浅谈高等代数中线性方程组的解法.doc

《浅谈高等代数中线性方程组的解法.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《浅谈高等代数中线性方程组的解法.doc（18页珍藏版）》请在三一文库上搜索。

1、浅谈高等代数中线性方程组的解法摘要： 在大学的课程中，高等代数我们数学专业的必修课程，在高等代数里，解线性方程组是一个重点，也是一个难点。在数学的研究和解决问题的过程中，常常要运用到许多未知量，为此，为了解决遇到的这些问题，许多数学家致力于研究之中，寻找解决这些问题的方法.高等代数教材介绍的关于求解线性方程组的解的基本方法是行初等变换法,但这种方法计算量大, 同时方法和步骤也比较麻烦。解线性方程组对初学者来说不是那么的得心应手，常常能下笔却常常是解错的，为了方便快捷而准确的解线性方程组，为此我们在前人的研究基础上对解线性方程组做了研究、分析和整理，详细的解析了克拉默规则、消元法、 基础解系法、

2、矩阵法、填充矩阵法，LU分解法。希望能帮助降低学生学习犯错误的可能性, 拓宽学生的思维。Abstract： In university course, we required course with specialized mathematics of the higher algebra, in advanced algebra, is a focus on solving linear equations, is also a difficulty. In mathematics study and solve the problem in the process, is often ap

3、plied to many unknown variables, therefore, in order to solve these problems, many mathematicians is committed to research, find out the ways to solve these problems. advanced algebra teaching material introduce about solving system of linear equations solution of the line is the basic method of ele

4、mentary transformation method, but this kind of method to large amount of calculation, at the same time, methods and steps are also more trouble. Solution of linear equations for beginners is not so comfortable, often can often are the wrong writing, in order to convenient and quick and accurate sol

5、utions of linear equations, we in the basis of forefathers research to do the research, analysis and solving linear equations, detailed rules of parsing the kramer, elimination method and basic solution method, matrix method, matrix method, the LU decomposition method. Hope I can help reduce the pos

6、sibility of students learning to make mistakes, to broaden the minds of students. 关键词：线性方程组、增广矩阵，系数矩阵、基础解系、解空间Keywords： Linear equations、 Augmented matrix,、The coefficient matrix、 The basic solution、 The solution space引言： 线性方程组的解法，早在中国古代的数学著作九章算术方程章中已作了比较完整的论述。其中所述方法实质上相当于现代的对方程组的增广矩阵施行初等行变换从而消去未知量的

7、方法，即高斯消元法。在西方，线性方程组的研究是在17世纪后期由莱布尼茨开创的。他曾研究含两个未知量的三个线性方程组组成的方程组。麦克劳林在18世纪上半叶研究了具有二、三、四个未知量的线性方程组，得到了现在称为克莱姆法则的结果。克莱姆不久也发表了这个法则。18世纪下半叶，法国数学家贝祖对线性方程组理论进行了一系列研究，证明了一元齐次线性方程组有非零解的条件是系数行列式等于零。法国数学家范德蒙不仅对行列式理论本身进行了开创性研究，而且把行列式应用于解线性方程组。 英国数学家凯莱用矩阵表示线性方程组及线性方程组的解。19世纪，英国数学家史密斯和道奇森继续研究线性方程组理论，前者引进了方程组的增广矩阵

8、和非增广矩阵的概念，后者证明了n个未知数m个方程的方程组相容的充要条件是系数矩阵和增广矩阵的秩相同。格拉斯曼则使用向量表示线性方程组的解。本文将一一解读线性方程组的解法。1关于线性方程组及其解的概述 1.1线性方程组的一般形式 线性方程组的一般形式是： （1）. 其中代表未知量，代表未知量的系数，代表常数项。1.2线性方程组的分类1.2.1齐次线性方程组 当线性方程组的一般形式中的常数项都等于0，即 （2）. 称此线性方程组为齐次线性方程组。1.2.2非齐次线性方程组 当线性方程组的一般形式中的常数项都不等于0时，就称此线性方程组为非齐次线性方程组。1.3线性方程组的解 线性方程组（1）的一个

9、解指的是这样一组数()，用它们依次代替（1）中的未知量后，（1）的每一个方程都变成恒等式。 注：本论文是在复数域C上讨论线性方程组。2线性方程组可解的判断方法 2.1线性方程组的系数矩阵与增广矩阵 2.1.1线性方程组（1）的系数矩阵2.1.2线性方程组（1）的增广矩阵2.2线性方程组（1）有解的判断2.2.1线性方程组（1）有解的充要条件 （定理）线性方程组（1）的系数矩阵与增广矩阵有相同的秩。2.2.2线性方程组（1）有唯一解和无穷多解的判断 （定理） (数域K上线性方程组有解的判别定理) 对于数域K上的线性方程组（1），若rr，则方程组无解；rr，则有唯一解；rr，则有无穷多解。3有解线

10、性方程组的解法3.1特殊线性方程组的解法3.1.1特殊线性方程组的概述特殊线性方程组是指当线性方程组（1）中的m=n时的n个未知量n个方程组成的线性方程组。即形式如下的线性方程组 （3）. 利用（3）的系数可以构成一个n阶行列式这个行列式叫作方程组（3）的行列式。3.1.2特殊线性方程组的解法 （定理）一个含有n个未知量n个方程的线性方程组（3）当它的行列式时，有且仅有一个解 此处是把行列式D的第j列的元素换以方程的常数项而得到的n阶行列式。 第一步：求出D，并判断其是否等于0 第二步：若，方程有唯一解，求出 第三步：3.2消元法消元法是一种规则化的加减消元法，基本思想是通过逐次消元计算把需要

11、求解的线性方程组转化为上三角形方程组，也就是把线性方程组的系数矩阵转化为上三角矩阵，从而使一般线性方程组的求解转化为等价(同解)的上三角形方程组的求解。现在分析求解元线性方程组的消元法的一般步骤，为方便起见，将方程组（3）改写成如下形式 简记为，其中。其增广矩阵为 消元过程：第一步消元：设记，做运算将增广阵第一列中以下元素消去使其为零，得到与原方程组等价的方程组。这一过程的实现需要对增广矩阵的第行（用表示）施行行的初等变换：。从矩阵运算的观点看，相当于用矩阵左乘矩阵，即一般地，设第步后得等价方程组，其增广矩阵为第步消元：设记。做运算将增广矩阵的第列中以下的元素消为零，得同解方程组。第步消元，相

12、当于用矩阵左乘矩阵。按上述作法，完成次消元后，方程组（3-4）化成同解的上三角方程组 记为，其增广矩阵为因为均为非奇异阵，故它们的逆矩阵存在。容易求出 令 于是有即 因为为单位下三角阵，为上三角阵，故消元过程实际上是把系数矩阵分解成单位下三角阵与上三角阵的乘积的过程。回代过程：按向量的逆序逐步回代得方程组（3-1）的解 例 用顺序消元法解线性方程组解 ： 经回代求解得。若对上边的增广矩阵进一步简化，即 则解为。3.3线性方程组与矩阵 在线性方程组（1）中，若令 ， ， 则其矩阵形式为 （1）至少有零解，且当且仅当A的秩时，齐次方程组只有零解。（2）有非零解的充要条件是A的秩，此时方程组的基础解

13、系为方程的通解为：（3）有唯一解的充要条件是的秩。由克莱姆（Cramer）法则，其解为 （4） 的秩=的秩时，有无穷多组解，如果为其一个特解，则 的通解为 。3.4基础解系法3.4.1齐次线性方程组的基础解系3.4.1.1相关预备知识概述对于齐次线性方程组（2）令则上述方程组即为 (3.1)（其中0为零向量）。将（3.1）的解视为维向量，则所有解向量构成中的一个向量组，记为。（命题 ）中的元素（解向量）的线性组合仍属于（仍是解）。（定义）（线性方程组基础解系） 齐次线性方程组（3.1）的一组解向量如果满足如下条件：（1） 线性无关；（2） 方程组（*）的任一解向量都可被线性表出，那么，就称是齐

14、次线性方程组（3.1）的一个基础解系。（定理） 数域上的齐次线性方程组的基础解系中的向量个数等于变元个数减去系数矩阵的秩。（引理） 设线性无关，可被线性表出，则表示法唯一。3.4.1.2基础解系的求法我们只要找到齐次线性方程组的各自有未知量，就可以获得它的基础解系。具体地说，我们先通过初等行变换把系数矩阵化为阶梯形，那么阶梯形的非零行数就是系数矩阵的秩。把每一个非零行最左端的未知量保留在方程组的左端，其余个未知量移到等式右端，再令右端个未知量其中的一个为1，其余为零，这样可以得到个解向量，这个解向量构成了方程组的基础解系。例 求数域上的齐次线性方程组的一个基础解系。解 用初等行变换把系数矩阵化

15、为阶梯形：于是，基础解系中有个向量。写出阶梯形矩阵所对应的方程组移项，得（1）、取，得一个解向量；（2）、取，得另一解向量。即为方程组的一个基础解系，方程组的全部解可表示为。3.4.2 非齐次线性方程组的解的结构一般线性方程组（1），其系数矩阵和增广矩阵分别为 和。（定理） (数域K上线性方程组有解的判别定理) 对于数域K上的线性方程组（1），若rr，则方程组无解；rr，则有唯一解；rr，则有无穷多解。证明 写出线性方程组的向量形式，其中，。若rr，则由矩阵秩的定义，可知列向量组的秩小于列向量的秩，即向量组的秩小于向量组的秩。只需证明不可以被向量组线性表出即可证明方程组无解。事实上，若可以将线

16、性表出，则向量组与线性等价，则两个向量组的秩相等，矛盾于向量组的秩小于向量组的秩。所以不能将线性表出，方程组无解得证。若rr，则的极大线性无关部分组就是的极大线性无关部分组。于是能被线性表出，即线性方程组有解。任取线性方程组的一个解向量，记为，对于线性方程组的任意一个解向量，是由原方程组系数矩阵所对应的齐次线性方程组（称为线性方程组（1）的导出方程组）的解向量。事实上，可以分别将和带入（1），再将对应方程相减，即可证明上述结论。反过来，容易证明，对于导出方程组的每一个解向量，都是线性方程组（1）的解向量。以记导出方程组的解向量组成的集合，则（1）的解为.详言之，记导出方程组的基础解系为，则（1

17、）的解为：.如果rr，则，故方程组（1）有唯一解；如果rr，则为无穷集合，故方程组（1）有无穷多解。3.5填充矩阵法（1） 将方程组（1）的增广矩阵（A B）行初等变换化为最简形矩阵。（2） 写出最简形矩阵的单位填充矩阵（3） 的所有J-列向量是方程组（1）的导出组的一个基础解系，的最后一个列向量为方程组（1）的一个特解（4） 方程组（1）的一般解为（为任意常数） 例 求线性方程组 解：对方程组的增广矩阵（A B）作行初等变换，变为行最简形矩阵有写出的单位填充矩阵于是方程组的导出组的基础解系为而方程组的一个特解为故而方程组的一般解为3.6 LU分解法求解线性代数方程组除了高斯消元法外，还常用L

18、U分解法（三角形分解法）。LU分解法的优点是当方程组左端系数矩阵不变，仅仅是方程组右端列向量改变，即外加激励信号变化时，能够方便地求解方程组。 设n阶线性方程组Ax=b 假设能将方程组左端系数矩阵A，分解成两个三角阵的乘积，即A=LU ，式中，L为主对角线以上的元素均为零的下三角矩阵, 且主对角线元素均为1的上三角矩阵；U为主对角线以下的元素均为零。所以有，LUx=b令 Ux=y则 Ly=b 由A=LU,由矩阵的乘法公式：a1j = u1j , j=1,2,nai1 = li1u11 , i=1,2,n 推出u1j = a1j, j=1,2,nli1 = ai1/u11, i=1,2,n 这样

19、就定出了U的第一行元素和L的第一列元素。设已定出了U的前k-1行和L的前k-1列，现在确定U的第k行和L的第k列。由矩阵乘法：当rk时，lkr=0, 且lkk=1，因为所以，同理可推出计算L的第k列的公式：因此得到如下算法杜利特（Doolittle）算法:(1) 将矩阵分解为A=LU,对k=1,2,n(2) 解Ly=b(3) 解Ux=y例：求解方程组 解：由公式1得出于是化为两个方程组利用公式2，3可解y=(9,5,3,-1)T,x=(0.5,2,3,-1)T参考文献1张禾瑞, 郝钅丙新. 高等代数(第五版). 北京: 高等教育出版社2吴有炜，刘华玲.齐次线性方程组正交的基础解系的一种简便求法

20、 无锡轻工业 大学学报1996 No.2.3王卿文.齐次线性方程组的基础解系的一种简便求法.数学通报 1993年 第8期4章朝庆.线性方程组的又一种简便解法.江苏广播电视大学学报 第11卷 第4期2000.12.5孙学农.谈齐次线性方程组的基础解系的求法.济宁师范专科学校学报 24卷 第 3期 2003.6.6白淑敏.齐次线性方程组的基础解系的一种简便求法.河北师范大学学报（自然科 学版）第20卷 第1期1996.3.7李智群.关于线性方程组的一般解法 .钦州学院数学与计算机科学系成员分工及研究内容组长：包艳飞 （联系电话：18285130631）组员姓名学 号具体承担任务工作量及贡献度包艳飞

21、1107010200011、关于线性方程组及其解的概述2、线性方程组可解的判断方法3、有解线性方程组的解法4、 参考文献5、 结题报告5刘照超1107010200231、关于线性方程组及其解的概述2、线性方程组可解的判断方法3、有解线性方程组的解法4、参考文献5、 结题报告5结题报告高等代数是数学专业的三大基础课之一，它是中学代数的继续和提高。通过这门课程的后继学习可以使学生更深刻地了解中学代数在现代数学中所处的地位和作用，透彻理解中学代数的教学内容，从而使他们毕业后能在教学中更准确地把握中学数学教材，因此它是高师数学专业学生的一门专业必修课；另一方面，高等代数又是以后学习更一般的代数系统乃至

22、整个数学的基础，因此高等代数又是一门必修的专业基础课。通过这门课的进一部研究，也为考研的学生坐下了坚实的基础。高等代数中提供的数学工具已广泛应用于当代科学技术的方方面面，它的研究方法已渗透到许多学科之中。在这门课的教学中重点是使学生掌握必要的代数基础知识，培养他们抽象的逻辑思维能力。通过写这篇论文，我们从中收获了很多的东西。首先是在这次论文中了解到了很多课本上没有的知识及一些数学思想，怎样恰当的求解线性方程组的相关问题。这就好比我们读了很多的课外书，而我们得到的却比这更多，因为我们在过程中更用心。高等代数后继研究是一门基础课，也是数学专业考研的必修课。在此课程中，学生们能将高等代数中学到的知识灵活运用于学习生活中，在学习高等代数的过程中能力得到了培养，也掌握了各门课程之间的内在联系。所以说通过写论文这样一个过程，我们不仅仅是完成了依次作业，更重要的是我们在这样的过程中得到了成长和突破。18第 页