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1、线性代数,: 线性代数(高等代数)(数学分析),这两门课不仅是数学中各个研究分支最重要的基础课程, 而且它们在现代科学的各个领域中都有广泛的应用.,线性代数的研究对象是线性方程组, 矩阵, 向量空间和线性变换.,中学: 一元一次方程,二元一次方程组, 三元一次方程组.,一元三次, 四次方程有求根公式.,一般的高于四次的方程是不能用根式求解的, 法国数学家伽 罗华(Galois, 1811-1832)提出了群的概念，并用群论彻底解决 了根式求解代数方程的这个困扰数学界长达数百年的问题， 而且由此发展了一整套关于群和域的理论，为了纪念他，人 们称之为伽罗华理论.,一元二次方程(求根公式).,伽罗华
2、理论开辟了全新的研究领域, 正是这套理论创立了抽象代数学，把代数学的研究推向了一个新的里程.,第一章引入行列式求解未知数个数和方程个数相等的方程组, 并且要求系数行列式不为零. (克拉默法则),第二章引进矩阵的概念并且研究矩阵具有的性质,第四章通过引入向量组的线性相关性的理论进一步研究线性方程组的解的结构.,第三章研究如何利用矩阵的初等行变换求解一般的线性方程组.,第五章线性方程组理论的应用: 如何利用正交矩阵把对称矩阵 化简为对角矩阵, 二次型的化简问题.,教材: 围绕线性方程组(多元一次方程组)的求解和应用.,第六章抽象的向量空间和线性变换的一些基本概念.,第一章 行列式,1 二阶与三阶行
3、列式,求解上述方程组相当于是求解平面中两条直线的交点.,二阶行列式=主对角线上两个元素的乘积 副对角线上两个元素的乘积.,求解上述方程组相当于是求解三维空间中三个平面的交点.,为了求解上述三元一次方程组, 我们可以类似的引入三阶行列 式的概念.,a11a22a33a12a23a31a13a21a32,a11a23a32a12a21a33a13a22a31,按对角线法则 有,解,46324824,(4)2(3),(4)(2)4,D,12(2),21(3),114,2(2)(2),14,在第7节中我们会介绍类似的一般的n元一次方程组的求解公式, 这样的性质称之为克拉默法则.,为了求解一般的n元一次
4、方程组, 我们需要引入n阶行列式,通过引入二阶行列式和三阶行列式的概念, 我们解决了 二元一次方程组和三元一次方程组的求解问题, 并且我们得到 了上述非常漂亮的求解公式.,的概念.,为了引入一般的n阶行列式的概念, 我们首先需要引入,全排列和逆序数的概念.,2 全排列及其逆序数,定义:,由1,2, n组成的一个有序数组称为一个n级排列.,定义: 在一个排列中, 如果一对数的前后位置与大小顺序相反, 即前面的数大于后面的数,则称之为一个逆序, 一个排列中逆序 的总数称为这个排列的逆序数.,定义: 逆序数为偶数的排列称为偶排列, 逆序数为奇数的排列 称为奇排列.,逆序数的计算:,解:,解:,3 n 阶行列式的定义,二阶行列式,三阶行列式,简记为,主对角线:,副对角线:.,行列式的 (i, j) 元:,注意: 1. 求和符号是对所有的 n 级排列求和, 所以该和式共有n!项., 例1.,证:,因为 行列式等于不同行不同列的n个元素的乘积的代数和,证:,因为 行列式等于不同行不同列的n个元素的乘积的代数和,例2.,证:,只证(1).,定理.,