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1、第五章 梁弯曲时的位移,(Displacements of Bending Beam),廖东斌 编制,13451911061,一.概 述,第五章 梁弯曲时的位移,三.挠曲线近似微分方程,四.叠加法计算梁的位移,五.梁的刚度计算,二.梁的位移挠度及转角,能量法I-静定结构变形计算,一.概 述,1.工程实践中的弯曲变形问题 在工程中，对某些受弯构件，要求变形不能过大，即要求构件有足够的刚度，以保证正常工作。,在另外一些情况下，却要求构件具有较大的弹性变形，以满足特定的工作需要。,变形过大的不利影响（工程实例）,摇臂钻床的摇臂等变形过大，就会影响零件的加工精度，甚至会出现废品。,摇臂钻床,(自重、钻
2、头等约束力影响）,桥式起重机的横梁变形过大,则会使小车行走困难，出现爬坡现象。,传动轴的支座处转角过大，轴承发生磨损。,车辆上的板弹簧，要求有足够大的变形，以缓解车辆受到的冲击和振动作用。,变形的有利方面（工程实例）,求解超静定问题。,二.梁的位移挠度及转角,挠度w：横截面形心处的铅垂位移。,转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。,梁对称弯曲时用什么参数表示轴线的变形?,?,x,y,挠度w：横截面形心处的铅垂位移。,转角 ：横截面绕中性轴转过的角度。,挠曲线,挠曲线(deflection curve):变形后的轴线。,工程实例,控制截面的挠度、控制桥墩的水平位移,工程中测量挠度的方法、仪器,精密水
3、准仪、全站仪、GPS、机电百分表、光电方法等,三.挠曲线近似微分方程,1.挠曲线方程(deflection equation),挠曲线方程：,转角方程：,曲线 w = f (x) 的曲率为,梁纯弯曲时曲率由几何关系得,问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？,考虑小变形条件：,问题的关键：考虑上式中的取正还是取负？,思考:与小挠度微分方程 相对应的坐标系为？ （ ）,x,x,x,y,y,y,(a),(b),(c),教材中采用（a)图坐标系,2. 积分法求弯曲变形,式中积分常数C、D由边界条件确定,弯矩方程不分段时,弯矩方程分n段时，积分常数个数为,2n,由边界条件确定的方程需要2n个,方法的局限
4、性：外力复杂或多跨静定梁时计算量过大,光滑连续条件：,F,C,边界条件,约束条件:两端铰处挠度为零。,铰支座对位移的限制(A、B处挠度为零）,连续光滑曲线(A、B处转角、挠度唯一）,边界条件,固定端约束对位移的影响：B处转角、挠度?,连续光滑曲线,边界条件,例1.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在均布载荷q作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,由边界条件：,得：,最大转角和最大挠度：,A,B,（）,（ ）,转角为正时，表示其转向和由x轴转向y轴的时针相同；挠度为正时，表示其方向和y轴正向相同。,例2.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示悬臂梁在集中力P作用下的转角方程
5、、挠曲线方程，并确定max和wmax。,解：,由边界条件：,得：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,B,另解：,边界条件：,梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例3已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁在集中力F作用下的转角方程、挠曲线方程，并确定max和 wmax。,解：,由边界条件：,得：,由对称条件：,得：,思考：,?,AC段梁的转角方程和挠曲线方程分别为：,最大转角和最大挠度分别为：,例4.已知梁的抗弯刚度为EI。试求图示简支梁的转角方程、挠曲线方程，并确定max和wmax。(请同学课后思考）,四.用叠加法计算梁的变形,在材料服从胡
6、克定律、且变形很小的前提下,载荷与它所引起的变形成线性关系。,若计算几个载荷共同作用下在某截面上引起的变形，则可分别计算各载荷单独作用下的变形，然后叠加。,当梁上同时作用几个载荷时，各个载荷所引起的变形是各自独立的，互不影响。,如图示，要计算三种载荷作用下在某截面如C截面挠度，则可直接查表：各载荷单独作用下的挠度，然后叠加（代数和）。,如果不能直接查表，则要采用分段刚化等方法化成可查表形式。,例5.用叠加法求,解：,将梁上的各载荷分别引起的位移叠加P361,逐段刚化法：,变形后：ABAB BC BC,C点的位移为：wc,例6.若图示梁B端的转角B=0，求力偶矩m和P的关系？,解：,例7.求外伸
7、梁C处的位移。,L,a,C,A,B,P,解：,BC引起的位移,刚化AB,刚化BC， AB部分引起的位移,C,A,B,P,B2,B2,例8. 求图示变截面梁B、C截面的挠度 。,解：,思考:梁横截面为边长为a的正方形，弹性模量为E1；拉杆横截面为直径为d的圆，弹性模量为E2。求:拉杆的伸长及AB梁中点的挠度。,四、图形互乘法,二、卡氏第二定理,三、单位力法,能量法I-静定结构变形计算,一、杆件的应变能,在弹性范围内，弹性体在外力作用下发生变形而在体内积蓄的能量，称为弹性应变能，简称应变能 (又称变形能)。,一、杆件的应变能,物体在外力作用下发生变形，物体的变形能在数值上等于外力在加载过程中在相应
8、位移上所做的功，即, 杆件应变能计算,1、轴向拉伸和压缩,一般地,2、扭转,一般地,3、弯曲,一般地,纯弯曲：,横力弯曲时剪力影响：,一般地,对横力弯曲的梁，截面上弯矩和剪力，当高跨比较大（长梁）时，剪切变形能影响较小，可忽略不计，对短梁应考虑剪切变形的影响。,长梁应变能：,组合变形应变能：,对于线弹性体，其应变能对某一荷载 的偏导数，等于该荷载的相应位移i。,用卡氏第二定理求结构某处的位移时，该处需要有与所求位移相应的荷载。 如需计算某处的位移，而该处并无与位移对应的荷载，则可采取附加力法。,二、卡氏第二定理,卡氏第二定理应用于计算梁的截面转角和挠度,计算梁截面转角,计算梁的截面挠度,例1弯
9、曲刚度为EI的悬臂梁受三角形分布荷载作用，不计剪力对变形影响。用卡氏第二定理计算悬臂梁自由端A处转角。,解：,A处无与转角对应的力偶，可附加力偶。,任意截面弯矩为,( ),请课后完成A处挠度的计算,例2图示平面折杆AB与BC垂直，在自由端C受集中力P作用。已知各段弯曲刚度均为EI,拉伸刚度为EA 。试用卡氏第二定理求截面C的水平位移和铅垂位移。,解：1.计算C处铅垂位移,任意截面弯矩方程,轴力方程为,2.计算C处水平位移,请同学课后完成水平位移的计算,三、单位力法,（单位载荷法）,对于梁,弯矩应用完全叠加法表示,应用卡氏第二定理,应变能,对于梁,有莫尔积分,对应于去掉原结构中外力,只在i处加相
10、应单位力后的弯矩方程,对应于原结构的弯矩方程。,计算梁截面转角时,加单位力偶矩1,计算梁截面挠度时,加单位集中力1,对于组合变形时,推广为,对于平面桁架,对应于去掉原结构中外力,只在i处加相应单位力后的弯矩方程,例3.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,计算自由端B处挠度和转角。,解：1.计算B处挠度,2.计算B处转角,( ),四、图形互乘法,在应用莫尔积分求梁位移时，需计算下列形式的积分：,对于等直杆，EI=const，可以提到积分号外，故只需计算积分,直杆 图必定是直线或折线。,图中对应于C下纵坐标,在平面刚架,组合结构时，用下列形式计算,注意: 分段必须为直线段,在取面
11、积的图中找形心,另图找对应的纵坐标,M分段为直线段时,也可以,找纵坐标的图必须为直线段,顶点,顶点,二次抛物线,参考用图,例4.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受分布力集度为q ,计算自由端B处转角。,解：1.画M图,2.画 图,(请同学画出),(请同学画出),3. 图乘,许可挠跨比和许可转角，它们决定于构件正常工作时的要求。,五、梁的刚度计算,刚度条件：,例9.图示工字钢梁， l =8m， Iz=2370cm4, Wz=237cm3， w = l500，E=200GPa，=100MPa。试根据梁的刚度条件，确定梁的许可载荷 P，并校核强度。,解：由刚度条件, 提高弯曲刚度的措施,影响梁
12、弯曲变形的因素不仅与梁的支承和载荷情况有关，而且还与梁的材料、截面尺寸、形状和梁的跨度有关。所以，要想提高弯曲刚度，就应从上述各种因素入手。,增大梁的抗弯刚度EI； 减小跨度或增加支承； 改变加载方式和支座位置。,选择题练习,1、钢筋緾绕一大圆滚筒上，关于钢筋的最大正应力( )。, 、与圆滚筒的半径无关, 、与圆滚筒的半径成正比, 、与圆滚筒的半径近似成反比, 、与圆滚筒的半径严格成反比,2、等刚度梁发生平面平面弯曲时，挠曲线的最大曲率在( )处。, 、转角最大, 、挠度最大, 、剪力最大, 、弯矩最大,3、与小挠度微分方程 相对应的坐标系为 （ ） ？,x,y,(a),、(a)和(c), 、
13、(a)和(b), 、(a)和(d), 、 (c)和(d),4、多跨静定梁的用二次积分法求变形时，正确的为( )。, 、弯矩方程和挠曲线方程可只分二段, 、C处连续条件为：挠度和转角连续。, 、A处边界条件为、：挠度为零，转角不为零, 、弯矩方程和挠曲线方程必须分三段,5、等截面梁纯弯曲时，关于挠曲线 ( )。, 、按二次积分法为圆弧, 、实际为圆弧, 、按积分法为抛物线，可见圆弧假设是近似, 、以上均不对,6. 不计自重的圆截面梁，外力作用于自由端， 如只有梁的长度增加一倍，外力作用于自由端，则自由端的挠度为原来的（ ）。, 、2倍, 、4倍, 、8倍, 、16倍,7. 不计自重的圆截面梁，外
14、力作用于自由端， 如只使外力增加一倍，其他不变，则自由端的挠度为原来的（ ）。, 、2倍, 、4倍, 、8倍, 、16倍,8.弯曲刚度为EI梁，正确说法为（ ）。,、A、B、C处转角相等,、B、C处转角不相等,、B处挠度为C处的二倍,、B处和C处转角相同,9. 弯曲刚度为EI的梁， B处转角等于（ ）。,、,、,、, 、,10. 图示力偶矩 ,则梁B端的转角为（ ）。,、,、,、, 、,11. 一等截面悬臂梁，在均匀自重作用下， 自由端的挠度与（ ）。, 、梁的长度成正比, 、梁的长度的平方成正比, 、梁的长度的立方成正比, 、梁的长度的四次方成正比,11. 简支梁，一为钢梁，另一为铝梁。两者
15、长度，刚度都相同，不计自重下， 跨中在相同的外力作用下，二者的（ ）不同。, 、最大挠度, 、最大转角, 、约束反力, 、最大正应力,12. 一水平梁的挠曲线方程为 则（ ）。,、梁的弯矩图为圆弧部分, 、梁的弯矩图为抛物线部分, 、梁的弯矩图为斜直线, 、以上均不对,13.已知悬臂梁长为l,弯曲刚度为EI , 受力大小为F ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。,14.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用图乘法计算自由端B处挠度和转角。,15.已知悬臂梁长弯曲刚度为EI , 受力如图 ,用卡氏第二定理计算自由端B处挠度时，有（ ）。,A.弯矩方程不分段。,B.弯矩方程分二段后，用卡氏
16、第二定理，应变能要对 F 求导。,C.弯矩方程分二段写时，可令B处的力为 ，用卡氏第二定理，应变能要对 求导。,D.以上均错。,F,F,l,l,16.已知杆拉伸刚度为EA, 则应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.,D.,17.已知杆拉伸刚度为EA , 应变能大小为 ,则,代表的意义为（ )。,18.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI ,忽略剪切应变能，总应变能大小为（ ）。,F,F,l,19.已知杆件拉伸刚度为EA ,弯曲刚度为EI , 设自由端单独竖向力作用时位移为f，单独水平力作用时位移为v，忽略剪切对变形影响，总应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.,D.以上均错误,20.已知梁弯曲刚度为EI ,m1=m2， 设自由端单独力偶作用时转角为2,中部单独力偶作用时，转角为1 ，则总应变能大小为（ ）。,A.,B.,C.0,D.以上均错误,21.已知杆拉伸刚度为EA, ，先作用 ，再作用 则 做的功大小为（ ）。,本章作业,习题5-4 (只求A处转角，五种方法),习题5-5(只求A处挠度，叠加法和图乘法二种方法),习题5-19（叠加法，单位力法，图乘法中任选二法）,*习题5-26（叠加法与图乘法中任选一法）选做,习题5-4的要求：分别用积分法，卡氏第二定理，叠加法，单位力法，图乘法五种方法）,