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1、3.2 3.2.4 二面角及其度量,32.4二面角及其度量,山体滑坡是一种常见的自然灾害甲、 乙两名科技人员为了测量一个山体的倾斜程 度，甲站在水平地面上的A处，乙站在山坡 斜面上的B处，A、B两点到直线l(水平地面 与山坡的交线)的距离AC和BD分别为30 m和40 m，CD的长为60 m，AB的长为80 m.,问题1：平面BCD与平面ACD的交线是直线CD吗？ 提示：是 问题2：如何求水平地面与斜坡面所成的角？,1二面角的相关概念 (1)二面角及其平面角,其中的每一,一条直线出发的两个半平面,这条直线,每个半平面,l,AlB,任取一点O,AOB,部分,(2)二面角的范围 设二面角为，则 2
2、直二面角 平面角是 的二面角叫直二面角 3二面角的度量 (1)分别在二面角 l的面，内，作向量n1l，n2l，则可以用n1，n2来度量二面角l. (2)设m1，m2，则m1，m2与二面角l大小 或 ,0180,直角,相等,互补,1二面角是图形，它是由两个半平面和一条棱构成的 2二面角的大小通过平面角的大小来度量 3将二面角转化为两个平面的法向量的夹角求解时，应注意二面角是锐角还是钝角的判断,例1如图：ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VAVBVCAB，求二面角AVBC的余弦值,思路点拨先判断VAB，VBC为等边三角形，取VB的中点E，连接AE，CE，再证明AEC是二面角的平面角,一点
3、通用定义求二面角的步骤： (1)作(找)出二面角的平面角； (2)证明所作平面角即为所求二面角的平面角； (3)解三角形求角,1在本例中，若点E为VB的中点，求二面角EACB的 大小,解：连接BD，记ACBDO，则 ACBD. 又VAABVBBCVC， VBAE，VBEC， VB平面EAC，AEEC. 连接EO，则EOAC，,2.如图，在四棱锥VABCD中，底面 ABCD是正方形，侧面VAD是正三 角形，平面VAD底面ABCD. (1)证明AB平面VAD； (2)求面VAD与面VDB夹角的正切 解：(1)证明：平面VAD平面ABCD，交线为AD. AB平面ABCD，ABAD. AB平面VAD.
4、,例2矩形ABCD中，AB4，AD3，沿对角线AC折起，使D在平面ABC上的射影E恰好落在AB上，如图所示，求二面角BACD的余弦值,3如图所示，甲站在水库底面上的点 A处，乙站在水坝斜面上的点B处， 从A，B到直线l(库底与水坝的交线) 的距离AC和BD分别为a和b，CD的长为c，AB的长为d.求库底与水坝所成二面角的余弦值,例3如图，四棱锥PABCD中， 底面ABCD为平行四边形，DAB60， AB2AD，PD底面ABCD. (1)证明：PABD； (2)若PDAD，求二面角APBC的余弦值,思路点拨(1)先由BD2AD2AB2得到BDAD，进而证得BD平面PAD.(2)求出平面APB的法
5、向量n，平面PBC的法向量m，由cosm，n求得,一点通设n1、n2分别是平面、的法向量，则向量n1与n2的夹角(或其补角)就是两个平面夹角的大小 解题步骤如下：,4(2012广东高考)如图所示，在四棱锥PABCD中， 底面ABCD为矩形，PA平面ABCD，点E在线段PC 上，PC平面BDE. (1)证明：BD平面PAC； (2)若PA1，AD2，求二面角BPCA的正切值,解：(1)证明：PA平面ABCD，BD平面ABCD， PABD. 同理由PC平面BDE可证得PCBD. 又PAPCP，BD平面PAC. (2)如图，分别以射线AB，AD， AP为x轴，y轴，z轴的正半轴建 立空间直角坐标系 由(1)知BD平面PAC， 又AC平面PAC，BDAC. 故矩形ABCD为正方形，ABBCCDAD2.,点击下图进入“应用创新演练”,