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1、材料力学,1,一、静定静不定概念 1、静定问题仅用静力平衡方程就能求出全部未知 力，这类问题称为静定问题. 实质：未知力的数目等于静力平衡方程的数目。 2、静不定问题仅用静力平衡方程不能求出全部未 知力。又称超静定问题。 实质：未知力的数目多于静力平衡方程的数目。,第六章 简单超静定问题,6.16.2 概述及拉压静不定问题,材料力学,中南大学土木工程学院,2,3、静不定次数：未知力数目与平衡方程数目之差。 也是需要补充的方程数目。,未知力：4个 平衡方程：2个 静不定次数 = 42 = 2 需要补充2个方程 此结构可称为2次静不定结构,材料力学,中南大学土木工程学院,3,5、多余约束力：多余约
2、束提供的约束力。 静不定次数 = 多余约束力数目,4、多余约束：结构保持静定所需约束之外的约束。若没有这 些约束结构也能保持一定的几何形状。(静定),材料力学,中南大学土木工程学院,4,二、拉压静不定问题的解法 1、判断静不定次数； 2、列静力平衡方程； 3、列几何方程：反映各杆变形之间的几何关系，具体问题需 具体分析。一般通过“变形几何图”列方程。 特别注意：力与变形相对应！ （即杆件的伸长或缩短必须与受力图的杆件的拉压对应） 4、列物理方程：变形与力的关系； 5、列补充方程：物理方程代入几何方程即得 变形协调方程 。,材料力学,中南大学土木工程学院,5,拉压静不定问题的解法,（1）静力平衡
3、方程力学原有基础,（2）变形协调方程几何灵活思考,（3）材料本构方程物理构筑桥梁,（4）方程联立求解代数综合把握,材料力学,中南大学土木工程学院,6,解：1、判断：一次静不定。,2、列平衡方程,3、列几何(变形协调)方程,4、列物理方程,5、列补充方程,将物理方程代入几何方程得补充方程,材料力学,中南大学土木工程学院,7,解得,材料力学,中南大学土木工程学院,8,材料力学,中南大学土木工程学院,9,解：变形协调关系,即,由物理关系建立补充方程，考虑对O取矩得平衡方程，联立求出两杆轴力，再求应力后得结果。,小技巧,材料力学,中南大学土木工程学院,10,解：平衡方程为,变形协调方程,300,300
4、,300,300,300,化简得,材料力学,中南大学土木工程学院,11,物理关系为,代入变形协调方程得补充方程,联立平衡方程求得,材料力学,中南大学土木工程学院,12,2Dl2=Dl1 +Dl3,2(Dl2+Dl1 ) = Dl3 +Dl1,2(Dl2+Dl3 ) =Dl1 +Dl3,几何方程,材料力学,中南大学土木工程学院,13,还可列出其它变形图，但必须保证变形图与受力图一致。,材料力学,中南大学土木工程学院,14,内力按刚度比分配。 思考：静定结构是否也是这样？,静不定结构的特点（1）,材料力学,中南大学土木工程学院,15,静不定结构的特点（2） 装配应力,静定结构 无装配应力,静不定结
5、构 ？产生装配应力,材料力学,中南大学土木工程学院,16,解：因制造误差，装配时各杆必须变形， 因此产生装配内力。,一次静不定问题。,几何方程：Dl1Dl2 / cosq =d,平衡方程：FN2=FN3 FN12FN2cosq =0,物理方程代入几何方程得变形协调方程，结合平衡方程求得,材料力学,中南大学土木工程学院,17,装配应力是不容忽视的，如：d /l=0.001， E=200GPa， q =30 s1 =113MPa ，s2 = s3 =65.2MPa,正确,注意：1杆伸长，只能是拉力，2、3杆缩短 , 应为压力。,不正确,材料力学,中南大学土木工程学院,18,解：1、平衡方程,FN1
6、FN2+FN3=0 FN1=FN3,2、几何方程,即,3、物理方程,3杆用理论长度计算变形,材料力学,中南大学土木工程学院,19,4、补充方程,补充方程与平衡方程联立解得:,变形协调关系,平衡方程,两杆均为拉力，计算杆伸长必须用理论长度，不用实际长度。,材料力学,中南大学土木工程学院,20,静不定结构的特点（3） 温度应力,升温T oC,结构不因温度变化产生内力,升温T oC,结构会因温度变化产生内力,材料力学,中南大学土木工程学院,21,温度变化引起杆的长度变化，多余约束限制了这个变化，引起温度内力。 几何方程： Dl = Dlt-DlF = 0 物理方程： Dlt=alt， DlF =FN
7、l / EA a为材料的线膨胀系数,对于无约束的杆件，当温度变化为 时，杆件的变形为：,式中：a 材料的线膨胀系数。,材料力学,中南大学土木工程学院,22,解：受力图如图示（设二杆均受压）,列平衡方程 SMA=0,杆在温度影响下伸长，在轴力作用 下缩短，杆在轴力作用下缩短。刚 体绕A转动，变形几何关系图如图示。,由图可列出变形几何关系方程,2Dl1=Dl2,得,结合平衡方程，求得,材料力学,中南大学土木工程学院,23,变形协调方程为,材料力学,中南大学土木工程学院,24,物理方程为,物理方程代入变形协调方程得补充方程，再联立平衡方程求得： FN1=7.92kN，FN2=10. 2kN，FN3=
8、21.9kN,由此求得应力为 s1=39.6MPa，s2=102MPa，s3=73MPa,材料力学,中南大学土木工程学院,25,解: 受力分析,建立平衡方程,未知力偶矩2个，平衡方程1个，一次超静定,变形分析,列变形协调方程,联立求解方程(a)与(b),建立补充方程,代入上式,试求图示轴两端的约束力偶矩。,6.3 扭转超静定问题,材料力学,中南大学土木工程学院,26,A,B,设有A、B两个凸缘的圆轴，在力偶M的作用下发生了变形。这时把一个薄壁圆筒与轴的凸缘焊接在一起，然后解除M。设轴和圆筒的抗扭刚度分别是G1Ip1和G2Ip2，试求轴内和筒内的扭矩。,解：由于筒与轴的凸缘焊接在一起，外加力偶M
9、解除后，圆轴必然力图恢复其扭转变形，而圆筒则阻抗其恢复。这就使得在轴内和筒内分别出现扭矩T1和T2。设想用横截面把轴与筒切开，因这时已无外力偶矩作用，平衡方程为,T1-T2=0,材料力学,中南大学土木工程学院,27,焊接前轴在M作用下的扭转角为,j,j2,变形协调条件,T1T2=0,材料力学,中南大学土木工程学院,28,一、相当系统的建立 1、相当系统的特点： 静定结构； 含有多余约束力； 主动力与原结构相同。 2、建立相当系统的步骤： 判断静不定次数； 解除多余约束，代之以多余约束力； 其余照原问题画。,6.4 弯曲简单超静定问题,材料力学,中南大学土木工程学院,29,解：建立相当系统,=,
10、处理方法：变形协调方程、物理方程与平衡方程相结合，求全部未知力。,确定静不定次数，用多余约束力代替多余约束所得到的静定结构原结构的相当系统。,几何方程变形协调方程,物理方程变形与力的关系,材料力学,中南大学土木工程学院,30,补充方程,求解其它问题（应力、变形等）,弯矩图,材料力学,中南大学土木工程学院,31,解：相当系统如图，任意x截面弯矩为,时弯矩取极值,固定端处弯矩为,当 时，梁的受力最合理。,材料力学,中南大学土木工程学院,32,支座B端上移,两种情形弯矩图的对比。,材料力学,中南大学土木工程学院,33,几何方程 变形协调方程,解：建立相当系统,物理方程变形与力的关系,材料力学,中南大
11、学土木工程学院,34,物理方程变形与力的关系,补充方程,求解其它问题（内力、应力、 变形等）,材料力学,中南大学土木工程学院,35,解：各梁的相当系统如图,材料力学,中南大学土木工程学院,36,解：温度升高后，斜面对梁的约 束力如图所示，其变形为伸 长和弯曲同时发生。,变形协调方程为伸长和弯曲变形相等。即,解得：,材料力学,中南大学土木工程学院,37,悬臂梁AB，用短梁DG加固，试分析加固效果。P209，6-17,解：1、静不定分析,2、加固效果分析,最大弯矩减少 62.5%,与 相比，减少39.1%,材料力学,中南大学土木工程学院,38,悬臂梁同时受拉杆约束，试求杆BC的轴力。,解：梁的轴向
12、变形一般忽略不计,如考虑梁的轴向变形，如何求解?,解除约束代约束力并考虑变形几何关系。,材料力学,中南大学土木工程学院,39,解：解除B处约束代之以约束力，使超静 定结构变成两个悬臂梁。,变形协调方程为：,物理关系,物理关系代入变形协调方程得补充方程：,材料力学,中南大学土木工程学院,40,材料力学,中南大学土木工程学院,41,解：此结构为对称结构承受对称外力作用， 所以在对称轴处对称内力(弯矩)不等于零， 反对称内力(剪力)等于零。对称轴处对称位 移(挠度)不等于零，反对称位移(转角)等于 零。于是相当系统如图所示。,补充方程为,跨中挠度为,求得,材料力学,中南大学土木工程学院,42,解：相
13、当系统如图所示，其变形 几何关系为,P209，6-19,高度为h的等截面梁两端固定,支座B下沉D，求smax=?,求得,材料力学,中南大学土木工程学院,43,解：解除A端约束，并代之以 约束力得到相当系统。,变形协调方程为wA=0，qA=q。,即,材料力学,中南大学土木工程学院,44,若解除B端约束，并代之以约束力得到图示相当系统。,变形协调方程为 wB=lq，qB=q。,即,材料力学,中南大学土木工程学院,45,解：解除B处阻止截面相对转动的约束，代之以一对约束力偶MB。得到由两个简支梁组成的静定基。因为两个简支梁各自作用的荷载互不影响，相对简单。,变形协调方程为,物理方程为,材料力学,中南大学土木工程学院,46,物理方程代入变形协调方程得补充方程，由补充方程求得 MB=-31.8kNm,材料力学,中南大学土木工程学院,47,本章结束,