凸集的几个基本性质.pdf

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1、第 1 1 卷 第 2期 2 0 1 0年 4月 北华大学学报( 自然科学版) J O U R N A L O F B E I H U A U N I V E R S I T Y ( N a t u r a l S c i e n c e ) Vo 1 1 l No 2 A p r 2 0 1 0 文章编号： 1 0 0 9 - 4 8 2 2 ( 2 0 1 0 ) 0 2 - 0 1 2 2 -0 3 E 凸集的几个基本性质 姜燕， 余国林， 王青水 ( 北方民族大学 信息与计算科学学院， 宁夏 银川7 5 0 0 2 1 ) 摘要： 利用比较与分析的方法， 由E - 凸集的定义出发， 研

2、究了E 一 凸集的若干基本性质 所得结果丰富并深化了凸 分析的基本内容， 拓宽了广义凸性在优化理论及其应用中的研究范围 关键词： 凸集； E 一 凸集； 广义凸性； E 一 凸规划 中图分类号 ： 0 2 2 1 文献标识码 ： A S o me Ba s i c Pr o p e r t i e s o f E c o n v e x S e t s J I A N G Y a n ， YU G u o - l i n ， WA N G Q i n g s h u i ( I n s t i t u t e o fI n f o r m a t i o n a n d S y s t e m

3、 C o m p uta t i o n S c i e n c e ， T h e N o a h U n i v e r s i t y f o r E t h n i c s ， Y i n c h u a n 7 5 0 0 2 1 ， C h i n a ) Ab s t r a c t ：I n t h i s p a p e r ， s o me b a s i c p r o p e r t i e s o f E c o n v e x s e t s a r e i n v e s t i g a t e d b y u s i n g t h e me t h o d s

4、 o f c o mp a r i s o n a n d a n a l y s i s B a s e d o n t h e c o n c e p t o f E c o n v e x s e t s ， the r e s u l t s e n r i c h a n d e n l a r g e t h e f i e l d s o f o p t i mi z a t i o n t h e o r y a n d a p p l i c a t i o n s Ke y wor d s：c o nv e x s e t s； E- c o n v e x s e t s

5、； g e ne r a l i z e d c o n v e x i t y； E c o n v e x p r o g r a mmi n g 1 引 言 凸集和凸函数在最优化理论中有着广泛的应用， 但实际问题的许多集合和函数是非凸的， 这就限制了 凸集和凸函数在一些学科 ， 特别是在最优化理论与方法 中的发展及应用 针对此问题 ， 一些广义凸集和广 义凸函数的概念由学者们相继提出 1 9 9 9年 ， Y o u n e s s 引入 了一类 重要 的广义凸集和广义凸函数的概 念 ， 称之为 E - 凸集和E - 凸函数 Y o u n e s s 还对 E 一 凸数学规划进行 了研

6、究 ， 尽管其中有些结论是不正确的， 但 这并未影响国内外学者对这一广义凸性的研究兴趣 ， 如 Y a n g _ 2 和 J i a n ! 分别指出了文献 1 中的错误 ， 并 给出了相应的反例 ； C h e n L 4 在 E 凸集和 E 凸函数概念的基础上提 出了半 E 一 凸性和拟半 E 一 凸性的定义 ， 讨 论了它们的一些基本性质， 并将其结果应用于数学规划问题； 2 0 0 1 年， Y o u n e s s 在凸规划的基础上提出 了E 一 凸规划问题， 得到了相应的E F ri t z J o h n和E K u h n t u c k e r 条件； 同年， Y o u

7、 n e s s 又提出了拟 E 凸和严 格拟 E 一 凸函数的概念， 并对其性质进行了研究； 随后， Y o u n e s s 等 等进一步给出了半强E - 凸函数的概念； 最近 ， D u c a等 又研究了 E 一 凸函数的上图 但是 ， 关于 E 一 凸集和 E 凸函数的一些最基本性质文献 中并未 涉及 ， 本文给出 E 凸集 的几个常用性质 收稿 日期 ： 2 0 0 9 1 2 - 0 9 基金项 目： 国家 自然科学基金资助项 目( 1 0 9 0 1 0 0 4 ) ； 国家民委 自然科学基金项 目( 0 9 B F 0 6 ) ； 宁夏 自治区 自然科学基金项 目( N Z

8、 0 9 5 9 ) 作者简介： 姜燕( 1 9 8 5 一) ， 女， 讲师， 硕士， 主要从事优化理论及其应用研究 第 2 期 姜燕， 等： E 一 凸集的几个基本性质 2 主要结 果 定义2 1 【 1 设集合 M c ， 若存在 E： “ ， 使得对于 V ， YM， V 0A 1 ， 有( 1一 A) E ( )+A E( Y )M， 则称 为 E 一 凸集 显然， 在定义 2 1 中若取映射 E为单位映射， 则正好是凸集的定义， 因此， E 一 凸性是较弱的一种广义 凸性 定理2 1 设集合 g c ， E ： “ ， 若 E ( M) 是凸集， 则 ( l+O 2 ) E( M

9、r )= 1 E( )+O L 2 E( ) ， V 1 ， O 20 ( 2 1 ) 证明必要性 当 。=O t 2=0时 ， 结论显然成立 下设 。+O 0 先证式( 2 1 )右端包含左端 设 Vz ( O 。+ ) E( M) ， 则存在 M， 使 。= ( 。+O ： ) E( )= 1E( )+ 2 E( 戈 ) ， 因为 1 E( )O t l E( ) ， 0 c 2 E( x ) 2 E( M) ， 故 zO l E ( )+O L 2 ( ) ， 故有( O t 1+ O t ) E ( M)c 1 E ( M) + E ( M) 为证式( 2 1 ) 的左端包含右端， 任

10、取z ， E ( M)+ ： E ( M) ， 则存在 ， 2M使 = E ( ， ) + zE ( z ) = ( + z ) ( E ( 。 ) + E ( ) ) 因为 E( )是凸集 ， 所 以 = - E( )+= _ 一 E( )E( ) ， 由此可得 z( ， + ) E( ) ， 故有( Ot l 十 l 十 ， + 2 ) E ( M)D l E( M)+O 2 E( ) 定理2 2 设集合 M c “ ， E： _ 陬 ， E ( )c 若式( 2 1 ) 成立， 则 是 E 一 凸集 1 1 1 1 1 t 已知式( 2 1 )成立 对于任意 。 ， ：M 和任意的 A

11、( 0， 1 ) ， 任取 0， 令 a ：= 。 ， 则有 A ： ， 1一A ： ， 由式( 2 1 )知 I 十 2 I t“ 2 lE( 1 )+ 2 E( 2 ) l E( M)+ 2 E( M)= ( O L 1 +O 2 ) E( M) ， 故存在 M有 lE( 1 )+ 2 ( 2 )=( 1+ 2 ) ( ) ， 即 )= O -)+ ) T + 7 T + ， 所以有 +( 1-A) z )= 。 )+ E ( X 2 ) ( )酣( )c M， 于是 由定义 2 1知 M是 E 一 凸集 定理 2 3 设 M c ( i ， ， ， 是指标集) 是 E 凸集， 映射 E

12、： a ) 若， = 1 ， 2 ， ， m 是 有限 指标 集， _R E ： 一 是线 性映 射， 0 fi ( i = 1 ， 2 ， ， m ) ， 则 M 为 E 一 凸集 b )若 ， 为任意指标集， 则 n _ Mi 是 E 一 凸集 证明 a ) 任 取 ， a iM i ， 则 存在Y ， ， ， ， y ， z ， ， ， 使 得 。= o t iy i ， = ， 所 以对任意的 A 0 ， 1 ， 注意到 E为线性映射 ， 有 c X,2 ， = A E ( ) (薹 ) = 此即 M 为E 凸 集 i ： 1 ( A E ( y i ) + ( 1 一 A ) E (

13、 ) ) =1 ， i =1 ! ! 堡 兰堂塑! 鱼 签 型兰 2 笙 ! 鲞 b )任取 l ， 2_n ， ，则有 。 ， 2 ， ， ， 对任意的A 0 ， 1 ， 有A ( 1 ) +( 1 一 A ) E ( x 2 )M i ， iL因此 A E ( x 1 )+( 1一A ) E( x 2 )_n M ， 由此知 n 是 E 一 凸集 定理 2 4 设 是线性空间， ： ， E： 一 均为线性映射 ， 则 a )若 c 是 E 凸集 ， 则 ( )c 是 E - 凸集 b )若 c 是 E 凸集， 则 ( )C V 是 E 一 凸集 证明a ) 任取Y 。 ， Y 2L ( M

14、) ， 则存在 1 ， 2 E M， 使得Y l=L ( x 1 ) ， Y 2=L ( x 2 ) ， 对于任意的A 0 ， 1 ， 因 是 E 一 凸的， 故A E ( )+( 1一A ) E ( x ： ) 再由 是线性映射， 可得 A E ( y 。 )+( 1一A ) E( Y 2 )=A E( L ( x 1 ) )+( 1一A ) E( L ( x 2 ) )= L ( h E( x 1 )+( 1一A) E( x 2 ) )L ( M) ， 故 L ( )c W是 E 一 凸集 b )因 也是线性的， 其证法与 a )类似 定理2 5 设 c 为非空子集， E ： 一 ， 是

15、E - 凸集当且仅当对任何正整数 m2 及任意 的 M， A 0 ( =1 ， 2 ， ， m) ， A =1 ， 使得 h iE ( x ) ( 2 2 ) 证明充分性 在式( 2 1 )中取 m =2 ， 由定义 2 1可知成立 必要性 用数学归纳法 当m ：2时 ， 由 是 E 凸的可知式( 2 2 ) 成立 假设 已知 m =k 时式( 2 2 ) 成 立 ， 令 E ( )=h iE ( x ) ， ( 2 3 ) 其中， A O ( i ： 1 ， 2 ， ， k + 1 ) ， A = 1 若A =1 ， 则E ( z ) = E ( x ) Mff _ 若A 川1 ， 因 式

16、( 2 2 ) 对 m =k成立 ， 故有 z M， 使得 E ( z )= E ( X i ) ， 其 中， 0 ( =l ， 2 ， ) ， x ,r 1 由此， 根据式( 2 3 ) 和 的E - 凸性得到 上 E( z )= 人 E ( x )+h k + l E ( x + 1 )=( 1一h “ 1 ) E ( z )+A + l E( x + 1 )M， 即 m =k+1时也成立 参考文献 ： 1 Y o u n e s s E A E - c o n v e x S e t ， E - c o n v e x F u n c t i o n s ， a n d E - c o

17、n v e x P rog r a m mi n g J J o u r n a l o f O p t i mi z a t i o n T h e o r y a n d A p p l i c a t i o n s ， 1 9 9 9 ， 1 0 2 ( 2 ) ： 4 3 9 - 4 5 0 2 Y ang X M O n E C o n v e x S e t ， E - C o n v e x F u n c t i o n s ， and E C o n v e x P r o g r a m mi n g J J o u r n a l o f O p t i mi z a

18、t i o n T h e o ry and A p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 1 ， 1 0 9 ( 3 ) ： 6 9 9 - 7 0 4 3 J i an J B I n c o r r e c t R e s u l t f o r E - C o n v e x F u n c t i o n s a n d E - C o n v e x P r o g r a m m i n g J M a t h e m a t i c a l R e s e a r c h a n d E x p o s i t i o n ， 2 0 0 3 ， 2 3 (

19、3 ) ： 4 6 l -4 6 6 4 X i u s u C h e n S o me P r o p e r t i e s o f S e m i - E - c o n v e x F u n c t i o n s J M a t h e m a t i c a l A n a l y s i s and A p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 2 ， 2 7 5 ： 2 5 1 - 2 6 2 5 Y o u n e s s E A O p t i m a l i t y C ri t e ri a i n E - c o n v e x P r o g

20、r a m m i n g J C h a o S o l i t o n s and F r a c t a l s ， 2 0 0 1 ， 1 2 ： 1 7 3 7 1 7 4 5 6 Y o u n e s s E A Q u a s i a n d S t ri c t l y Q u asi E - c o n v e x F u n c t i o n s J S t a t i s t i c s and M a n a g e m e n t S y s t e m s ， 2 0 0 1 ， 4 ： 2 0 1 - 2 1 0 7 Y o u n e s s E A， T

21、a r e k E ma m S e mi S tr o n g l y E - C o n v e x F u n c t i o n s J J o u r n al o f Ma t h e ma t i c s a n d S t a t i s t i c s ， 2 0 0 5 ， 1 ( 1 ) ： 5 1 - 5 7 8 D u c a D I ， L u p s a L L O n t h e E E p i g r a p h o f a n E C o n v e x F u n c t i o n s J J o u rnal o f O p t i m i z a t i o n The o ry and A p p l i c a t i o n s ， 2 0 0 6 ， 1 2 9 ( 2 ) ： 3 4 1 3 4 8 【 责任编辑： 伍林】