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1、第一节 矩阵的秩,Ch3 矩阵的秩与线性方程组,一、矩阵秩的概念,例1,解,例2,解,取自非零行首非零元所在列,例3,解,计算A的3阶子式，,另解,显然，非零行的行数为2，,此方法简单！,二、矩阵秩的计算,问题：经过初等变换后，矩阵的秩变吗？,证明略,证明略,初等变换求矩阵秩的方法：,把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.,例4,解,(1)由阶梯形矩阵有三个非零行可知,例5,解,分析：,三、小结,(2)初等变换法,1. 矩阵秩的概念,2. 求矩阵秩的方法,(1)利用定义,(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).,
2、(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);,思考题1,思考题 1 解答,思考题 2,(1)设A为可逆阵,且r(A)=3,则r(AB)-r(B)=-。,0,思考题 2 解答,答,相等.,即,由此可知, 俩方程组,第二节 齐次线性方程组,Ch3 矩阵的秩与线性方程组,一、齐次线性方程组有解的判定条件,问题：,引例 求解齐次线性方程组,解, , - 2,， - ，得, , , - ， 得, ,说明第3个方 程是多余的！,说明什么 问题？, 得，,行最简形 矩阵, ,即得与原方程组同解的方程组,移项即得,证,必要性.,从而,定理1,这与原方程组有非零解相矛盾，,充分性.,任取一个自由未知量为，其余自由未知量
3、为，,为求齐次线性方程组的解，只需将系数矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。,二、线性方程组的解法,例1 求解齐次方程组的通解,解 对系数矩阵A进行初等变换,故方程组有非零解，且有,为什么选 为非自由未知量？,选行最简形矩阵中非零 行首非零元1所在列！,得方程组的通解为,例2 设有齐次线性方程组,解,且其通解为,且其通解为,代入讨论同前。,另解因为系数矩阵 为含参数的方阵，故可考虑使用“行列式”法，,对齐次线性方程组,三、小结,解法一因为系数矩阵 为含参数的方阵，故可 考虑使用“行列式”法，而,当a取何值时，下述齐次线性方程组有非 零解，并且求出它的通解,思考题,通解为,解法二用“初等行变换
4、”（法）把系数矩阵 化为阶梯形,第三节 非齐次线性方程组,Ch3 矩阵的秩与线性方程组,一、非齐次线性方程组有解的 判定条件,问题：,证,必要性,定理1,则 的行最简形矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程，,即可得方程组的一个解,充分性.,证毕,其余 个作为自由未知量,把这 行的第一个非零元所对应的未知量作为 非自由未知量,例1 求解非齐次线性方程组,解,对增广矩阵 进行初等变换，,定理1,故方程组无解,此乃第三章的 精华所在,为求解非齐次线性方程组 ，只需将增广矩阵 化成行阶梯形矩阵，便可判断其是否有解若有解，再将行阶梯形矩阵化成行最简形矩阵，便可写出其通解。,二、线性方程组的解法,例2 求解非齐次方程组的通解,解 对增广矩阵 进行初等变换,所以方程组的通解为,例3,证,方程组的增广矩阵为,对增广矩阵 进行初等变换，,由于原方程组等价于方程组,由此得通解：,例4 设有线性方程组,解一,且其通解为,这时又分两种情形：,解二：,当,对非齐次线性方程组,三、小结,思考题,思考题解答,思考题,设有线性方程组,思考题解答,