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1、第三章 线性方程组,3.2 齐次线性方程组,3.1 齐次线性方程组,一、齐次线性方程组的基本概念,称为n元齐次线性方程组。,方程组的 矩阵形式,3.1 齐次线性方程组,(1),(2),(1)、(2)、(3)给出了齐次线性方程组的三种不同的形式， 它们表示同一个线性方程组，解是相同的。,(3),若把系数矩阵A看作列向量 组成的矩阵， 则方程组(1)可表示为向量组合的形式：,若 方程组 与 是同解的。,而且：,是方程组的解, 称为零解或平凡解。,若非零向量,是方程组的解，则称为非零解， 也称为非零解向量。,问题：除了零解外，有没有其它的解？ 在什么条件下有非零解？ 当齐次方程有非零解时，如何求出全
2、部的解？,显然：,为了研究齐次线性方程组解集合的结构，我们 先来讨论这些解的性质，给出基础解系的概念。,性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：,性质2：,二、齐次线性方程组解的性质,注意： 本性质对有限多个解也成立,由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其解空间的基。,则称,也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：,由此可见，求方程组(1)解的关键就是求其基础解系，进而就可求出通解。,三、齐次线性方程组基础解系的求法,1.行最简形矩阵：,设 r(A) =r n ,且不妨设A 中最左上角的 r 阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵 A 化为
3、：,显然：,行最简形,为：,由自由未知量,惟一确定,显然：,取：,解向量：,怎么证明？,下面证明 是齐次线性方程组解空 间的一个基,所以 个 维向量 亦线性无关.,由于 是 的解 故 也是 的 解.,所以 是齐次线性方程组解空间的一个基， 也就是一组基础解系.,说明,解空间的基不是唯一的,但所含向量个数相 等，都等于 n - r(A).,2若 是 的基础解系，则 其通解为,3,当r(A)=n 时方程组只有零解故没有基础解,系此时解空间只含一个零向量为0维向量空间,综上有：,必须牢记：基础解系所含向量的个数为 未知数个数减系数矩阵的秩。,推论1：对齐次线性方程组 ，有 若 r(A)=n 则方程组
4、有惟一零解; 若 r(A)=rn ，则方程组有无数多解，其通解为,推论2：n 元齐次线性方程组 有非零解的充要条件是其系数行列式为零。,例1：求方程组的通解,解：,同解方程组为,基础解系为,通解为,例1：求方程组的通解,解：,或者将同解方程组为,基础解系为,通解为,例2：求方程组的通解,同解方程组为,基础解系为：,例2：求方程组的通解,同解方程组为,基础解系为：,解,对系数矩阵 作初等行变换，变为行最简矩 阵，有,例4 解线性方程组,解,对系数矩阵施 行初等行变换,即方程组有无穷多解，,其基础解系中有三个线性无关的解向量.,所以原方程组的一个基础解系为,故原方程组的通解为,例5 求 使 有非0 解，并求其通解。,对于含参数的方程组：,方法一：行列式法，利用行列式为0求参数。,方法二：初等变换法，利用矩阵A的秩小于n求参数。,例6:,定理3.1.1不仅是齐次线性方程组求解的理论基础，也可用于向量组线性相关性及矩阵秩的讨论。,例7,证,例9:,例8:,设 是Ax=0的基础解系，且 证明 线性无关。,设A为n阶方阵，若存在正整数k，使得 有解向量 且 ，证明 是线性无关的。,请用心体会两端左乘矩阵A的方法。,设A为n阶方阵，证,例10:,小结,齐次线性方程组基础解系的求法,齐线性方程组解的情况,