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1、第五节 柯西积分公式,一、问题的提出,二、柯西积分公式,三、典型例题,四、小结与思考,一、问题的提出,根据闭路变形原理知,该积分值不随闭曲线 C 的变化而改变,求这个值.,二、柯西积分公式,定理,证,上不等式表明, 只要 R 足够小, 左端积分的模就可以任意小,根据闭路变形原理知, 左端积分的值与 R 无关,所以只有在对所有的 R 积分值为零时才有可能.,证毕,柯西积分公式,柯西介绍,关于柯西积分公式的说明:,(1) 把函数在C内部任一点的值用它在边界上的值表示.,(这是解析函数的又一特征),(2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法, 而且给出了解析函数的一个积分表达式.,(
2、这是研究解析函数的有力工具),(3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值.,三、典型例题,例1,解,由柯西积分公式,例2,解,由柯西积分公式,例3,解,由柯西积分公式,例,解,根据柯西积分公式知,例5,解,例5,解,由闭路复合定理, 得,例5,解,例6,解,根据柯西积分公式知,比较两式得,课堂练习,答案,四、小结与思考,柯西积分公式是复积分计算中的重要公式, 它的证明基于柯西古萨基本定理, 它的重要性 在于: 一个解析函数在区域内部的值可以用它在 边界上的值通过积分表示, 所以它是研究解析函 数的重要工具.,柯西积分公式:,思考题,柯西积分公式是对有界区域而言的, 能否推广到无界区域中?,思考题答案,可以.,其中积分方向应是顺时针方向.,放映结束，按Esc退出.,Augustin-Louis Cauchy,Born: 21 Aug 1789 in Paris, FranceDied: 23 May 1857 in Sceaux (near Paris), France,柯西资料,