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1、第三章 椭圆型问题的差分法31 流体力学中的椭圆型问题无旋流场中 速度势 （Laplace Eq.）二维不可压定常流动，利用涡流函数表示：不可压分离流问题中，扰动压力场：定常的NS方程求解问题在网格自动生成中，求解椭圆型方程的网格生成方法由于椭圆型方程的数学性质：求解域内部任何一点的解函数依赖于所有边界上的边界条件，因此从数值计算方法来看，就不能从一部分边界起步进行推进计算到另外的边界，这与发展方程的求解方法有很大的差别，椭圆型方程的数值求解方法，只能是在整个流场中进行迭代计算来求解。32 椭圆型问题的迭代法求解（一）迭代法的基本概念例：方程 （ Poisson 方程）二维 差分离散 .(*)
2、写成矩阵形式代数方程组为： . (1)其中 一般地，对于线性方程组有，欲求未知函数的解矢量若为非奇异矩阵，即：，则由于是个阶数甚大的矩阵（非三对角），直接求解，或利用Gauss消去法求逆矩阵，计算量及所需计算机的内存都将十分巨大，所以在实际计算中不希望采用直接法求解。迭代法的基本思想是：定义一个序列，当时，从而得到方程(1)的解。迭代法设法给出的迭代关系。（通常为计算方便，迭代法采取，使之简单）若（即迭代关系式）与迭代步k无关，则称为平稳迭代；若是的线性函数关系，则称为线性迭代。例如最简单的线性迭代关系可设为： (2)若迭代是有效的，则即 (3)即 且 或 l 研究迭代的收敛性：引入误差：而由
3、(2)-(3)得：即 或有递推关系式：由于是初始解与精确解的误差，应是一个有界的任意函数，故迭代矩阵H应具有：当时，Z为任意的有界向量函数。可以证明：（参阅 “偏微分方程的有限差分方法”P239）l 对于任意的向量Z，的充分必要条件是H的所有的特征值的绝对值（即谱半径）都小于1。l 推论 当k很大时， 所以若，则迭代法的收敛速率很慢。二、几种迭代法介绍1 Jacobi迭代 (简单点迭代)由方程 将矩阵分解为：A=L+D+U L：主对角线以下的元素 （ij时等于A，其余为零） D： 主对角线元素 U： 主对角线以上的元素 （ij）只要遵循已有新值时，用新值，没有新值时用旧值，即为G-S。*往返扫
4、描的Gauss-Seidel迭代，即 step1: step2: 3、SOR（逐点松弛迭代）step1. 用GS迭代法求中间值，即 (a)step2. . .(b)消去中间结果 即 将(a)代入 其中为松弛因此， 为亚松弛，时为超松弛。4、线迭代和线松弛迭代将A分解为但 保留主对角元素在D中，L，U则仍为余下元素的上三角与下三角矩阵则导出线迭代而导出线DS迭代*往返扫描的GS线迭代（线松弛迭代）而导出松弛迭代三、迭代法的收敛性及松弛因子的选择1 迭代法收敛的几个充分条件对于方程 若矩阵A满足强对角优势条件，则Jacobi迭代和GS迭代均收敛 若矩阵A满足对角占优条件，且矩阵A为不可约矩阵，则J
5、acobi迭代和GS迭代均收敛 若矩阵A是对称正定矩阵，则GS迭代收敛。 若且有 则Jacobi，G S迭代收敛 若对于 Jacobi迭代收敛的，则的松弛迭代也总是收敛的。只证明（余略） A为强对角占优，及将A的每一行元素均用该行的主对角线元素去除，可得到主对角元素为1，且不改变将对角占优的性质，然后将 分解为 ，且有：对于Jacobi迭代，即利用矩阵的特征值分布定理(Gerschgorin圆盘定理)，可知的所有特征值均在单位圆内，证毕！2、对于Poisson方程Jacobi迭代矩阵的特征分析结论：1、Jacobi迭代矩阵的特征值为：（参考苏煜诚，吴启光，偏微分方程数值解） x方向总网格数为s
6、+1(0,1,2,s)，0,s为边界y方向总网格数为l+1(0,1,2,l)，0,l为边界2、逐点松弛迭代法中迭代矩阵的特征值（GS或SOR）由设的特征值为则结论为： (1)3、SOR方法中松弛因子的最优化迭代由，使的充要条件是：（） 结论： （2） Jacobi迭代矩阵的谱半径并有但是由于实际过程中，未知，所以不能预先知晓。4、优选松弛因子的两个近似方法方法1：利用的关系仍为上面之（1）（2）两式 步骤 取用SOR迭代计算若干步，然后用下面的计算近似的以，代入（1）式求根据（2） 即为的第一次近似值可以类似求出，直至，之差小于为止。方法2、令 由开始，近似认为直至取5、几种主要的迭代算法的收
7、敛速度比较设而为问题求解域为 内点共有个a. Jacobi迭代：所以收敛速度 b. GS迭代由 当时，即为GS，所以 cSOR 33 定常问题的迭代法求解与（伪不定常）时间推进法计算的一致性讨论一、 概述例1，定常方程 (*)采用Jacobi迭代，差分格式用中心差分其中可以视为虚拟的时间步长即从方程 出发的FTCS格式，与从方程（*）出发的Jacobia迭代得到相同的差分。或稳定条件： 稳定条件即取： 例2 为简单起见 令若取 即将k，k+1视为相邻两个迭代步的解，则上式是原方程的Jacobi迭代，即可视为一个虚拟时间项（时间相关！）。例3 采用线松弛迭代求解椭圆方程(y方向是隐式求解，x方向是GS迭代)step1: (1)step2: (2)由(2)式 代入到(1)右边：所以原方程相容于：或 注意到粘性系数应为正， 二、 计算流体力学中的伪时间推进方法定常、不可压时，连续方程 改用