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1、第四章 不定积分,不定积分的概念和性质 基本积分公式 换元积分法 分部积分,微积分这门课程，主要包括微分学和积分学。在上 学期我们已经学习了微分学，即已知一个函数 ，如 何求出其导数 的问题。本章我们开始学习微分的 反运算，亦即已知一个函数的导数 ，如何求出 的问题，这一过程称为积分。,求总成本函数,这个问题就是求 的积分的过程,4-1 不定积分的概念和性质,又如d(sec x)=sec x tan xdx，所以sec x是sec x tan x 的一个原函数.,定义 设f (x) 在某区间上有定义，如果对该区间的任意点x都有 F(x)=f (x) 或 dF(x)=f (x)dx 则称F(x)
2、为 f (x)在该区间上的一个原函数.,1 原函数的概念,例如: ， 是函数 在 上的原函数. ,sin x是cos x在 上的原函数.,(2)如果f(x)在某区间上存在原函数，那么原函数不是唯一的,且有无穷多个,(1)如果函数在区间上连续，则它的原函数一定存在,例如,在 上 是 的原函数,也是它的原函数,即 加任意常数都是 的原函数.,(3) 若函数 f (x) 在区间 I 上存在原函数，则其任意两个原函数只差一个常数项.,而,注:,定义2 如果函数F(x)是f (x)在区间 I 上的一个原函数， 那么f (x)的全体原函数F(x) C(C为任意常数)称为 f (x)在区间 I 上的不定积分
3、. 记作,其中记号 称为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称 为被积表达式，x 称为积分变量，C为积分常数.,即,2.不定积分的概念,注意：不定积分为全体原函数F(x) C,例2 求,解,例1 求,解,例3 求,解,3 不定积分与微分的关系,微分运算与积分运算互为逆运算.,特别地，有,4 不定积分的性质,性质1 被积函数中不为零的常数因子可以移到积分 号的前面.,性质2可以推广到有限多个函数的情形，即,性质2 两个函数的和(或差)的不定积分等于各函数 不定积分的和(或差)，即,例4 求,解,注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写
4、出一个任意常数即可,4-2 基本积分公式,基本积分公式,练习：计算下列积分,解,(3),例5 某公司测定出生产 件某种产品的边际成本 为,求总成本函数,解：,应用积分来求成本函数,解,例6 求,例7求,解,有些积分在基本积分公式中没有相应的类型，但 经过对被积函数的适当变形，化为基本公式所列函数 的积分后，便可逐项积分求得结果,练习：计算下列积分,解,(3),作业：P138 1，（3）（8）（12）,作业：计算下列积分,解,(3),4-3 换元积分法,换元积分法,直接利用基本积分表和分项积分法所能计算的 不定积分是非常有限的，为了求出更多的积分，需要引进更多的方法和技巧本节和下节就来介绍求积分
5、的两大基本方法换元积分法和分部积分法。,在微分学中，复合函数的微分法是一种重要的 方法，不定积分作为微分法的逆运算，也有相应的方法。利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法换元积分法。通常根据换元的先后，把换元法分成第一类换元和第二类换元。,问题,？,解决方法,利用复合函数，设置中间变量.,过程,令,一、第一类换元法,说明结果正确,定理1,设,该公式称为不定积分的第一换元积分公式，应用第一换元积分公式计算不定积分的方法称第一换元积分法.也称“凑微分”法,凑微分法的基本思路：,与基本积分公式相比较，将不同的部分 中间变量和积分变量变成相同,步骤：凑微分；换元求出积分；回代原变量,应用定理1求不定
6、积分的步骤为,微分的基本公式：,例1 求,解,一般地,例2 求,解,已知某公司出售现x单位产品的边际利润函数是,求总利润函数.,例3,解：由不定积分的性质可知,练习：求下列不定积分,解,解,解,例4,解,例5 求,解,例6 求,解,例7 求,解,练习：求下列不定积分,解,解,解,解,解,(1),(2),(3),(4),(5),事实上 ，凑微分就是把中间变量省略，从而简化计算,过程，这种方法需要一定的技巧，请同学们熟识下列公式,(6),(7),(8),(9),(10),(11),问题,解决方法,改变中间变量的设置方法.,过程,令,（应用“凑微分”即可求出结果）,二、第二类换元法,例8 求,解,令
7、,例9 求,解,令,例10 求,解,令,练习：求下列不定积分,解,令,解,令,解,令,说明(1),以上几例所使用的均为三角代换.,三角代换的目的是化掉根式.,一般规律如下：当被积函数中含有,可令,可令,可令,说明(2),积分中为了化掉根式是否一定采用三角代换（或双曲代换）并不是绝对的，需根据被积函数的情况来定.,（三角代换很繁琐）,解,令,说明(3),当分母的次数较高时, 可采用倒代换,例12 求,解,令,例13 求,解,令,练习：求下列不定积分,解,令,解,令,（分母的阶较高）,解,令,基本积分表 ,三、小结,两类积分换元法：,（一）凑微分,（二）三角代换、倒代换、根式代换,基本积分表(2)
8、,4-4 分部积分法,分部积分法,前面我们在复合函数微分法的基础上，得到了换元积分法。换元积分法是积分的一种基本方法。本节我们将介绍另一种基本积分方法分部积分法，它是两个函数乘积的微分法则的逆转。,问题,解决思路,利用两个函数乘积的求导法则.,分部积分公式,一、基本内容,注：,分部积分公式的特点：等式两边 u,v 互换位置,分部积分公式的作用：,容易求得,利用分部积分公式化难为易,例1 求积分,解,显然， 选择不当，积分更难进行.,求得，,当左边的积分 不易,而右边的积分,令,解,令,分部积分公式运用成败的关键是恰当地选择u, v 一般来说， u, v 选取的原则是：,（1）积分容易者选为v,（2）求导简单者选为u,用来求v,用来求du,例2 求积分,解,总结,若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积, 就考虑设幂函数为,练习：求下列不定积分,解,解,（再次使用分部积分法）,例3 求积分,解,令,若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为 .,例4 求积分,解,总结,目的、宗旨只有一个：容易积分,解,例5 求积分,例6 求积分,解,注：本题也可令,分部积分过程中出现循环，实质上是得到待求积分 的代数方程，移项即可求得所求积分。注意最后一 定要加上积分常数C,练习：求下列不定积分,解,解,解,