/称为熵流，k/称为熵源。,积分形式的热学第二定律,对于不可逆过程，式中取“”号，而对于可逆过和，则取“=”。,总熵的生成率,7. 本构关系,本构理论研究应力张量与物体运动历史的关系, 主要是应力与应 变之间的关系, 本构关系必须满足一定的原理.,坐标不变性原理: 任何一个物理过程与所选的坐标系没有关系, 如果用张量的抽象记法描述本构关系, 则坐标不变性自然满足.,2. 应力确定性原理: 物体的应力只取决于它过去的全部变形历史, 而与将来的运动变形无关.,3. 局部作用原理: 某点的应力只与该点无限小邻域的运动状态 有关. 注意: 非局部理论是当前固体力学的研究热点之一!,4. 本构的客观性原理: Cauchy应力是客观张量.,