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1、第八章 能量法,一、杆件的应变能,二、应变能普遍表达式(克拉贝隆原理),三、卡氏定理,四、互等定理,六、超静定问题 力法,七、冲击应力,求解弹性体系(如杆件)的变形可采用的方法：,1、分析法/解析法,平衡方程静力平衡关系 几何方程变形几何关系 物理方程应力应变关系,利用应变能的概念，解决与弹性体系变形有关的问题的 方法。 在求解组合变形、曲杆或杆系以及超静定问题时，能量 法是一种非常有效的方法，是结构分析的基础。,能量法/基本概念,2、能量法,能量法有关的几个基本概念,3、能量守恒：忽略缓慢加载过程中动能和其它形式的能量损 失，杆件能量守恒，即杆内所储存的应变能U 在数值上与外力所作的功 W
2、相等。功能原理 UW,1、外力功:线弹性体系在外力的作用下产生变形，每个外力 在与它相对应的位移上所作的功 W。,2、应变能:弹性体受外力作用下产生变形而储存了能量，这个 被储存的能量即为应变能或变形能 U。,能量法/基本概念,一、杆件产生基本变形时的应变能,1、轴向拉伸或压缩,F,L,L,O,B,L,F,A,能量法/杆件的应变能,式中 轴力， A 横截面面积,由拉压杆件组成的杆系的应变能：,能量法/杆件的应变能,取微段研究：,微段的应变能：,整个杆件的拉压应变能,受力复杂杆(轴力沿杆的轴线变化)的应变能,q,L,dx,x,能量法/杆件的应变能,2、圆截面杆的扭转,Mx,L,Mx,O,B,Mx
3、,A,圆截面杆的应变能,式中 T 圆杆横截面上的扭矩； 圆杆横截面对圆心的极惯性矩。,能量法/杆件的应变能,受力复杂的圆截面杆(扭矩沿杆的轴线为变量),整个杆的扭转应变能为,可取微段分析：,能量法/杆件的应变能,3、平面弯曲,纯弯曲梁的应变能：,式中 M 梁横截面上的弯矩； I 梁横截面对中性轴的惯性矩,能量法/杆件的应变能,横力弯曲梁(弯矩沿梁的轴线为变量)的应变能,整梁的弯曲应变能,按微段分析：,和拉压、扭转应变能比较,能量法/杆件的应变能,4、剪切,纯剪切时微段梁的应变能：,FS,dx,FS,由于切应力在截面上并非均匀分布。引入系数k,因此 微段梁的应变能为：,能量法/杆件的应变能,整个
4、梁的剪切应变能：,式中,(b为截面的宽度，S为截面对中性 轴的静矩),(2)一般实心截面的细长梁:剪切应变能远小于其弯曲应变能，通常忽略不计。,(1) k 由截面的几何形状决定: 矩形截面:k = 1.2, 圆截面: k = 10/9,圆环形截面:k = 2,能量法/杆件的应变能,例：矩形截面悬臂梁，长L，截面高h，宽b，k = 1.2。,细长梁,整个梁的弯曲应变能：,细长梁的剪切应变能远小于弯曲应变能，可忽略不计！,整个梁的剪切应变能：,得,解：,二、应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理),F,基本变形下应变能的一般表达式：,式中F广义力(力或力偶)； 广义位移(线位移或角位移) 且 F =C
5、(力与位移成线性关系),表明：弹性体的应变能是一个状态量，仅决定于外力和位移的最终值，与加载的过程无关。,能量法/克拉贝隆原理,应变能的普遍表达式(克拉贝隆原理)的导出,能量法/克拉贝隆原理,证明：,即外力增加的过程为：,材料是线弹性的，则对应的位移也以的比例增加，相应的位移为：,式中 ：01 (从0线性增加到1),能量法/克拉贝隆原理,如果增加d，则位移的相应增量为：,则外力,在以上位移增量上所作的功为（略去高阶微量）：,积分得,此式称为克拉贝隆原理。,能量法/克拉贝隆原理,特别注意点：,广义力，可以是一个力，也可以是一个力偶， 或者是一对力，或者是一对力偶。,在所有力共同作用下(因 与全部
6、作用力有关)， 与广义力 相对应的沿着力的方向的广义位移。 力沿力矢方向的线位移 力偶力偶转向的角位移 一对力该对力两作用点沿力矢方向的相对线位移 一对力偶该对力偶两作用截面间沿力偶转向的相对角位移,能量法/克拉贝隆原理,力：F，位移：,力：m，位移：,例子,力：F，位移：,力：m，位移：,能量法/克拉贝隆原理,关于应变能计算的讨论,以上计算公式仅适用于线弹性材料在小变形下的应变形能的计算。,应变能可以通过外力功计算，也可以通过杆件微段上的内力功等于微段的应变能，然后积分求得整个杆件上的应变能。,3 应变能为内力（或外力）的二次函数，故叠加原理 在应变能计算中不能使用。 只有当杆件上任一载荷在
7、其他载荷引起的位移上不做功时，才可应用。例如：,能量法/克拉贝隆原理,4 应变能是恒为正的标量，与坐标轴的选择无关，在杆系结构中，各杆可独立选取坐标系。,能量法/克拉贝隆原理,M(x) 只产生弯曲转角,FN (x) 只产生轴向线位移,T(x) 只产生扭转角,不计FS 产生的应变能,例1 试计算图示吊车架的应变能，并应用它求节点A的 竖直位移。已知E=200GPa,F =57.6kN。斜杆AB由两根 50505mm等边角钢组成，每根角钢的横截面面积 ，横杆AC由两根No.10槽钢组成，每根槽钢 的横截面面积 。设各杆自重可以不计。,能量法/克拉贝隆原理,解:,由节点A的平衡条件求得AB杆的内力：
8、,AC杆的内力为：,杆系的应变能：,设节点A的竖直位移为 ，则由 得：,能量法/克拉贝隆原理,例2 图示等截面悬臂梁，E,A,I 已知。在自由端受集中力F 和集中力偶m 作用。设材料是线弹性的，试计算梁的应变能。考虑两种不同的加载次序，略去剪力的影响。,解：(1)集中力F和集中力偶m同时由零开始按比例逐渐增加至最终值。,梁自由端的转角为：,(方向与m一致),自由端的垂直位移为：,梁的应变能,能量法/克拉贝隆原理,(2) 先作用F,加载时做功为：,再加力偶矩m，外力所作的功为：,梁的总应变能：,从这两种不同的加载次序来看，梁的应变能仅与载荷的始 态和终态有关，而与加载次序无关。,能量法/克拉贝隆
9、原理,(3) AB 梁的应变能也可通过截面上的内力来计算。,代入应变能的内力表达式：,弯矩方程：,能量法/克拉贝隆原理,从结果中可以看到：第一、三项分别为F和m单独作用时的 应变能，故F、m同时作用在杆内所引起的应变能不等于各 载荷单独作用时所引起的应变能之和。其原因是这两个载 荷都使梁产生了同一种弯曲变形，彼此都在对方引起的位 移上做了功（结果中的第二项即代表F和m共同作用时在相 互影响下所做的功）。,能量法/克拉贝隆原理,三、卡氏定理,卡氏第二定理,卡氏第一定理,线弹性结构的应变能，对于作用其上的某一广义外力的变化率(偏导数)，等于与该广义外力相应的广义位移。,结构的应变能，对于结构上与某
10、一广义外力相应的广义位移的变化率，等于该广义外力的值。,能量法/卡氏定理,卡氏定理的特殊形式,(1)横力弯曲的梁：,(2) 小曲率的平面曲杆：,式中 s 沿曲杆轴线的曲线长度。,能量法/卡氏定理,(3) 桁架,(4) 产生拉(压)、扭转与弯曲的组合变形的圆截面等直杆,应用卡氏定理求出 为正时，表示该广义位移与其相应的广义力作用的方向一致；若为负值，则表示方向相反。,能量法/卡氏定理,在所求位移处沿所求位移的方向上加上一个虚设的集中力 或集中力偶 ；或一对力或一对力偶，此时应变能为：,或,若所得位移为正，则表示与附加力的方向一致；若为负值， 则表示与虚加力的方向相反。,附加载荷法,由卡氏定理得：
11、,能量法/卡氏定理,例5 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,解：,1.求B,(1)列弯矩方程，并求导,DC段：,CB段：,BA段：,能量法/卡氏定理,(2)求B,例5 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,能量法/卡氏定理,例5 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,解：,2.求D,(1)加附加力,DC：,CB：,BA：,(2)列弯矩方程,能量法/卡氏定理,例5 图示刚架的EI为常量，不计轴力和剪力影响，求B、D 。,(3)求D,能量法/卡氏定理,例6 图示弯曲刚度为EI的等截面开口圆环受一对集中力F作用。环的材料为线弹性的，不计圆环内
12、剪力和轴力对位移的影响。试用卡氏第二定理求圆环的张开位移。,解：,将一对力F视为广义力， 即为相应的广义位移,能量法/卡氏定理,例 7 图示梁的材料为线弹性体，弯曲刚度为EI。用卡氏第二定理求中间铰B两侧截面的相对转角 。 不计剪力对位移的影响。,分析：在中间铰B两侧截面处各加一个外力偶矩 MB 。,解：,能量法/卡氏定理,梁的弯矩方程及其对MB的偏导数分别为,（0 x l）,AB 段,BC 段,能量法/卡氏定理,中间铰B两侧截面的 相对转角 为,结果为正，表示广义位移的转向和MB的转向一致。,能量法/卡氏定理,例8 悬臂梁受力如图所示，在两力F共同作用下，1,2两截面的挠度分别为y1 和 y
13、2。试证明：,证明：设作用在1, 2两截面的外力分别为F1 和 F2 ，且 F1 =F , F2F，则梁的应变能为U=U(F1, F2)。根据复合函数求导法则，,有,能量法/卡氏定理,注意：若结构上有几个相同的外力时，在利用卡氏第二定理求其中某一力的作用点沿该力方向的位移时，应将该力与其它力区分开。,能量法/卡氏定理,能量法/卡氏定理,例9 试用卡氏第二定理求图a所示刚架的支反力。已知两杆的弯曲刚度均为EI，不计剪力和轴力的影响。,解：这是一个一次超静定刚架。,取B处的支反力X为多余未知力。静定基如图(b)。,能量法/卡氏定理,BD段,各段弯矩及其对X的偏导如下,DC段,CA段,注意到B处的变
14、形协调条件 By=0 及卡氏第二定理,解得,进一步对图(b)列平衡方程， 可得A处的支反力,能量法/卡氏定理,第八章 能量法,四、功的互等定理 位移互等定理,在Fj作用下引起的 Fi方向上的位移,四、功的互等定理 位移互等定理,功的互等定理 位移互等定理是材料力学中的普遍定理， 它说明材料服从胡克定律且在小变形的条件下，作用在杆件上 的不同点的力和位移间相互关系。,以图示梁为例证明如下：,能量法/互等定理,1.先在1点作用F1,再在2点作用F2,外力功：,外力功：,应变能：,能量法/互等定理,1.先作用F1再作用F2,2.先在2点作用F2,再在1点作用F1,外力功：,外力功：,应变能：,能量法
15、/互等定理,1.先作用F1再作用F2,2.先作用F2再作用F1,变形能只取决于力与位移的最终值，,与加载次序无关,即：,功的互等定理,能量法/互等定理,功的互等定理,结构的第一力系在第二力系所引起的弹性位移上所做的功，等于第二力系在第一力系所引起的弹性位移上所做的功。,能量法/互等定理,由功的互等定理,位移互等定理,注意：,1.上述互等定理对于所有的线性结构都适用。,2.力和位移应理解为广义力和广义位移。,当F1=F2=F 时,（力与位移成线性关系的结构）,能量法/互等定理,例10 试求图示梁在Me的跨中挠度 yC,解：,1.当Me作用时 (第一力系),设想在C点作用F (第二力系),2. 由功的互等定理,3.查表(附录C),能量法/互等定理,讨论：若应用位移互等定理任何求解？,例11 已知简支梁在均布载荷 q 作用下，梁的中点挠度 。求梁在中点集中力P作用下(见图)，梁的挠曲线与梁变形前的轴线所围成的面积。,能量法/互等定理,解：由功的互等定理,能量法/互等定理,讨论,关于互等定理,? = ?,能量法/互等定理,讨论,关于互等定理,? = ?,能量法/互等定理,讨论,百分表,悬臂梁受力如图示。现用百分表测量 梁在各处的挠度，请设计一实验方案。,移动百分表； 固定百分表？,关于互等定理,能量法/互等定理,