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1、(复习课),知识网络,一、向量的概念,1、向量：既有 ，又有 的量 叫做向量。,大小,方向,二、向量的表示,1、代数字母表示：,2、几何有向表示：,（有向线段、作图）,3、坐标表示：（综合运算）,（可运算）,向量的两要素：,大小,方向,和,（与位置无关，没有大小）,三、几个特点向量,3、相等向量： 的向量叫相等向量。,长度为1,任意的,平行,2、单位向量： 的向量叫单位向量。记作 。,1、零向量： 的向量叫零向量。记作 ， 零向量的方向是 ，零向量与任意向量 。,4、相反向量： 的向量叫相反向量。,5、平行向量： 的向量叫平行向量。,注意：共线向量也称平行向量,长度为零,长度相等，方向相反,长
2、度相等，方向相同,表示向量的一些有向线段，平行或在一直线上,6、请说出以上向量的相互关系？,ea=ae=|a|cos ab ab=0 a，b同向ab=|a|b|反向时ab=-|a|b| a2=aa=|a|2(aa= ) cos= |ab|a|b|,平面向量的数量积ab的性质:,四、向量垂直的判定,五、向量平行的判定(共线向量的判定),六、向量的长度,七、向量的夹角,向量表示,坐标表示,向量表示,坐标表示,特别注意：,由此，当需要判断或证明两向量夹角为锐角或钝角时，应 排除夹角为0或 的情况，也就是要进一步说明两向量不共 线。,例1 e1、e2不共线，a=e1+e2 b=3e13e2 a与b是否
3、共线。,典型例题分析:,例2 设a，b是两个不共线向量。AB=2a+kb BC=a+b CD=a-2b A、B、D共线则k=_(kR),例3、 已知a=(3,-2) b=(-2,1) c=(7,-4)，用a、b表示c。,例4、 |a|=10 b=(3,-4)且ab求a,例5、 设|a|=|b|=1 |3a-2b|=3则|3a+b|=_,（1）k=19,（2） , 反向,解,答案 C,解,考点归纳 1、向量的概念 2、实数与向量的积 3、平面向量的坐标运算 4、线段的定比分点 5、平面向量的数量积,D,A,A,4、已知|a|=|b|=1,a与b的夹角为90。，c=2a+3b,d=ka-4b,cd
4、,k=（ ） A. -6B. 6C. 3D. -3 5、已知|a|=3,|b|=4,(a+b)(a+3b)=33，则a与b的夹角为（ ） A. 30。 B. 60。 C. 120。 D. 150。 6.若|a-b|= ,|a|=4,|b|=5,则ab=( ) A.10 B.-10 C.10 D.10,B,C,A,二、解答题： 7、已知e1与e2是夹角为60。的单位向量，且a=2e1+e2,b=-3e1+2e2,求ab及a与b的夹角。 解：e1,e2是单位向量，且夹角为60。 e1.e2=|e1|e2|cos60。= ab=(2e1+e2)(-3e1+2e2) =-6|e12|+e1e2+2e2
5、2=-3 而|a|2=a2=(2e1+e2)2=4e12+4e1e2+e22=7 |b|2=b2=(-3e1+2e2)2=9e12-2e1e2+4e22=7 |a|= |b|= cos= =120。,8、（1）已知a,b都是非零向量，且a+3b与7a-5b垂直,a-4b与7a-2b垂直，求a与b的夹角；(2)已知|a|= ,|b|= ，且a与b的夹角为 ，试求a+2b与a-b的夹角的大小。 解：（1）(a+3b)(7a-5b)=0 (a-4b)(7a-2b)=0 7a+16ab-15b=0 7a2-30ab+8b2=0 a2=b2 2ab=b2 cos= =60。,（2）a2=3 b2=4 |a|b|=2 ab=|a|b|cos= cos30。=3,9、已知ABC中，A(2,4),B(-1,-2), C(4,3),BC边上的高为AD。 （1）求证：ABAC； （2）求点D和向量AD的坐标； （3）求证：AD2=BDDC 解：（1）A(2,4) B(-1,-2) C(4,3) AB=(-3,-6) AC=(2,-1) ABAC=(-3)2+(-6)(-1)=0 ABAC,（3）AD=( ,- ) BD=( , ) DC=( , ) |AD|2= + = BDDC= + = AD2=BDDC,